高中三角函数典型例题(教用)

典型例题】：1、已知tanx=2，求sinx,cosx的值.sinx解：因为tanx==2，又sin2a+cos2a=1,cosx厂sinx二2cosx联立得v/sin2x+cos2x二1解这个方程组得.2运sinx=5解这个方程组得.2运sinx=5sinx=cosx=-5cosx=2、求tan(T2°。)cos(21°。)血(—480。)的值。

tan(—690°)sin(—150°)cos(330°)tan(—720。+30°)sin(—150。)cos(360。—30。)、tan(—120°+180。)tan(—720。+30°)sin(—150。)cos(360。—30。)tan60°(—cos30°)(—sin120°)==—3^'13.tan30°(—sin150°)cos30°..sinx一cosx小亠.“，亠3、若=2,，求sinxcosx的值.sinx+cosx解：法一：因为血x一cosx=2,sinx+cosx所以sinx一cosx=2(sinx+cosx)得到sinx=—3cosx,又sin2a+cos2a=1，联立方程组，解得sinx=cosx=3j0~T0~sinx=cosx=3j0~T0~一価一10".3J10sinx=—10v'T0cosx=-^q-所以sinxcosx=一3102,,,sinx一cosx2,法二：因为sinx+cosx所以sinx一cosx=2(sinx+cosx)，所以(sinx—cosx)2=4(sinx+cosx)2，所以1一2sinxcosx=4+8sinxcosx，

所以有sinxcosx=-3104、求证：3104、求证：tan2xsin2x=tan2x-sin2x。5、求函数y二2sin(〒+)在区间［0,2兀］上的值域。26cx兀x兀7兀解：因为05x52兀］，所以055兀，<〒+—由正弦函数的图象,26266所以yg2sin(f+)gL1,2〕266、所以yg2sin(f+)gL1,2〕266、求下列函数的值域．(1)y=sin2x-cosx+2；解：(1)y=sin2x-cosx+2=1—cos2x—cosx+2——(cos2x+cosx)+3113113令t—cosx，则tg[—i,i],y=—(t2+1)+3=—(t+2)2+—4——(t+2)2+13利用二次函数的图象得到yg［1亍・(2)y=2sinxcosx一(sinx+cosx)=(sinx+cosx)2—1—(sinx+cosx)令t—sinx+cosx—^2sin(x+)，贝ytg［—4则y—t2—t—1,利用二次函数的图象得到yg［—5,1+迈］.47、若函数y=Asin(sx+©)(s>0，©>0)的图象的一个最高点为(2,畧2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6,0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为(2,巨)，得到A-"，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴1TAn交点的间隔是丁个周期，这样求得丁二4,T=16，所以448又由、；2=x'2sin(§x2+申)，得到可以取9——•—y=12sin(8x+—)-8、已知函数f(x)二cos4x—2sinxcosx—sin4x.n(I)求f(x)的最小正周期；(II)若XG[0,-],求f(x)的最大值、最小值•数21-sinx“十“y二的值域.3-cosx解：(I)因为f(x)二cos4x—2sinxcosx—sin4x=(cos2x—sin2x)(cos2x+sin2x)—sin2x=(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=i：2sinR-2x)=-12sin(2x-)44所以最小正周期为n.(II)若xe[0,-],则(2x-n)e[-n,3n],所以当x=0时，f(x)取最大值为2444-迈sin（-彳）=1；当x=驾时，f（x）取最小值为-远cos0+sin09、已知tan0=恋2，求(1)8二+sin八；(2)sin20-sin0.cos0+2cos20的值.cos0—sin9、1+sin0cos0*sin0_+cos0_1+tan0_1+迈_

解⑴cos0+sin0=^s^0==6=-3-人2；cos0(2)sin20-sin0cos0+2cos20sin20-sin0cos0+2cos20=(2)sin20+cos20sin20sin0-+2cos20cos0沁+12+1cos20说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化就会使解题过程简化。10、求函数y=1+sinx+cosx+(sinx+cosx)2的值域。解：设t=sinx+cosx=J2sin(x+n)e[72,，2]，则原函数可化为4y=t2+1+1=(t+—)2+—，因为te[-*'2,2],所以13当t=、：2时，y=3+、：2，当t=-—时，y=，max2min43所以，函数的值域为ye[：,3+J2]。411、已知函数f(x)=4sin2x+2sin2x一2，xeR；(1)求f(x)的最小正周期、f(x)

n的最大值及此时X的集合；(2)证明：函数f(x)的图像关于直线x=对称。8解:f(x)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)=2sin2x-2cos2x=2J2sin(2x-)4(1)所以f(x)的最小正周期T=n，因为xeR,所以，当2x-=2kn+，即x=kn+时，f(x)最大值为2耳2；428n(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x=对称，只要证明对任意xeR，有8nnf(一一x)=f(一+x)成立，88因为f(一彳-x)-2J2sin[2(一彳-x)一彳]=2©2sin(一扌-2x)=一2€2cos2x，f(-+x)=2^2sin[2(-+x)-]=2^2sin(-+2x)=-2p2cos2x，TOC\o"1-5"\h\z8842nnn所以f(--x)二f(-+x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x=-6对称。88812、已知函数y=12、已知函数y=(xWR),cos2x+sinx•cosx+12(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合;(2)该函数的图像可由y=sinx(x£R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?解：/、1J3解：/、1J311)y=cos2x+sinx•cosx+1=—224(2cos2x－1)+44(2sinx•cosx)+1TOC\o"1-5"\h\z1351兀兀5=cos2x+sin2x+=(cos2x•sin+sin2x•cos)+—4442664兀5=sin(2x+)+—64x=+kn,(k£Z)o6兀兀x=+kn,(k£Z)o6所以y取最大值时，只需2x+：=k+2kn,(kWZ),即62所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kn,kWZ}6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：兀兀(i)把函数y=sinx的图像向左平移：，得到函数y=sin(x+)的图像；66(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x+)的图像；6