数学奥林匹克高中训练题

数学高中训练题第一试选择题(6,36分a∈R,集合

顶点的三角形与圆x2+y2=R2(R>0)没有公共点.则半径R的取值范围为( ).322M={N={

|x|<a,x∈R}-a<x<a,x∈R}

0,32

∪(3,+则MN的关系为 ) (C)310,3(A)M= (B)M< (C)M=

(D)0,3

∞∪389,∞7A-BCD,sin∠BADcos∠BCD,sin∠ABDcos∠CBD,

6已知二次函数fx)=x2+px+q通过点α,0(β,0)若存在整数n,n<<sin∠ADB=cos∠CDB则△ABD为 )a1a2,a3a4,a5

βn1minfn)fn1与4系为 )min{f(n),f(n+1)}>4min{f(n),f(n+1)}<4min{f(n),f(n+1)}=4n201Sn=a1+a2+⋯+an满2Sn=an-a(1≤n≤5则满足条件的数列共有()个.n2(A)2(B)6(C)8(D)

填空题(9,54分fx)=x3+ax2+bx+a2x=1处取得极值10.则实数对(a,b)ab为非零的不共线向量, Mb⊥a-b)Nx∈R,不等式|a-7≥|a-b|恒成立7则M是N的 )

M=2cos34°-cos

ABCD-A1

C1

65sin2in14.M 5.以A(-3,0)B(0,-3)C15 7

面对角线为棱,可以构成两个四面体A-B1CD1A1-BC1D.则来共占的体积为1重合部分只计算一次) c7名运动员分别获得某项比赛的c

h,证明:1+1<

+1cc3人2.8128n成a1,a2,⋯,an,则∑kak

nn+1bnx ,yn+求证xxn+证明:若点

n+n+1n+1,k=将正方体ABCD-A1B1C1D1的每一角三角形贴上,其中,一个三角形是红色的,另一个三角形是黄色的.若正方体的每一个顶点处的红色内角之和均等于黄色内角之,Rt△ABB1为红色,则红色三角形还有.三、20分)ABCDA1B1C1D1,ABCD为菱形(方形AC1A1BD的一个充分条件,并作出证明.,abc≠0a+b=b+c=c+aa- b- c-

y=axa0a≠1,a,Pylogaxp=0112345678910111213141516171819问p证明你的结论第一试a0,熟知|x|<aΖ-a<x<a,M=N≠?.a≤0,由绝对值的非负性知,M=?.而由0≤-a<x<a≤0知,N=?.故M=N.|a2007|=|b2007|=|c2007|五、(20分l:5x-7y-700

如图1,由∠BAD∠ABD、∠ADB的点P作椭圆25

9=1的切线PMPN

cosMN,MNPl上运动时,证明直线MN过一定点Q;MN∥l,证明Q平分线段MN.第二试一、50分ABC内任取一点

=a,PB=b,PC=证明abc为边可以组成一个钝角三角形,记作△A1B1C1;A1B1C1A1B1=sin∠BAD>0cos=sin∠ABD>0①cos∠CDB=sin∠ADB>②下面证明:△ABD中的最大角必为钝角.不妨BADABD中的,则-∠BAD=180°-∠ABD-=(90°-∠ABD)+(90°-=∠CBD+∠CDB=180°-∠BCD>

b⊥(a-bAB⊥OB由点与直线之间垂直距离最短AC≥AB,即对一切x∈R,不等式|a-xb|≥|a-b|恒成立.把n=1代入2S=a-a2,有2a=a-a2 反之 AB恒成立,则 AB.故AB必即a2+a= 点 即

,

AC a-b|OA|=3|OB||OA|=3|OB|=3|OC|=3789n≥22Sn=an-a2,- 2Sn+1=an+ n+12,2an12Sn1-Sn =an+1-an-an+1+an即(an+1-an)(an+1+an)+(an+1+an)故an+1+an= an+1-an+1= 1,a2=a1-1=-2(a2=-a11)a3=-a22a3=a2-1=-

R>|OC|,三又直线ABAC 图y=-x-3,y=2(x+3),y=3(x-1)3则原点(圆心到这三边的距离分别 ,d d=32, ,d a4=-a3=-2(a4=a3-11)a3=-3,有两个取a4=-a3=3,a4=a3-1=-

当R小于其中的最小值,即0<R< 10时 0

,+∞a4=-2,a5=-a4=2,a5=a4-1=-3a43,a5=-a4=-3,a5=a4-1=2a4=-4,a5=-a4=4,a5=a4-1=-故满足条件的数列一6个-1,-2,2,-2,2 -1,-2,2,-2,-3-1,-2,-3,3,-3 -1,-2,-3,3,2

