2021年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

2x22x2全国统一高考数学试卷（理科）大纲版）一选题（大共小，每题分1分设＝A．1+3i

，共轭数（）B﹣﹣3iC．1+3iD1﹣i2分设合M＝{x﹣﹣＜0}，N＝{|0≤≤5}，则N＝）A4]B[0，）

C．[﹣，0）

D1，3分设＝°＝cos55°＝tan35°则）A．a＞b＞c

B＞ca＞＞D．＞a＞4分若量、满足＝）⊥）⊥，则＝）A．21D．5分有名医5名医生，从选出名医1名医生成个医小组则同的法有（）A．种

B70种

C．种

D种6分已椭圆：+＝（＞b＞0）左右焦为F、，离心为

，过F的线l于A、B两点，eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的长为

，C方程（）A．

+

＝1+＝1C．

+

＝1

+

＝17分曲yA．2

在（1，1）切的斜率等（）Be2．18分正四棱锥顶点都在一球面上若该棱锥高为，面长为2，该球表积（）A．

．16

C．

D9分已双线C的心为2，焦点F，A在C，FA＝，则∠AF＝（）

4224422411A．

D10分）比数{}，，a＝，数{lga}前项等于（）A．6B5C4D3分已知面角﹣﹣为°AB，⊥l，为垂足∈l，ACD＝°，则异直线AB与CD所角余弦值为）A．

12分函y＝（x）的图与数＝g（）图关于线+y对，yf（x）反数（）A．yg（x）

B＝g（x

C．y﹣g（）

．＝﹣（）二填本大共小，小5分13分）

的开中

的数数作答）14分）x满约束条件，zx+4y最值为．15分）直l和l是圆x+2的条切线，l与l的交为3l与l的角正切等．数a在区

，函数a的值围是．三解题1710分△的内、、的对分别为a、、，知3a＝，A＝，B．1812分）等差数{}前n项和，知＝13，为数，且≤．（1）{}通公式（2），求数{}前n项和T．19分图，棱中，点A在面内射D在AC上ACB＝90°＝，＝＝．（）明：；（）直线与面BCC1B的距离，二面角﹣的小

*n*n20分设个工作日、乙丙人使某种备概率别.60.5、0.4，人是否需用设备相独立．（）同一作至少3人使用备概率（）X表同一工作需使用设的人数，的学望．分）知抛线：y＝2（＞）焦为F直线＝4与轴的交点为，C的点为，|．（）C的方；（）的直l相于B两点若的直分线l′相于、两，A、B、四在同圆，求l的程2212分）函数f（）ln+1）﹣

（＞（）论f（x）单性（）a＝，a＝（明：＜a≤n

2014年国统高考学试卷（理科（大纲）考答试题一选题（大共小，每题分1分设＝A．1+3i

，共轭数（）B﹣﹣3iC．1+3iD1﹣i【析】直接复代数式除法算简，z的共可．【答解

＝，∴

．故：．【评】本题查数代形的除运，考了数的本念，基题．2分设合M＝{x﹣﹣＜0}，N＝{|0≤≤5}，则N＝）A4]B[0，）

C．[﹣，0）

D1，【析】求解元次不式简集M，后直接利交集运算解．【答】解：﹣﹣4＜0，＜x＜4．∴＝{x﹣3﹣＜0}＝{﹣1＜＜，又＝{|0x5}∴∩N＝{﹣＜x4}∩{|0≤≤5}＝[0，故：．【评】本题查交集其算，查一元次等式解，是础．3分设＝°＝cos55°＝tan35°则）A．a＞b＞cBb＞＞ac＞a

D＞a＞【析可得＝sin35°，易得

＞sin35，综可．【答】解：诱公式得b＝°＝cos（°﹣°）sin35°，由弦数的调可知b＞，而∴c＞b＞a

＞sin35＝，

22故：．【评】本题查角函值小的较涉及导式和角数的调，属础题4分若量、满＝+）⊥）⊥，|＝）A．21D．【析由条件利两个向量直的质可得＝0，此得．【答解：由题可得+＝

+

＝1+

＝0，∴＝﹣；（2+＝2

+

＝﹣

＝0，∴

＝2，则＝，故：．【评】本题要查两向垂直性，两向垂直则们的量等于，属基题．5分有名医5名医生，从选出名医1名医生成个医小组则同的法有（）A．种

B70种

C．种

D种【析】根据意分2步分析，从6名男医中2人，再5名女医中出人由合数式次求每步的况目，分计数理算可答．【答解：根据意，从6名医生中选人有

＝种法再5名女医中出1人有＝种选法，则同选法有15×＝75种；故：．【评】本题查步计原的应，意区排、组的同．6分已椭圆：

+

＝1（＞）的左右焦点为F，离心率

，过F的线l于A、B两点，eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的长为

，C方程（）

22xxx22xxx1xxA．

+

＝1+＝1C．

+

＝1+

＝1【析利用eq\o\ac(△,)的周长为b，即可出椭圆的程．【答解：∵eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的长

