2023年高考数学一轮复习课时分层训练45空间向量及其运算理北师大版

课时分层训练(四十五)空间向量及其运算A组根底达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，那么直线AB与CD的位置关系是()A．垂直 B．平行C．异面 D．相交但不垂直B[由题意得，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up7(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝－3eq\o(CD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))共线，又eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(CD,\s\up7(→))没有公共点．∴AB∥CD.]2．(2023·上饶期中)如图7­6­6，三棱锥O­ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(NM,\s\up7(→))，那么eq\o(NM,\s\up7(→))＝()图7­6­6A.eq\f(1,2)(－a＋b＋c)B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c)D.eq\f(1,2)(－a－b＋c)B[eq\o(NM,\s\up7(→))＝eq\o(NA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(ON,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c)．]3．(2023·武汉三中月考)在空间直角坐标系中，A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，那么P点坐标为()A．(3,0,0) B．(0,3,0)C．(0,0,3) D．(0,0，－3)C[设P(0,0，z)，那么有eq\r((1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2)＝eq\r((2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2)，解得z＝3.应选C.]4．a＝(1,0,1)，b＝(x,1,2)，且a·b＝3，那么向量a与b的夹角为()【导学号：79140246】A.eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)D[∵a·b＝x＋2＝3，∴x＝1，∴b＝(1,1,2)．∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),2).∴a与b的夹角为eq\f(π,6)，应选D.]5．如图7­6­7，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，那么B，D两点间的距离是()图7­6­7A.eq\r(3) B．eq\r(2)C．1 D．eq\r(3－\r(2))D[∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))，∴|eq\o(BD,\s\up7(→))|2＝|eq\o(BF,\s\up7(→))|2＋|eq\o(FE,\s\up7(→))|2＋|eq\o(ED,\s\up7(→))|2＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(FE,\s\up7(→))＋2eq\o(FE,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＋2eq\o(BF,\s\up7(→))·eq\o(ED,\s\up7(→))＝1＋1＋1－eq\r(2)＝3－eq\r(2)，故|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝eq\r(3－\r(2)).]二、填空题6．a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，假设a，b，c三向量共面，那么λ＝________.－9[由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,x＋2y＝6，,－3x＋3y＝λ，))解得λ＝－9.]7．如图7­6­8，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，假设eq\o(MN,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AP,\s\up7(→))，那么x＋y＋z＝________.图7­6­8－eq\f(2,3)[eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(PN,\s\up7(→))－eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AP,\s\up7(→)))－eq\f(2,3)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up7(→))，所以x＋y＋z＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝－eq\f(2,3).]8．a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，那么c＝________.(3，－2,2)[因为a∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．]三、解答题9．空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→)).(1)假设|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up7(→))，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.【导学号：79140247】[解](1)∵c∥eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝meq\o(BC,\s\up7(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝eq\r((－2m)2＋(－m)2＋(2m)2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.又∵|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r((－1)2＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10)，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).10．a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up7(→))⊥b？(O为原点)[解](1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋(－5)2＋52)＝5eq\r(2).(2)令eq\o(AE,\s\up7(→))＝teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)，所以eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，假设eq\o(OE,\s\up7(→))⊥b，那么eq\o(OE,\s\up7(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5).因此存在点E，使得eq\o(OE,\s\up7(→))⊥b，此时E点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).B组能力提升11．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，M为BC中点，那么△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定C[∵M为BC中点，∴eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，∴eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0.∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]12．V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，eq\o(VP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up7(→))，eq\o(VM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VB,\s\up7(→))，eq\o(VN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up7(→)).那么VA与平面PMN的位置关系是________.【导学号：79140248】平行[如图，设eq\o(VA,\s\up7(→))＝a，eq\o(VB,\s\up7(→))＝b，eq\o(VC,\s\up7(→))＝c，那么eq\o(VD,\s\up7(→))＝a＋c－b，由题意知eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(VD,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(VC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.因此eq\o(VA,\s\up7(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PM,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PN,\s\up7(→))，∴eq\o(VA,\s\up7(→))，eq\o(PM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))共面．又∵VAeq\o(⊆,/)平面PMN，∴VA∥平面PMN.]13.如图7­6­9，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．图7­6­9(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解](1)证明：设eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up7(→))＝c，根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴eq\o(CE,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up7(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(A′D,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0.∴eq\o(CE,\s\up7(→))⊥eq\o(A′D,\s\up7(→))，即CE⊥A′D.(2)∵eq\o(AC′,\s\up7(→))＝－a＋c，|eq\o(AC′,\s\up7(→))|＝eq\r(2)|a|，|