2021年全国卷3理科数学试题及参考答案

绝★封使完前试类：课Ⅲ年普通高等学校招生全国统一考理科数学本试卷分第I卷选择题和第II卷非选择题两局部，共题共150分共。考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。考前须知：答题前考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。选择题须使用铅填涂；非选择题必须使用0.5毫黑字迹的签字笔写，字体工整，笔迹清楚。请按照号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。作图可用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。保持卡清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。第I卷一选题本题共小题每分，在题出四选中只一为一符题目求.(1)设集合

T

x

，那么

TB.

C.

2

【答案】D【解析】易得

T2

【考点】解一元二次不等式、交集(2)假设i，么

4i

B.【答案】C

C.i

【解析】易知i，故zz，【考点】共轭复数、复数运算

4i

，

22(3)向量BA

,

31，=(，，那么230°B.C.D.120°【答案】A

y

A【解析】法一：cos

BABABC

331

，ABC

B

x法二：可以B点坐标原点建立如下图直角坐标系，易知30ABC30【考点】向量夹角的坐标运算(4)A点示十月的平均最高气温约为CB点表示四月的平均最低气温约为C.面表达不正确的选项是各月的平均最低气温都在0C以七月的平均温差比一月的平均温差大C.三和十一月的均最高气温根本一样平最高气温高C的月份有个【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的份有七月、八月，六月为20左，故最多【考点】统计图的识别(5)假设tan

，那么cos2sin2

C.D.

【答案】A【解析】

2sin2

4sin14tan

64【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式

,b

,c

，那么b

C.b

【答案】A【解析】a

,b

,c

，故【考点】指数运算、幂函数性质(7)执行右面的程序框图，假如输入的a，b，那么输出的=B.4D.【答案】B【解析】列表如下

【考点】程序框图π(8)在中B，上的高等于BC那31010310C.10【答案】C

B

AD

【解析下可设BDAD么AB2DC，5，由余弦定理知，cos

2

【考点】解三角形(9)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的外表积为36

5418

C.D.81【答案】B【解析由视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故外表积为

111nn1111nn12365【考点】三视图、多面体的外表积(10)在封闭的直三棱柱ABC内一个体积为VAB⊥，BC=8，=3那么V的最大值是4

C.6

π【答案】B10【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如下图，那么由切线长定理可知，内接圆的半径为，

6又AA，以内接球的半径为，V的最大值2

89为【考点】内接球半径的求法x(11)O为标原点F是圆：a0)的焦点，，B别为C左，右顶.abP为C上点，且⊥的线l与段交点M与轴于点.假直线BM经过OE的点，那么的心率为

C.

【答案】A

【解析】易得

aMFMFAFMFBFOEAOa

F

aae

c【考点】椭圆的性质、相似(12)定义标数列〞{a}下{}有2m其中m项为0m项且任意ka…，中0的数不少于1的数，假设m，那么不同的标01数〞共有〔〕A．个．个C个D【答案】C【解析】

1101101101100

011100111011111【考点】数列、树状图第II卷本包必题选题局第(13)题第(21)题必题每试考都须答第22)题~第(24)题为考，生据求答二填题本题小题，题5分0(13)设x，满约束条件，么zy的大值为

【答案】【解析】三条直线的交点分别为

1,1,

，代入目的函数可得1故最小值为【考点】线性规划(14)函数sinx3cos的图像可由函数ysinx3cos图像至少向右平个单位长度得到.【答案】

2【解析】ycosysincosx2sin故可前者的图像可由后者向右平移

2

个单位长度得到【考点】三角恒等变换、图像平移(15)(x)偶函数，当时f()ln

，么曲线yf

在点

处的切线方程是_

nnnn【答案】2y【解析】法一：f'()

1，f'2，f'故切线方程为x法二：当时ff【考点】奇偶性、导数、切线方程

x

f'2y(16)直线l：mxym与x

于AB两，过AB分别作l的线与轴于C,D两点，假设AB，那么|CD|【答案】3

y【解析】如下图，作AE于，作AB于F，

AB3,3,，即3，m2

CD

x∴直线l的斜角为30°CD

32

【考点】直线和圆、弦长公式三解题解许出文说，明程演步.(17)(本小题总值分)数列

的前项和λa，中证

是等比数列，并求其通项公式；假S

，求．【答案】(1)；(2)【解析】解：(1)a

当n时a

即

，

0,即

a即,a

，∴

是等比数列，公比

，当时a，即a

a1

〔2〕假设那么S

3132

【考点】等比数列的证明、由求通项、等比数列的质(18)(本小题总值分)下列图是我国年2021年活垃圾无害化处理(位：亿吨的折线(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立关于t的回归方程)，预测2021我国生活垃圾无害化处理附注：参考数据：，y，iii