，出＝，据离率，

，得＝，求出∵eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B周长|+|AF＝a＝4a，∴4＝∴a＝

，，∵心∴∴b＝

，，c＝1，＝，∴圆的程

+

＝1．故：．【评】本题查圆的义方程考椭圆几性质考学生计能力属于础．7分曲yA．2

在（1，1）切的斜率等（）Be2．1【析】求函的数，用数的何义即求对应切斜率【答】解：数导数f′x＝+＝），当＝时f′1）＝2，即线＝

在（1，1）切的斜kf′1）＝，故：．【评】本题要查导的何意，接求数导数解本题关，比基础8分正棱锥的顶都在同一面上，若棱锥的高4，面长为2，该球的

122122表积（）A．

．16

C．

D【析四棱锥﹣ABCD的接的球心在的高O上，为O，出，OO，解球半径求球的面．【答解：设球半径R，∵锥高为4，面边长为，∴＝）（

），∴＝，∴的面积）＝．

故：．【评】本题查的表积球的接何体题考查算力，基题．9分已双线C的离率为2，点为F、，在C上，FA＝，则∠AF＝（）A．

【析】根据曲的定，及余定建立程系即得结论【答】解：双线的心率为2，∴＝，即c2a，点A在曲上，则FA﹣A＝2a，又FA＝FA，∴得FA＝4a，F＝2a，FF＝，则由余弦定

理得

∠AFF＝＝

482348234345＝

．故：．【评】本题要查双线定义运，利离率的义余弦理解决题的键考查生计算力10分）比数{}，，a＝，数{lga}前项等于（）A．6B5C4D3【析】利用比列的质得＝a＝a＝a＝．再用对的运算性即得．【答】解：数{}等比数列a＝2，＝，∴aa＝aa＝aa＝aa＝10．∴+…lga＝lg（•…•a）＝4lg10＝4．故：．【评】本题查等比列性质对的运性，属基题．分已知面角﹣﹣为°AB，⊥l，为垂足∈l，ACD＝°，则异直线AB与CD所角余弦值为）A．

【析首先出面角的平角，然后构造出异直与CD所角，用直角角和余定，求问的答．【答解：如图过A点做⊥，BE⊥，足，点做AFCD，点做EF⊥AE连接，∵⊥l∴∠＝°∵∥又∠ACD°

∴∠FAC＝°∴∠＝°在eq\o\ac(△,Rt)中，设AE＝，

，在eq\o\ac(△,Rt)AEF中则

，在eq\o\ac(△,Rt)中，＝a，∴面线ABCD所的角即是，∴∠＝＝＝．

故：．【评】本题要查了面和异直所成角关键构二面的面角异面线成的，查了生空间象力和图力，于题．12分函y＝f（x的图与数＝g（）图关于线+y对，yf（x）反数（）A．yg（x）

B＝g（x

C．y﹣g（）

D＝﹣g（x【析设（xy为＝（x的反函数象上任一点关y的对称P′y）一点在＝x）的象上P′，）于直xy＝0的称点″﹣，﹣y）＝（x图上，入析式形可得．【答解设Pxy为＝f（x）的反数图象上任意一点则P关y的对点′，）一点在＝（）图象，又函y＝f（）图象与函y＝（）的图关直线+y对，∴P′（，）关于直x+0的对点P″﹣，﹣y在＝（）象，∴有y＝（＝﹣g（﹣）∴y＝f（x的反数为：＝﹣（﹣）故：D．

2rr+1r2rr+1r【评】本题查函数性和对性属中题二、空(大题小题每题分13分）

的开中的系数数作）【析先求出二式展式通项式再令x的指数等，得r的值，即求展开中x的系数．【答＝）

的开的通公为＝••，

•令＝

﹣4＝2，得r，故开中的数

＝70，故案：．【评】本题要查二式理的用二项系的性，项式开的通公式求开式某的系，于中题14分）x满约束条件，zx+4y最值为5．【析】由约条作出行，化标数为线程的截，由得最优，联方组求最解的标代入标数得案【答解：由约条件

作可域如，联，解得C（，1

22222222化标数＝为线方的截式

．由可，当线

过点，线在y轴的距最大z最大时max＝×＝．故案：5．【评】本题查单的性划，查数形合解题想法，中题．15分）直l和l是+＝的两切线，若l与l的交点为1，3l与l的角正切等．【析设l与l的夹为，由l与l的交（1，）在圆外，由角角形的角关求

的的据＝，计求结果【答解：设l与l的角，由l与l的交点（，）在圆外，且A与心O之间距为

＝，圆半为

，∴＝∴＝∴tan2＝

＝

，＝，＝，故案．【评】本题要查直和相切性，直三形中变关系同三角数的本系、倍的正公的应，于中题16分）函数f（x）cos2xasinx在间（

，）是减函，则a取范围是（∞，2]【析利用二倍的余弦公化为弦然后＝sinx换元，据出的x的围出t的围结合次函数的象的开口向及对称的位置列求的范．【答】解：f（x）cos2+sinx＝+asinx，令t＝sinx，

