2023届河北衡水中学高三1月模拟数学试题

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知有A、B、C、D四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为D的必要条件，D为A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、D中的任意一个命题均为A、B、C、D四个命题的必要条件，则这个条件可以为（

）.A．B为C的必要条件 B．B为A的必要条件C．C为D的充分条件 D．B为D的必要条件2．复数.若，则（

）的值与a、b的值无关.A． B． C． D．3．，可以写成关于的多项式，则该多项式各项系数之和为（

）.A．240 B．241 C．242 D．2434．函数的图像如图所示，已知，则方程在上有（

）个非负实根.A．0 B．1 C．2 D．35．函数的最大值为（

）.A． B． C． D．36．，，，，a，b，c，d间的大小关系为（

）.A． B．C． D．7．已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有（

）个不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．2528．平面上有两组互不重合的点，与，，，.则的范围为（

）.A． B．C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．工厂生产某零件，其尺寸服从正态分布（单位：cm）.其中k由零件的材料决定，且.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.已知当随机变量时，，，，则下列说法中正确的有（

）.A．越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小B．越大，预计生产出普通零件的概率越大C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为，，，则当时，每生产1000个零件预计盈利10．已知椭圆C：，上有三点、、，、分别为其左、右焦点.则下列说法中正确的有（

）.A．若线段、、的长度构成等差数列，则点、、的横坐标一定构成等差数列.B．若直线与直线斜率之积为，则直线过坐标原点.C．若的重心在轴上，则D．面积的最大值为11．已知函数，其中、.则下列说法中正确的有（

）.A．的最小值为B．的最大值为C．方程在上有三个解D．在上单调递减12．直线、为曲线与的两条公切线.从左往右依次交与于A点、B点；从左往右依次交与于C点、D点，且A点位于C点左侧，D点位于B点左侧.设坐标原点为O，与交于点P.则下列说法中正确的有（

