中考数学相似综合练习题及答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.综合题（1）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，NB=90。，小明想从中剪出一个以NB为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多（2）【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少.（用含a,h的代数式表示）（3）【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形〃ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.（4）【实际应用】如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.【答案】（1）解：:EF、ED为AABC中位线，EDIIAB,EFIIBC,EF=BC,ED=AB,又NB=90°,「•四边形FEDB是矩形，则(2)解：PNIIBC,△APN-△ABC,PN=a-/]PQ,设PQ=x,贝"S矩形pqmn二PQ・PN=x(a-x)=-X2+ax=-(x-)2+,・•・当PQ=时，Spc.N最大值为.矩形PQMN(3)解：如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,由题意知四边形ABCH是矩形，AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,/.EH=20、DH=16,AE=EH、CD=DH,在^AEF和^HED中，/.△AE碎△HED(ASA),/.AF=DH=16,同理△CDG^△HDE,CG=HE=20,Bl==24,,/Bl=24<32,「•中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL_LBC于点L,由【探索发现】知矩形的最大面积为xBG・BF=x(40+20)x(32+16)=720,答：该矩形的面积为720；(4)解：如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EH_LBC于点H,EtanB=tanC=,ZB=ZC,EB=EC,BC=108cm,且EH_LBC,BH=CH=BC=54cm,tanB==EH=BH=x54=72cm,在RSBHE中，BE==90cm,AB=50cm,AE=40cm,「•BE的中点Q在线段AB±,;CD=60cm,ED=30cm,「•CE的中点P在线段CD±,「•中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC.EH=1944cm2,答：该矩形的面积为1944cm2.【解析】【分析】(1)由三角形的中位线定理可得EDIIAB,EFIIBC,EF=BC,ED=AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而ZB=90°,根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以(2)因为PNIIBC,由相似三角形的判定可得△APN-△ABC,则可得比例式PNh-PC且一方，解得，设PQ=x，贝11s矩形pqm『PQ・PN=x()，因为0,所以函数有最大值，即当PQ=时，S矩形pqmn有最大值为；(3)延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH,于是用角边角可得△AE碎△HED,所以AF=DH=16,同理可得ACDG^△HDE,则CG=HE=20,所以=24,BI=24<32,所以中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL_LBC于点L,由(1)得矩形的最大面积为xBG・BF=x(40+20)x(32+16)=720；(4)延长BA、CD交于点E,过点E作EH±BC于点H,因为tanB=tanC,所以NB=ZC,则EB=EC,由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=x54=72cm,在RSBHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm,所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面积为BC»EH=1944cm2.2.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点，且与x轴的一个交点为D(-2,0),点P是线段CB上的动点，设CP=t(0<t<10).(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；(2)过点P作PELBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，NPBE=NOCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PMIIBQ，交CQ于点M，作PNIICQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.