2023年高考数学一轮复习课时分层训练42两条直线的位置关系文北师大版

课时分层训练(四十二)两条直线的位置关系A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．点A(1，－2)，B(m,2)且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，那么实数m的值是()A．－2B．－7C．3D．1C[因为线段AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，0))在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]2．(2023·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1 B．2C．eq\r(2) D．2eq\r(2)C[圆心坐标为(－1,0)，所以圆心到直线y＝x＋3即x－y＋3＝0的距离为eq\f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).]3．假设直线(a＋1)x＋2y＝0与直线x－ay＝1互相垂直，那么实数a的值等于()A．－1 B．0C．1 D．2C[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋1,2)))×eq\f(1,a)＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]4．(2023·安阳模拟)两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，那么l1，l2之间距离的取值范围是()【导学号：00090272】A．(5，＋∞) B．(0,5]C．(eq\r(34)，＋∞) D．(0，eq\r(34)]D[当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，|PQ|＝eq\r(－1－22＋[2－－3]2)＝eq\r(34)，因此l1，l2之间距离的取值范围是(0，eq\r(34)]．]5．假设直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，那么直线l2经过定点()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)B[直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)．]二、填空题6．点(2,1)关于直线x－y＋1＝0的对称点为________．(0,3)[设对称点为(x0，y0)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－1,x0－2)＝－1，,\f(x0＋2,2)－\f(y0＋1,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝3，))故所求对称点为(0,3)．]7．直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是eq\r(2)，那么直线l1的方程为________．x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0[设直线l1的方程为x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意知eq\f(|C＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，即|C＋1|＝2，解得C＝1或C＝－3，因此直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.]8．(2023·郑州模拟)b>0，直线x－b2y－1＝0与直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0互相垂直，那么ab的最小值等于________．2[由题意知b2＋1－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b>0，那么ab＝b＋eq\f(1,b)≥2(当且仅当b＝1时等号成立)，∴ab的最小值为2.]三、解答题9．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程．[解]由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交点坐标为(－1,2)．5分∵l3的斜率为eq\f(3,5)，∴l的斜率为－eq\f(5,3)，8分那么直线l的方程为y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.12分10．直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．[解](1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝3，))2分∴直线l恒过定点(－2,3).5分(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大.7分又直线PA的斜率kPA＝eq\f(4－3,3＋2)＝eq\f(1,5)，∴直线l的斜率kl＝－5.10分故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2023·泰安模拟)如图8­1­1所示，两点A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，那么光线所经过的路程是()图8­1­1A．2eq\r(10) B．6C．3eq\r(3) D．2eq\r(5)A[易得AB所在的直线方程为x＋y＝4，由于点P关于直线AB对称的点为A1(4,2)，点P关于y轴对称的点为A2(－2,0)，那么光线所经过的路程即A1(4,2)与A2(－2,0)两点间的距离．于是|A1A2|＝eq\r(4＋22＋2－02)＝2eq\r(10).]2．(2023·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，那么|MP|2＋|MQ|2的值为________．【导学号：00090273】10[由题意知P(0,1)，Q(－3,0)，∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴M位于以PQ为直径的圆上．∵|PQ|＝eq\r(9＋1)＝eq\r(10)，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝10.]3．假设m＞0，n＞0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，求eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值．[解]易知点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为M(1－n,1＋m).3分又点M(1－n,1＋m)在直线x－y＋2＝0上，∴1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.6分于是eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))＝1＋eq