chapter111.3量子力学基本原理的简单应用

§1.3量子力学的应用-势箱中粒子的处理量子力学方法处理问题的思路物理模型的建立和理解§1.3.1一维势箱中的粒子1.一维势箱模型

V＝00＜x＜l（Ⅱ区）

V＝∞x≤0，x≥l（Ⅰ、Ⅲ区，＝0）2.一维势箱中粒子的量子化学处理

①Schrödinger方程

Ĥ(x)=E(x)(0＜x＜l);(x)=0(x≤0,x≥l)

②Schroedinger方程的求解

1：

2：

3.4.

一维势箱Schrödinger方程的解

③

解的讨论

1.

解得图形表示2.

受一定势能场束缚的粒子的共同特征

a粒子可以存在多种运动状态（1,2…n，它们构成正交完备集）；

b能量量子化；

c存在零点能；

d没有经典运动轨道（函数的正负表明波性），只有几率分布；

e存在节点，节点越多(波长越短，频率越高)，能量越高；

f

lEn，离域效应；m

，l△En，能量变为连续，量子效应消失；

④力学量的求得

aEnĤn=Ennb粒子在箱中的平均位置：

x=x,xn≠cn,所以x没有确定值，只能求其平均值：d粒子的动量平方px2值c粒子动量的x轴分量px3.应用

①丁二烯的离域效应：势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。E1=h28ml2E离1=h28m(3l)2=E1/9

E离2=4h28m(3l)2=4E1/9E定=4E1

E离=2E离1+2E离2

=(10/9)E1CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键离域键lll3l②花菁染料的吸收光谱

[R2N¨－(CH＝CH－)nCH＝N+R2]n计算实验

311.6309.0412.8409.0514.0511.0说明此体系可近似看做一维势箱。势箱总长l＝248n+565pm，共有2n＋2＋2个电子；基态时需占n+2个分子轨道，En+2En+3时，

=△E/h=(h/8ml2)[(n+3)2-(n+2)2]=(h/8ml2)(2n+5),由=c/，

=8ml2c/(2n+5)h例题若某电子的运动可以按一维势箱模型处理，其势箱长度为1Å，计算该电子由基态到第二激发态的跃迁波数。§1.3.2三维势箱中的粒子1.三维势箱模型

V＝00＜x＜a,0<y<b,0<z<c

V＝∞otherwise2.三维势箱中粒子的量子化学处理①Schrödinger方程

Ĥ(x,y,z)=E(x,y,z)(0＜x＜a,0<y<b,0<z<c);(x,y,z)=0(otherwise)②Schrödinger方程的求解=XYZE=Ex+Ey+Ez=XYZE=Ex+Ey+Ez3.立方势箱基态：ψ1,1,1=…..E1,1,1=3h2/(8ma2)简并能级：有多个状态具有相同能量的能级；简并态：简并能级对应的状态简并度：简并态的个数第一激发态：ψ2,1,1，ψ1,2,1，

ψ1,1,2

；

E2,1,1=E1,2,1=E1,1,2=6h2/(8ma2)例题：

1）若立方势箱中运动的粒子的能量为下列值，求其简并度为多少？2）求立方势箱中运动的粒子的能量符合下列条件的所有状态？量子力学理论处理问题的思路：根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schrödinger方程；解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及En，求得n描绘n，n*n等图形，讨论其分布特点；用力学量算符作用于n，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体