【答案】(1)解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,「.C(0,4),丁四边形OABC为矩形，且A(10,0),B(10,4)，^OQa70b+4=4把B、D坐标代入抛物线解析式可得'Q一生一二0解得••・抛物线解析式为丫=X2+x+4；(2)解：由题意可设P(t,4),则E(t,t2+t+4),PB=10-t,PE=t2+t+4-4=t2+t,ZBPE=ZCOD=90°,当NPBE=ZOCD时，则4PBE-△OCD,,即BP*OD=CO»PE,「•2(10-t)=4(t2+t),解得t=3或t=10(不合题意，舍去)，当t=3时，ZPBE=ZOCD；当NPBE=ZCDO时，贝!]△PBE-△ODC,,即BP*OC=DO»PE,「•4(10-t)=2(t2+t),解得t=12或t=10(均不合题意，舍去)综上所述...当t=3时，ZPBE=ZOCD(3)解：当四边形PMQN为正方形时，则NPMC=NPNB=NCQB=90。，PM=PN,ZCQO+NAQB=90°,「ZCQO+ZOCQ=90°,ZOCQ=ZAQB,RtACOQsRtAQAB,「•,即OQ・AQ=CO・AB,设0Q=m,贝l]AQ=10-m,m(10-m)=4x4,解得m=2或m=8,①当m=2时，CQ==,BQ==,sinZBCQ=BC=,sinZCBQ==,：.PM=PC»sinZPCQ=t,PN=PB*sinZCBQ=(10-t),t=(10-t),解得t=,②当m=8时，同理可求得t=,「•当四边形PMQN为正方形时，t的值为或【解析】【分析】(1)先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABC。及点A的坐标为(10,0),求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。(2)设P(t,4),利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PB、PE的长，再分情况讨论：当NPBE=NOCD时，可证△PBEs^OCD,利用相似三角形的性质，的长BP»OD=CO»PE,建立关于t的方程，求出符合题意的t的值；当NPBE=ZCDO时，可得△PBE-△ODC,利用相似三角形的性质得出BP»OC=DO»PE,建立关于t的方程，求出t的值，综上所述就可得出符合题意的t的值。(3)当四边形PMQN为正方形时，贝UNPMC=NPNB=NCQB=90。，PM=PN,再证明RtACOQ-RtAQAB,利用相似三角形的性质得出OQ・AQ=CO・AB,设OQ=m,贝ljAQ=10-m,建立关于m的方程，求出m的值，再分别根据m的值求出CQ、BQ的长，再利用解直角三角形用含t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程，再解方程，就可求出符合题意的t的值。3.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(2,0),点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连结BD,作，交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.(1)填空：点B的坐标为；(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；DE二（3）①求证：DB~3.②设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值【答案】（1）（2）解：存在，理由如下：OA=2,OC=2,tanZACO==,：.ZACO=30°/ZACB=60°①如图（1）中，当E在线段CO上时，ADEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC,/.ZDCE=ZEDC=30°,ZDBC=ZBCD=60°,△DBC是等边三角形，DC=BC=2,在RtAAOC中，ZACO=30°,0A=2,AC=2AO=4,/.AD=AC-CD=4-2=2,・•・当AD=2时，△DEC是等腰三角形，②如图（2）中，当E在。C的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15°,ZABD=ZADB=75°,/.AB=AD=2,综上所述，满足条件的AD的值为2或2.（3）①如图，过点D作MN_LAB于点M,交0C于点N。A(0.2)和C(23,0),「•直线AC的解析式为y=-33x+2,设D(a,-33a+2),DN=-33a+2,BM=23-aZBDE=90°,ZBDM+ZNDE=90°,ZBDM+ZDBM=90°,ZDBM=ZEDN,ZBMD=ZDNE=90°,△BMD-ADNE,DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.②如图（2）中，作DH_LAB于H。在RtAADH中，AD=x,ZDAH=ZACO=30°,DH=12AD=12x,AH=AD2-DH2=32x,BH=23-32x,在RtABDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,DE=33BD=33-12x2+23-32x2,「•矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,y=33x-32+333>0,「.x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】(1)二.四边形AOCB是矩形，BC=0A=2,OC=AB=,ZBCO=ZBAO=90°,•B(,2)【分析】(1)根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。(2)根据点A、C的坐标，求出NACO,ZACB的度数，分两种情况讨论：①如图(1)

