2023年高考物理（热点+题型全突破）专题6.5机械能守恒定律的理解与应用（含解析）

专题6.5机械能守恒定律的理解与应用一机械能守恒的判断1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。2.“两法〞判断机械能是否守恒【典例1】(多项选择)如下图，以下关于机械能是否守恒的判断正确的选项是()A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒【答案】CD【解析】甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功。代数和为零，A、B系统机械能守恒，C对；丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。【典例2】如下图，小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，以下说法正确的选项是()A．绳对小球的拉力不做功B．小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能C．绳对小车做的功等于小球减少的动能D．小球减少的重力势能等于小球增加的动能【答案】B二单个物体的机械能守恒1.机械能守恒定律的表达式2.机械能守恒定律解题的根本思路①选取研究对象——物体系或物体．②根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．③恰当地选取参考平面，确定研究对象初末态时的机械能．④灵活选取机械能守恒的表达式列机械能守恒定律方程．⑤解方程，统一单位，进行运算，求出结果，进行检验．【典例3】如下图，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放在倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1kg的小球，将细绳拉直水平，使小球在位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5cm。(g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：(1)轻质细绳受到的拉力最大值；(2)D点到水平线AB的高度h；(3)轻质弹簧所获得的最大弹性势能Ep。【答案】(1)30N(2)16cm(3)2.9J(2)由D到A，小球做平抛运动veq\o\al(2,y)＝2gh③tan53°＝eq\f(vy,v1)④联立③④解得h＝16cm。(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin53°)，代入数据得：Ep＝2.9J。【典例4】如下图，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2LA．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了eq\r(3)mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【答案】B三系统机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，那么系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。系统间的相互作用力分为三类：〔1〕刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等〔2〕弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。〔3〕其它力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：〔1〕轻绳连体类〔2〕轻杆连体类〔3〕在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。〔4〕悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。〔1〕轻绳连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。【典例5】如下图，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4m，现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力，取g＝10m/s2(1)假设圆环恰能下降h＝3m，A和B的质量应满足什么关系？(2)假设圆环下降h＝3m时的速度vB＝5m/s，那么A和B的质量有何关系？(3)不管A和B的质量为多大，圆环下降h＝3m时的速度不可能超过多大？【答案】(1)M＝3m(2)eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)(3)2eq\r(15)m/s(2)假设圆环下降h＝3m时的速度vB＝5m/s，由机械能守恒定律有mgh－MghA＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,A)又h2＋l2＝(l＋hA)2如下图，A、B的速度关系为vA＝vBcosθ＝vB·eq\f(h,\r(h2＋l2))解得A和B的质量关系为eq\f(M,m)＝eq\f(35,29)(3)B的质量比A的大得越多，圆环下降h＝3m时的速度越大，当m≫M时可认为B下落过程机械能守恒，有mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,Bm)解得圆环的最大速度vBm＝2eq\r即圆环下降h＝3m时的速度不可能超过2eq\r〔2〕轻杆连体类这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。【典例6】质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球eq\f(L,3)处有一个光滑固定轴O，如图9所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：图9(1)小球P的速度大小；(2)在此过程中小球P机械能的变化量。【答案】(1)eq\f(\r(2gL),3)(2)增加了eq\f(4,9)mgL解得v＝eq\f(\r(2gL),3)。(2)小球P机械能增加量ΔE＝mg·eq\f(1,3)L＋eq\f(1,2)mv2＝eq\f(4,9)mgL〔3〕在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明【典例7】四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为M，放在光滑的水平地面上，一质量为m的球〔不计体积〕从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？【答案】见解析在整个机械能当中，只有m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：根据动量守恒定律知所以：〔4〕悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明【典例8】质量为M的小车放在光滑的天轨上，长为L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求〔1〕小球摆动到最低点时两者的速度？〔2〕此时小球受细绳的拉力是多少？【答案】见解析〔1〕在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：根据动量守恒定律知所以：〔2〕当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力T和重力作用，根据向心力的公式但要注意，公式中的v是m相对于悬点的速度，这一点是非常重要的解得：【精选针对训练】1.如下图，一辆小车静止在光滑的水平导轨上，一小球用细绳悬挂在车上，由图中虚线位置无初速释放，那么小球在下摆过程中，以下说法正确的选项是()A．绳子的拉力对小球不做功，小球机械能守恒B．绳子的拉力对小球做正功，小球机械能增加C．绳子的拉力对小球做负功，小球机械能减小D．小球所受到的合力不做功，小球机械能不变【答案】C2.(2023·新课标全国卷Ⅱ·21)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。那么()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为eq\r(2gh)C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg【答案】BD3.如下图，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看成质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(重力加速度为g)，以下说法正确的选项是()A．A球增加的机械能等于B球减少的机械能B．A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能C．A球的最大速度为eq\r(\f(2gR,3))D．细杆对A球做的功为eq\f(8,3)mgR【答案】AD【解析】以杆、A、B两球为研究系统，杆对两球做功是系统内力做功，系统外力对系统不做功，满足机械能守恒的条件。当B球处于最低点时速度最大，由v＝ωr可知，vA＝vB＝vm，再由系统机械能守恒得，2mg·2R－mg·2R＝eq\f(1,2)(2m＋m)veq\o\al(2,m)，解得：vm＝eq\r(\f(4gR,3))；杆对球A做功属变力做功，由动能定理得：WF－mg·2R＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)，WF＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,m)＋mg·2R＝eq\f(8,3)mgR。4．(多项选择)如下图，固定在地面的斜面体上开有凹槽，槽内紧挨放置六个半径均为r的相同小球，各球编号如图。斜面与水平轨道OA平滑连接，OA长度为6r。现将六个小球由静止同时释放，小球离开A点后均做平抛运动，不计一切摩擦。那么在各小球运动过程中，以下说法正确的选项是()A．球1的机械能守恒B．球6在OA段机械能增大C．球6的水平射程最小D．六个球落地点各不相同【答案】BC5.(多项选择)如下图，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2kg的小球A。半径R＝0.3m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现给小球A一个水平向右的恒力F＝50N。(取g＝10m/s2)那么()A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为20JB．小球B运动到C处时的速度大小为0C．小球B被拉到与小球A速度大小相等时，sin∠OPB＝eq\f(3,4)D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6J【答案】AC【解析】对于F的做功过程，由几何知识得到：力F作用点的位移x＝PB－PC＝eq\r(0.42＋0.32)m－(0.4m－0.3m)＝0.4m那么力F做的功W＝Fx＝50×0.4J＝20J，故A正确；由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时小球A的速度为零，考察两球及绳子组成的系统的能量变化过程，由功能关系得：W＝eq\f(1,2)mv2＋mgR6.半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和eq\r(3)m的小球A和B。A、B之间用一长为eq\r(2)R的轻杆相连，如图5­3­6所示。开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：图5­3­6(1)B球到达最低点时的速度大小；(2)B球到达最低