6.由二次函数通过点α,0(β,0),有恒等f(x)=(x-)(x-β). x=nn1n<<n1代入,有fn)=n)(nβ)0f(n+1)=(n+1-)(n+1-β)>0<f(n)f(n+))=α-n)(n+1-)(β-n)(n+1---1,-2,-3,-4,44.-1,-2,-3,-4,-<α-n)+(n+1-)22(β-n)+(n+1-β)2如图2设OA=aOB=b,则xb表示与=124,minfn)fn1}<14|a-xb|表示点A到直

由函数x1处取得10AC,而|a-b|表示点 图B的距离

(即f(1)=10

3+2a+b=01+a+b+a2=a1=4b1=-11

a2=-3b2=

(1,2,4),(1,3,3),(2,2,3).把(4,-11)代入, 当(1,2,4)时,发奖方式f(x)=x3+4x2-11x+16 C1C2C4=76 (76 2×1105种f(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)可以得x1时有极小把-33,f(x)=x3-3x2+3x+9f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2

当(133,发奖方式C1C3C3=76×5 (76 3×2×1140种当(223,发奖方式7×6×5x∈Rfx不会递x1不是极值点

74

3

2×1210(种ab为(4,-11说明f(x)0x值只是极值的嫌,要2.==

=6210+140+1055.211812826(27-1),可n- ≤cos cos n7an34si

2n-8(27-1),8≤ncos cos ∑kak=∑k·2k1-∑k72k1

=

k=

k=

k= k= k=说明:此题更一般性的结论 α-α

o3.

=

·sin2sin4

k=2k=14×214-(214-k=abc,体积V0=abc.两个四面体(4)的体积均

=13×214+1711V1=V0-VA-ABD-VA-111

-VA1-D1DC1-VC1-

(k+7)2k-1=13×27-6k=6=V0-46

abc

V0 kak=(13×214+1)-(13×27-∑3k=∑3=13×27(27-1)+7=211 △ADCAA1D1C1CBC1D1D△C1B1A1(答案不唯一)6,取正方图 图在的八面体(5),3 V2=1×1S四边形ABCD·h=1V03

的两个相对顶点AC1各引3条面对角线AC、AB1、AD1、C1BC1D、C1A1,△ABB1 △AA1D1、△C1CB 图1=6

-V2=23

-1V0=1V0]

=

△C1D1DC1B1 A1B1D11,而锐角总是成若取相对顶点B1D则红色三角形△ABB、△BCC、△BAD、△DAA、△DCB

,|a2007|=|b2007|=|c2007|五、Px0y0)Mx1y1Nx2y2则椭圆过点MN的切线方程分别为x1x+y1y=1,x2x+y2y= 1 11 因为两切线都过点P,则=a,AD=b,AA1

x1x0+

y19

=1

x2x0+

y29

=c,AC1=a+b+c.AC1A1BD,其充要条件是AC1

MN均在直x0x+y0y= 直于平面上的两条 图

,(x0,y0)满足直线l的方程.AC1⊥BD且AC1ΖΖ(aAC1⊥BD且AC1ΖΖ(a+b+c)·(a-b)=0(a+b+c)·(c-a)=(a-b)+(c·a-c·b)=0(c2-a2)+(b·c-b·a)=取遍一切实,y0 y0=7x0- ABCD为菱形知

a|=

b|

x0x+

5x0-70y-1=0 c·a=c·bac的夹角等于bc的夹即

x0∈R恒成立.∠AAB=∠A x

10

+1=05 5c2-a2=0b·c-b·a=则|c|=|a|,bc夹角等ba的夹,AA1=AB,∠A1AD=

x0∈R恒成立x故有109+5yx故有109+1=解得直线MN过定点Q25, AB=AD=AA1 5x0-∠25 ≠-1∠A1AB=∠A1AD= - -不为0.对题中比例式用合比、分比可得

x04375a=b=c

5x-7y

= 设k=a=b=c≠1, 533x2-533x-128068= 225c=ak,b=ak2,a=ak3a≠0k31(k≠1),|c2007|=|(ak)2007|=|a2007·k2007

由此可求,MN截椭圆所得弦的中点横坐标恰为点Q的横坐标,即-=|a2007||k3×669|=|a2007||(k3)669|=|a2007|,|b2007|=|a2007|

x=x1+x2=-

22×

=25n n+x

=-9

n·n· (n+1)n+=nn+n+ny=

×-7×35= 2

=n+

(n+1)n第二试

n+

n+

n+n+一、1)8,△PABB

n+

(n+ (n+

n+=

(n+1)n△P1 联结PP1,则P1C

xx=yy(2由点Py=ax,x=logay aBP1P为等边三,有

又由上xx=yy,两边取a为底的对数xlogax=ylogay P1P=B

=PB= 图 aabc为边可以组P1a又由△P1 △PAB,∠CP1B=∠APB>而在等边BP1P,PP1B60,∠CP1P=∠CP1B-∠BP1P>150°-60°=CP1P是一个钝角三角形如图9,△A1B1C1过钝角顶

xx≠0得logax=y,P在对数函ylogax的图像上证明其