中，当E在线段CO上时，4DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；②如图(2)中，当E在0C的延长线上时，4DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15。,分别求出AD的长，即可求解。(3)①如图，过点D作MN_LAB于点M,交0C于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D(a,-a+2),分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明△BMD-ADNE,然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；②如图(2)中，作DH±AB于H。设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。4.正方形ABCD的边长为6cm,点E,M分别是线段BD,AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F,过M作MN_LAF,垂足为H,交边AB于点N.।(1)如图①，若点M与点D重合，求证：AF=MN；(2)如图②，若点M从点D出发，以lcm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.①设BF=ycm,求y关于t的函数表达式；②当BN=2AN时，连接FN,求FN的长.【答案】(1)证明：二•四边形ABCD为正方形，AD=AB,ZDAN=ZFBA=90°.MN±AF,ZNAH+ZANH=90°.ZNDA+ZANH=90°,ZNAH=ZNDA,△AB碎△MAN,AF=MN.(2)解：①:四边形ABCD为正方形，ADIIBF,ZADE=ZFBE.ZAED=ZBEF,△EBF-△EDA,「四边形ABCD为正方形，AD=DC=CB=6cm,BD=6cm..•点E从点B出发，以cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts,BE=tcm,DE=(6一t)cm,••y=•②;四边形ABCD为正方形，「.NMAN=ZFBA=90°.;MN±AF,ZNAH+ZANH=90°.ZNMA+ZANH=90°,ZNAH=ZNMA.△ABF-△MAN,••」心k=.BN=2AN,AB=6cm,AN=2cm.t=2,BF==3(cm).又「BN=4cm,FN==5(cm).【解析】【分析】⑴根据正方形的性质得出AD=AB,NDAN=NFBA=90。.再根据同角的余角相等得出NNAH=ZNDA,进而证出△AB这△MAN即可解答，(2)根据正方形的性质得出两角相等证出AEBF-△EDA,得出BD的长度，利用AEBF-aEDA得出比例式，得出y和t之间的函数解析式，据正方形的性质得出两角相等证出AABF-△MAN,得出比例式，进而解答.5.如图，在△ABC中，ZC=90°,NABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,是4BEF的外接圆.(1)求证：AC是。O的切线；(2)过点E作EHLAB,垂足为H,求证：CD=HF；(3)已知:CD=1,EH=3,求AF的长.【答案】(1)证明：如图，连接OE.丁BE平分NABC，「.NCBE=NOBE，;OB=OE，「.NOBE=NOEB，「.NOEB=NCBE，OEIIBC,ZAEO=ZC=90°,「•AC是。0的切线;(2)解：如图，连结DE.ZCBE=ZOBE,EC_LBC于C,EH_LAB于H,EC=EH.ZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,ZCDE=ZHFE.在^CDE与八HFE中，CDEM△HFE(AAS),CD=HF.(3)解：由(2)得，CD=HF.又CD=1HF=1在RtAHFE中，EF==EF±BEZBEF=90°ZEHF=ZBEF=90°ZEFH=ZBFEEHF-△BEF「•，即BF=1O在RtAOHE中,在RtAEOA中,5_4二0A$【解析】【分析】(1)连接0E.利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OEIIBC,从而得NAEO=NC=90°,可得到证明；(2)连结DE.利用AAS可证ACDEM△HFE,从而得到证明；(3)证△EHF-△BEF,由相似三角形的性质可求得BF,从而得到0E,在RtAOHE和△EOA中，由cosZEOA可求出0A,从而求出AF..如图，AB为的直径，C为上一点，D为BA延长线上一点，(1)求证：DC为的切线；的半径为5,(2)线段DF分别交AC,BC于点E,F的半径为5,，求CF的长.【答案】(1)解：如图，连接0C,为的直径,

