2023年高考数学一轮复习课时分层训练42平行关系理北师大版

课时分层训练(四十二)平行关系A组根底达标一、选择题1．(2023·合肥模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，假设AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，那么对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行 B．相交C．在平面内 D．不能确定A[如图，由eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)得AC∥EF.又因为EF平面DEF，ACeq\o(⊆,/)平面DEF，所以AC∥平面DEF.]2．(2023·湖南长沙二模)m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么以下命题中正确的选项是()A．m∥α，n∥α，那么m∥n B．m∥n，m∥α，那么n∥αC．m⊥α，m⊥β，那么α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，那么α∥βC[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故A不正确；对于B，m∥n，m∥α，那么n∥α或nα，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．应选C.]3．(2023·豫西五校4月联考)m，n，l1，l2表示不同直线，α、β表示不同平面，假设mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，那么α∥β的一个充分条件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2D[对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，假设m∥n，那么α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．应选D.]4．(2023·山东济南模拟)如图7­3­5所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，那么DE与AB【导学号：79140231】图7­3­5A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能B[在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1∵AB平面ABC，A1B1eq\o(⊆,/)平面ABC，∴A1B1∥平面ABC.∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.]5．(2023·合肥二检)假设平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，那么该三棱锥与平面α平行的棱有()A．0条 B．1条C．2条 D．0条或2条C[如图设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，EFeq\o(⊆,/)平面BCD，GH平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，那么EF∥CD，EF平面EFGH，CDeq\o(⊆,/)平面EFGH，那么CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，应选C.]二、填空题6．如图7­3­6，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，假设PC＝2，CA＝3，CD＝1，那么AB＝________.图7­3­6eq\f(5,2)[∵α∥β，∴CD∥AB，那么eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，∴AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).]7.如图7­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．假设EF∥平面AB1C，那么线段图7­3­7eq\r(2)[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2eq\r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).]8.如图7­3­8，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，那么四面体的四个面中与MN平行的是________．图7­3­8平面ABC，平面ABD[连接AM并延长交CD于E，那么E为CD的中点．由于N为△BCD的重心，所以B，N，E三点共线，且eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，所以MN∥AB.于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.]三、解答题9．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图7­3­9所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论.【导学号：79140232】图7­3­9[解](1)点F，G，H的位置如下图．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD­EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH平面ACH，BEeq\o(⊆,/)平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.10．(2023·石家庄质检(一))如图7­3­10，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.图7­3­10(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求点M到平面PAN的距离．[解](1)在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH(图略)，在△PBC中，NH∥BC，且NH＝eq\f(1,3)BC＝1，AM＝eq\f(1,2)AD＝1.又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，∴四边形AMNH为平行四边形，∴MN∥AH，又AH平面PAB，MNeq\o(⊆,/)平面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)连接AC，MC，PM(图略)，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD＝2eq\r(2)，AC＝2eq\r(3)，∴S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝4eq\r(3)，S△AMC＝eq\f(1,2)AM·CD＝eq\r(2)，由VM­PAC＝VP­AMC，得eq\f(1,3)S△PAC·h＝eq\f(1,3)S△AMC·PA，即4eq\r(3)h＝eq\r(2)×4，∴h＝eq\f(\r(6),3)，∴点M到平面PAN的距离为eq\f(\r(6),3).]B组能力提升11.如图7­3­11，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，那么在以下结论中，错误的选项是()图7­3­11A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°C[因为截面PQMN是正方形，所以MN∥PQ，那么MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，那么AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，那么AC⊥BD，故A，B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．]12．如图7­3­12所示，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，那么A1D∶DC【导学号：79140233】图7­3­121[设BC1∩B1C＝O，连接OD∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD.∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1那么A1D∶DC1＝1.]13．如图7­3­13，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．图7­3­13(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？假设存在，证明你的结论，假设不存在，请说明理由．[解](1)证明：取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB，又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH，又DH平面PAD，CEeq\o(⊆,/)平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在点F为AB的中点，使平面P