()i

，7≈2.646.ii

i

参考公式：r

i

(ti

)()i

，

(ti

)

(yy)i

i

i回归方程abt中率和截距的最小二乘估计公式分别为：

i

(t)(y)iit)i

bti【答案】(1)见解析0.10t【解析】由题意得t

4，

i

yi

1.331r

ty)iiit))ii

yyiiit)yy)ii

1.330.55

i

i

i

i因为yt相关系数近似为0.99，说明与t的性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y与t的系

i

(t)(yy)iit)i

i所以y关t的性回归方程为ya0.920.10t将t代回归方程可得，【考点】相关性分析、线性回归(19)(本小题总值分)如图，四棱锥P-ABCD中PA⊥底面，∥，ABAD=，PA=，为线段AD一点，AM=2MD，N为的中(1)证明∥面；(2)求直线AN与面PMN所成角的正弦值.

1212【答案】(1)见析(2)

8525【解析】(1)由AM

AD取BP的点T，连接AT，由为PC中点知TN//BC，

分又AD/BC，TN平且等于AM，边形为行四边形，于是MN.因为AT平面PAB，平，以MN/平面PAB.........6分取中连那易AD又面ABCD故以A为标点以为x轴以AD为y轴以为轴立空间直角坐标系，那么A0,

0

,1,

、M2,,1,2PM0,,PN,1,2故平面PMN的向量nAN,n

5直AN与面PMN所角的正弦值为【考点】线面平行证明、线面角的计算(20)(本小题总值分)

8525抛物线C2

x的点为，平行于x轴两直线l，l分交C于A，B两点，交C的准线于，Q两.(1)假设在线段AB上R是中点，证明∥；(2)假PQF面积的积的两，求点的轨迹方.【答案】(1)见析(2)x【解析】(1)法一：由题设(设l,l:y，么且11A),B(,(,Q(,),R(,).222

记过,B两的直线为l，么l的程为2a.分由于F在段AB上故ab.记AR的率为k，FQ的率k，么k

a1

aaab

1a所以∥FQ分法二：证明：连接RF，由AP，=及∥，得+=90°∴∠=90°∵R是的点，∴==RQ，∴△≌FAR，∴∠=∠，=∠FRA，∵∠+BFQ﹣∠QBF=∠∠，∴∠=，∴∠∠，∴∥．(2)设lx轴交点为，那么

ab,.2由题设可得

a，以0(舍去)，22设满足条件的AB的点为E(,y)当与x轴垂直时，由

可得

x

(x.而，所以yx当AB轴直时，E重所以，所求轨迹方程为

x.

....12分【考点】抛物线、轨迹方程(21)(本小题总值分)

设函数fx记.(1)求f'

；(2)求A；(3)证明：f【答案】见解析【解析】f'当

时，

f()acosa因此，

Aa

．当

0a

时，将

f(x

变形为

f(x2acosxa1)cos

．令

g(t2

2

a，那么A是g(t)在[上最大值，g(

，

g(1)

，且当

t

14a

时，

g(t)

获得极小值，极小值为

1(a2aag()4a8a

．令

111，得a〔舍去a435

．①当

0

15

时，

g(t)

在

(

内无极值点，

(

，

(1)|

，

(

，所以Aa

．②当

15

时，由

g((1)2(1

，知

1g((1))4a

．又

1)(1a)()|4a8a

，所以

1aA)4a8

．综上，A

a

12a,05a1,5

．由1)得

x)|x|a

当

0

15

时，

f(x)|22(2)2

121212121212当

13，A5

，所以

f()2

当

a

时，

fa2A

，所以

f)

【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请生222324题任一作作时铅在题上把选目号的框黑假多,么所的一计。(22)(本小题总值分)修4：何证明选讲如图，⊙O中AB的点为，弦，别交于E，两。(I)假∠∠，∠PCD的小；(II)假的垂直平分线与FD的直分线交于点G证明CD【答案】见解析【解析】(1)连结,BC，那么PBA,PCD.因为BP，以PBAPCB，BPD，以BFD又BFDPFBPCD，以，因PCD60.(2)因为BFD，以180，此C,D,F,四共圆，其圆心既E的直平分线上，又在DF的直平分线上，故就过CD四的的圆心所以在的直平分线上，因此OG.【考点】几何证明选讲(23)(本小题总值分)修：标系与参数方程在直线坐标系xoy中曲线的参数方程为

cos

(

为数。以坐标原点为极点轴半轴为极轴，建立极