二DC为的切线(2)二DC为的切线(2)解:中,中,【解析】【分析】(1)要证DC为OO的切线，需添加辅助线：连半径OC,证垂直，根据直径所对的圆周角是直角，可得出NBCO+NOCA=90°，再利用等腰三角形的性质，可得出NB=NBCO，结合已知，可推出NOCD=90°，然后利用切线的判定定理，可证得结论。(2)根据已知圆的半径和sinB的值，可求出AB、BC的值，再证明^CAD-△BCD，得出对应边成比例，得出AD与CD的比值，利用勾股定理求出AD、CD的长，再利用NCEF=45°去证明CE=CF，然后证明△CED-△BFD，得出对应边成比例，求出CF的长。.如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点。、点A(2,-4)、点B(3,-3),与x轴交于点C,直线AB交x轴于点D,交y轴于点E.(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)直线AF±x轴，垂足为点F,AF上取一点G,使AGBA-△AOD,求此时点G的坐标；(3)过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N,若NBMN=ZOAF,求直线BM的函数表达式.【答案】(1)解：将原点。(0,0)、点A(2,-4)、点B(3,-3),分别代入y=ax2+bx+c,得，解得-y=x2-4x=,「•顶点为(2,-4).(2)解：设直线八8为丫=1«+13,由点A(2,-4),B(3,-3),得解得直线AB为y=x-6.当y=0时，x=6,•.•点D(6,0).・•点A(2,-4),D(6,0),B(3,-3),0A=,0D=6,AD=,AF=4,0F=2,DF=4,AB=DF=AF,又DAF^x轴,ZAD0=ZDAF=45°,••△GBA-△AOD,解得TOC\o"1-5"\h\z48———FG=AF-AG=4-33,•・•点G(2,).(3)解：如图1,ZBMN=ZOAF,ZMBN=ZAOF,设直线BM与AF交于点H,ZABH=ZAOD,ZHAB=ZADO,解得AH=H(2解得设直线BM为y=kx+b,•「将点B、G的坐标代入得解得・•・直线BM的解析式为y=如图2,

BD=AD-AB=.BD=AD-AB=.ZBMN=ZOAF,ZGDB=ZODA,△HBD-△AOD.「•，即，解得DH=4.•••点H的坐标为（2,0）.设直线BM的解析式为y=kx+b.•••将点B和点G的坐标代入得：，解得k=-3,b=6.「•直线BM的解析式为y=-3x+6.综上所述，直线MB的解析式为y=或y=-3x+6.【解析】【分析】（1）将原点。（0,0）、点A（2,-4）、点B（3,-3）,分别代入y=ax2+bx+c,联立方程组解答即可a,b,c的值，得到二次函数解析式；将解析式配成顶点式，可得顶点；（2）由AGBAsaAOD,可得,分别求出AD,AB,0D的长即可求出AG,由点A的坐标，即可求出点G；（3）点M在直线AF的左侧，可发出垂足N可以在线段AB上，也可以在AB的延长线上，故有如图1和如图2两种可能；设直线BM与直线AF的交点为H,由（2）可知，参加（2）的方法可求出点H的坐标，从而求出直线BM的解析式.8.如图，在菱形ABCD8.如图，在菱形ABCD中,,点E是边BC的中点，连接DE,AE.(1)求DE的长；(2)点F为边CD上的一点，连接AF,交DE于点G,连接EF,若①求证：△△；②求DF的长.【答案】(1)解：连结BD(2)解：①AGDG———EGFG【解析】【分析】（1）连结BD,根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE_LBC,CE=2,然后利用勾股定理算出DE的长；（2）①首先判断出AAGDs△EGF,根据相似三角形对应边成比例得出，又ZAGE=ZDGF,故^AGE-△DGF；②根据相似三角形的性质及含30。直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH_LDC于点H,在Rt^ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.9.问题提出；（1）如图1,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP=时，△APE的周长最小.（2）如图2,矩形ABCD,AB=4,BC=8,点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ=2,当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）问题解决；（3）如图3,某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？8【答案】(1)3(2)解：点A向右平移2个单位到M,点E关于BC的对称点F,连接MF,交BC于Q,此时MQ+EQ最小，PQ=3,DE=CE=2,AE=2,」•要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行,即AP+EQ=MQ+EQ,过M作MN_LBC于N,/.MNIICD△MNQs△FCQ,/.NQ=4BP=BQ-PQ=4+2-2=4(3)解:如图，作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,N,此时△PMN的周长最小.AP=AG=AH=100米，ZGAM=ZPAM,ZHAN=ZPAN,ZPAM+ZPAN=60°,ZGAH=120°,且AG=AH,/.ZAGH=ZAHG=30°,过点A作AO_LGH,AO=50米，HO=GO=50米，GH=100米，

