2023年高考数学一轮复习课时分层训练37简单几何体的表面积与体积文北师大版

课时分层训练(三十七)简单几何体的外表积与体积A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A．eq\f(2\r(2)π,3)B．eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)πB[依题意知，该几何体是以eq\r(2)为底面半径，eq\r(2)为高的两个同底圆锥组成的组合体，那么其体积V＝eq\f(1,3)π(eq\r(2))2×2eq\r(2)＝eq\f(4\r(2),3)π.]2．底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，那么该球的体积为()A．eq\f(32π,3) B．4πC．2π D．eq\f(4π,3)D[依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为R，那么2R＝eq\r(12＋12＋\r(2)2)＝2，解得R＝1，所以V＝eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3).]3．(2023·浙江高考)某几何体的三视图如图7­2­10所示(单位：cm)，那么该几何体的体积(单位：cm3)是()【导学号：00090237】图7­2­10A．eq\f(π,2)＋1B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3A[由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是eq\r(2)的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，∴该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1.应选A．]4．某几何体的三视图如图7­2­11所示，且该几何体的体积是3，那么主视图中的x的值是()图7­2­11A．2B．eq\f(9,2)C．eq\f(3,2)D．3D[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，∴V＝eq\f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.]5．一个四面体的三视图如图7­2­12所示，那么该四面体的外表积是()图7­2­12A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)B[四面体的直观图如下图．侧面SAC⊥底面ABC，且△SAC与△ABC均为腰长是eq\r(2)的等腰直角三角形，SA＝SC＝AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2.设AC的中点为O，连接SO，BO，那么SO⊥AC，∴SO⊥平面ABC，∴SO⊥BO.又OS＝OB＝1，∴SB＝eq\r(2)，故△SAB与△SBC均是边长为eq\r(2)的正三角形，故该四面体的外表积为2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).]二、填空题6．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，假设将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，那么新的底面半径为______．eq\r(7)[设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7，∴r＝eq\r(7).]7．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，那么该六棱锥的侧面积为________．【导学号：00090238】12[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.由题意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.]8．某几何体的三视图如图7­2­13所示，那么该几何体的体积为________．图7­2­13eq\f(13,6)π[由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(13,6)π.]三、解答题9．(2023·福州模拟)底面为正方形的四棱锥P­ABCD，如图(1)所示，PC⊥平面ABCD，其中图(2)为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为4cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图(2)所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求四棱锥P­ABCD的侧面积．图7­2­14[解](1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为4cm的正方形，俯视图如下图，其面积为16cm2(2)侧面积为2×eq\f(1,2)×4×4＋2×eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝16＋16eq\r(2)10．如图7­2­15，从正方体ABCD­A1B1C1D1图7­2­15(1)假设选出4个顶点包含点A，请在图中画出这个正四面体；(2)求棱长为a的正四面体外接球的半径．[解](1)如下图，选取的四个点分别为A，D1，B1，C．(2)棱长为a的正四面体外接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长a，所以正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，因此外接球的半径为eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(\r(6),4)A．B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一局部后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图7­2­16所示．假设该几何体的外表积为16＋20π，那么r＝()图7­2­16A．1B．2C．4D．8B[如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，那么外表积S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，应选B．]2．(2023·赣州模拟)在四面体SABC中，SA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，SA＝AC＝2，AB＝1，那么该四面体的外接球的外表积为________.【导学号：00090239】8π[设四面体SABC的外接球的半径为r，四面体SABC可看成如下图的长方体的一局部，那么四面体的外接球的球心为SC的中点，∴2r＝SC＝eq\r(SA2＋AC2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，∴r＝eq\r(2)，∴该四面体的外接球的外表积S＝8π.]3．一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图7­2­17，圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.(1)试确定R与r的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比．图7­2­17[解](1)不妨设球的半径为4；那么球的外表积为64π，圆锥的底面积为12π，∴圆锥的底面半径为2eq\r(3)；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是eq\r(42－2\r(3)2)＝2，所以圆锥体积较小者的高为4－2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为4