）.A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．底边和腰长之比为的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为______.14．已知存在实数使得，则的取值范围为______.15．已知圆C：，点，点.点P为圆C上一点，作线段AP的垂直平分线l.则点B到直线l距离最小值为______.16．二元数列中各项的值同时由，决定.已知二元数列满足，，.若，，则______四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知，D为边AC上一点，，.(1)若，，求；(2)若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.18．为提高核酸检测效率，某医学实验室现准备采用某种检测新冠肺炎病毒核酸的新型技术进行新一轮大规模核酸筛查.经过初步统计分析得出该项技术的错检率约为0.04，漏检率约为0.01.（错检率指在检测出阳性的情况下未感染的概率，漏检率指在感染的情况下检测出阴性的概率）(1)当有100个人检测出核酸阳性时，求预计检出的假阳性人数；(2)为节约成本，实验室在该技术的基础上采用“混采”的方式对个别疫区进行核酸检测，即将n个人的样本装进一根试管内送检；若某组检测出核酸阳性，则对这n个人分别进行单人单试管核酸采样.现对两个疫区的居民进行核酸检测，A疫区共有10000名居民，采用的混采策略；B疫区共有20000名居民，采用的混采策略.已知两个疫区每个居民感染新冠肺炎的概率相等且均小于0.00032，通过计算比较A、B两个疫区核酸检测预计消耗试管数量.参考数据：，19．异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.20．已知数列满足，，，为数列前项和.(1)若，，求的通项公式；(2)若，设为前n项平方和，证明：恒成立.21．已知抛物线，点为抛物线焦点.过点作一条斜率为正的直线l从下至上依次交抛物线于点与点，过点作与l斜率互为相反数的直线分别交x轴和抛物线于、.(1)若直线斜率为k，证明抛物线在点处切线斜率为；(2)过点作直线分别交x轴和抛物线于、，过点作直线分别交x轴和抛物线于、，且，直线斜率与直线斜率互为相反数.证明数列为等差数列.22．已知函数.(1)若有唯一零点，设满足条件的值为与证明：①与互为相反数；②；(2)设.若存在两个不同的极值点、，证明.参考数据：，1．A2．A3．D4．B5．D6．B7．C8．D9．AC10．ABC11．BC12．CD13．14．15．##16．答案征集17．(1)(2)【分析】（1）先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；（2）先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.【详解】（1）如图1，，，所以，因为，，所以，故，则，即，又，则，故，不妨记，，则，因为，所以，解得，则，因为，所以，所以..（2）如图2，不妨设与内切圆的半径分别为与，因为直线BD平分，所以由角平分线性质定理得，记，则，记，则，因为，所以，因为，即，则，所以，即，因为（为顶点到的距离），又，，所以，则，令，则，，所以，因为，所以，则，故，所以，即，所以，故，所以与内切圆半径之比的取值范围为..18．(1)4；(2)A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.【分析】（1）利用错检率计算得解；（2）先求出整个疫区检测次数的期望值和整个疫区检测次数的期望值，再作差比较大小即得解.【详解】（1）解：当有100个人检测出核酸阳性时，预计检出的假阳性人数为.（2）解：先计算疫区核酸检测预计消耗试管数量.设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，10000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.再计算疫区核酸检测预计消耗试管数量.设疫区每个居民感染新冠肺炎的概率为，采用的混采策略，则该小组所需检测次数为和，对应的概率分别为和,所以该小组检测次数的期望为，20000名居民分成1000个小组，所以整个疫区检测次数的期望值为.因为，所以，，所以，所以A疫区核酸检测预计消耗试管数量比疫区核酸检测预计消耗试管数量少.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，进而假设是直线与的公垂线，利用空间向量垂直的坐标表示得到关于的方程组，从而推出矛盾，由此得证；（2）利用（1）中结论，求得直线与的公共法向量，从而利用异面直线间的距离公式求得所求.【详解】（1）因为在三棱锥中，平面PBC，，所以易得两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，故，不妨设，，则，，所以，即，所以，，，要证，只需证不是直线与的公垂线即可，假设是直线与的公垂线，则，故，即，整理得，消去，得，即，所以，不满足，故假设不成立，所以..（2）不妨设，则，由（1）得，，，因为，所以，则，所以，不妨设是直线与的公共法向量，所以，令，则，，故，设线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为，则，因为，所以，即线段EF所在直线与线段所在直线之间的距离为.20．(1)(2)证明见解析【分析】（1）代入，将条件化为，从而得到是常数列，进而得到是等差数列，由此利用等差数列的前项和公式即可得解；（2）利用数学归纳法推得要证结论，需证，再次利用数学归纳法证得其成立，从而结论得证.【详解】（1）因为，，所以，则，又，所以是首项为的常数列，则，所以是首项为，公差为的等差数列，则，所以.（2）因为，所以，又，，所以，，则，因为，所以当时，，所以；当时，，所以；假设当时，有，则当时，，因为，所以要证，需证，即证，当时，，，则，假设当时，有，则当时，，因为，所以，所以，综上：成立，所以成立，综上：恒成立.21．(1)见解析(2)见解析【分析】(1)设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；.(2)设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列.【详解】（1）设则，同理.，即，，.当时，，所以抛物线在点处切线斜率为，得证.（2）设，故直线，令，则，故，同理.当时，故，当时，同理有，因为，故，整理得到：，因此，由可得，故，因此，即为等差数列，设其公差为.而，故，其中.又直线，因该直线过，故，解得，故，所以，故，而，故，所以为等差数列，设其公差为.故，故当时，，该数为常数.当时，，该数为常数，而，故，故，故对任意的，为常数，故数列为等差数列.【点睛】思路点睛：解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处理从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.22．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求出函数的导数，根据仅有一个零点结合函数的单调性可得零点满足，通过构建新函数可判断该方程有两个根且它们互为导数，从而可得与互为相反数，结合其中一个根的范围可证.（2）利用零点满足的方程可得，结合对数不等式可得.【详解】（1）若，则，此时无零点，舍.故，，令，因为，故在上有且只有一个零点，若，则，这与矛盾，故.且时，，当，，故在上为减函数，在上为增函数，下证：当时，有.证明：当时，成立，设，则，故在上为减函数，故即，故，故当时且.当时，若，则恒成立，而当时，有，设，则，，故当时，即：当时，有即.当时，，由时的讨论可得：若时，有，故成立.而即时，有成立.因为仅有一个零点，故，所以且，故，整理得到，化简得到：，令，则，其中.设，则，故在上均为增函数，而，，故在上有且只有一个零点，而，故在上有且只有一个零点，故在有且只有两个零点，且它们互为倒数，故在有且只有两个零点，且即，其中即.设函数零点为时对应的参数值为，函数零点为时对应的参数值