SaaSaaGh=-GHxAO=250°平方米,'S四边形AMPNagm+'aANH—AGHS^AMN'・•・S.amn的值最小时，S四边形ampn的值最大，平方米.MN=GM=NH=,,S四边形ampnS^aghS^amn2500平方米.【解析】【解答】（1）二.四边形八BCD是矩形,ZD=90°=ZABC,AB=CD=4,BC=AD=8,.「E为CD中点,DE=CE=2,在RS/WE中，由勾股定理得：AE===2即△ME的边八E的长一定，要△八户E的周长最小，只要八户+QE最小即可，延长AB到M,使BM=AB=^,则八和M关于BC对称，连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小,•••四边形八BCD是矩形，.'.ABWCD,△ECPs△MBP,CP=故答案为：【分析】（1）延长AB到M,使BM=AB,则A和M关于BC对称，连接EM交BC于P,此时AP+EP的值最小，根据勾股定理求出AE长，根据矩形性质得出ABIICD,推出△ECP-△MBP，得出比例式，代入即可求出CP长；（2）点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，证^MNQs△FCQ即可求BP的长；(3)作点P关于AB的对称点G,作点P关于AC的对称点作点P关于AC的对称点H,连接GH,交AB,AC于点M,边形AMPN二'&AGM+^Aanh-^aAGH~^AAMN即“aMN的值最小时，N,此时△PMN的周长最小.S四S四边形AMPN的值最大・四110.在平面直角坐标系中，直线B,与y轴交于点C,10.在平面直角坐标系中，直线B,与y轴交于点C,二次函数-与x轴交于点的图象经过点B,C两点，且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.(1)求二次函数的表达式；(2)如图1,连接DC,DB,^ABCD的面积为S,求S的最大值；(3)如图2,过点D作DM±BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于NABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：直线，当时,♦，.•••二次函数•••二次函数的图象经过，两点,•••解得・••二次函数的表达式为：(2)解：过点作轴于点，交于点，过点作于占4八、、田iTOC\o"1-5"\h\z依题意设，则其中，•••，，抛物线开口向下.又「，・•・当时，有最大值，（3）解：或在轴上取点，使，则交延长线于点，过点作轴于点过点作II交延长线于点，过点作轴于点设点的坐标为，则在中，，解得当时，易证••・直线的函数表达式为：由，解得：，（舍）.」•点的横坐标为2.②当时，方法同①，可确定点的横坐标为【解析】【分析】（1）先求得点B、C的坐标，再代入求得b、c的值，即可得二次函数的表达式；（2）过点作轴于点，交于点，过点的长,可解答;作于点，设，则.用含有a的代数式表示出的长,可解答;再根据得到S与a的二次函数关系，利用二次函数的性质即（3）在x轴上取点K,使CK=BK,则NOKC=2NABC,过点B作BQIIMD交CD延长线于点Q,过点Q作QH_Lx轴于点H,分NDCM=ZQCB=2NABC和ZCDM=ZCQB=2NABC两种情况求点D的横坐标即可.11.如图1,在△ABC中，在BC边上取一点P,在AC边上取一点D,连AP、PD,如果△APD是等腰三角形且^ABP与公CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形〃.(1)如图2,在△ABC中AB=AC,ZB=50°,AAPD是AB边上的“等腰邻相似三角形〃，且AD=DP,ZPAC=ZBPD,贝JnPAC的度数是；(2)如图3,在△ABC中，ZA=2ZC,在AC边上至少存在一个"等腰邻相似△APD〃，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD〃，并说明理由；(3)如图4,在RtAABC中AB=AC=2,AAPD是AB边上的“等腰邻相似三角形〃，请写出AD长度的所有可能值.【答案】(1)30°(2)解：如图3中，4APD是AC边上的“等腰邻相似三角形〃，理由：作NBAC的平分线AP交BC于P,作PDIIAB交AC于D,「.NBAP=NPAD=NDPA,NCPD=NB,

DP=DA,ZCAB=2ZC,ZBAP=ZC,.△APD是等腰三角形且^APB与公CDP相似,.△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形〃(3)解:如图3Z中，当DA=DP时，设NAPD=NDAP=x,①若NBPD=ZCAP=90°-x,ZBDP=ZCPA=2x,90°-x+2x+x=180°,x=45°,•.三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；②若NPDB=ZCAP时，设NAPD=ZDAP=x,得到NPDB=ZCAP=2x,易知x=30°,设AD=a,贝l]AP=••△BPD-△CPA,TOC\o"1-5"\h\z「•，即，解得，如图4中，当PA=PD时，易知NPDB是钝角，NCAP是锐角,ZPDB=ZCPA,贝!]△BPDM△CPA,,AC=2,设AD=a,贝,AC=2,解得a=,如图5中，当AP=AD时，设NAPD=NADP=x,则NDAP=180°-2x,易知NPDB为钝角，zCAP为锐角,图5ZPDB=ZCPA=180°-x,ZCAP=90°-ZDAP=9