44则函化为＝﹣t+at．∵x（，）f（x为减数，则＝﹣2+at在，）为减函数∵y＝2t+at+1的象口向，对称方程为．∴，解：a≤．∴a的取范围是（∞，2]答案为∞．【评】本题查合函的调性考了换法关键由元后数减函求得次数的称的位，中档．三解题1710分△的内、、的对分别为a、、，知3a＝，A＝，B．【析由acosC＝2cosA利用弦理可3sinAcosC＝Ccos，利同的三函基本系可得tC，用B＝﹣（AC）]＝（A）可出．【答】解：3acosCA，由弦理可cos＝2sinCcos，∴＝2tanC，∵＝，∴2tanC＝×＝，解得．∴＝tan[﹣AC）]＝tan（A+C）﹣＝＝﹣1，∵B（，∴B＝【评】本题查正弦理同角三函数本系式两和差正公式诱导式基础识基本能法，查推理力计算力属于档．1812分）等差数{}前n项和，知＝13，为数，且≤．

44444411（1）{}通公式（2），求数{}前n项和T．（）过≤得≥≤0，用＝为数可得＝﹣，进而得论（2）通过＝13﹣，离母可得＝（

﹣项加可．【答1）等差数{}，由≤得a≥0，a≤0，又a＝，∴，得≤≤﹣，∵a为数，＝4，∴{}通项为：a＝174n；（2）＝﹣，∴b＝＝＝﹣（﹣于＝+b……b＝[＝（＝

﹣﹣．

））

﹣）……+﹣）]【评】本题查数列通及求，查并相法，意题方的累，于中题19分图，棱C中，在平面内射D在AC上ACB＝90°＝，＝＝．（）明：；（）直线与面BCC1B的距离，二面角﹣的小

111111111【析】（Ⅰ由知数结线面直判定性可得（）辅助可FD为二角﹣﹣C的面，解角形由反角函数可得【答Ⅰ）∵D⊥面ABC平面C，∴面⊥面，又BC⊥AC∴⊥平CC，结C由面AA为菱形得⊥AC，又⊥BCC∩∴AC⊥平ABC平BC，∴AC⊥；（）⊥面，平B，∴面⊥面BCC，作A⊥CC，为垂足，得E⊥平面B，又线AA∥面BCC，∴E直与平面B的离即∵A为∠的平分线，作DF⊥，为足，结，又得AB⊥DFAD，∴⊥平面DF，AF平面ADF∴⊥，∴∠AFD为二角﹣AB﹣C的面，

，由∴DF＝

＝1知DAC中，＝，

iiii∴tan∠A1＝，∴面A﹣﹣C的大小【评】本题查面角求，作并明二角平面是决问的键，中档．20分设个工作日、乙丙人使某种备概率别.60.5、0.4，人是否需用设备相独立．（）同一作至少3人使用备概率（）X表同一工作需使用设的人数，的学望．【析】记A表事：一工日丙需使用设备i，1，2，表事件：甲需设，C表事，丁需要备D表示件：同一作日至少人使设备把4个都使用设备概率人有3个使用备的概率加，即得求．（）X的能取值为，1，，3，4，别求，再用数期公式算可．【答】解：题可得同工作至人使用备的概为0.6×××（﹣）×0.5×0.5×0.4+0.6×1﹣0.5）××××﹣）××0.5××（1﹣0.4）＝0.31（）X的可能取值为0，1，2，3，4PX）＝（1﹣）××（1﹣）＝P（＝1）×0.5×（1﹣）+（1﹣0.6）××0.4+﹣0.6）××

×（1﹣0.4）X＝）＝PA•B）＝0.6×0.4＝，PX＝3）＝D﹣PX＝4）0.25，（X＝2）（＝0）P（X＝1）P（＝3）（＝4）1﹣0.25﹣﹣＝0.38．

22故学望EX＝×0.06+1××0.38+3×0.25+4×0.06＝【评】本题要查了立件的率数学望关键找独立事，计要有心属于题分）知抛线：y＝2（＞）焦为F直线＝4与轴的交点为，C的点为，|．（）C的方；（）的直l相于B两点若的直分线l′相于、两，A、B、四在同圆，求l的程（）点的标为，4点坐标入物线C的方程求＝，据PQ求的，可C的程（）l的程＝（≠入抛线程化，用韦定理、中公式弦公式得长|．直l′方代入物方程简利用达理、长式．于MN垂直平线，点圆价于AE＝BE＝，此求m值可得直线l的程．【答Ⅰ）设Q的标x，4点的坐标入物：y＝（＞0可，点．

又＝+，QF＝|∴＝×，得＝，或＝2（舍去

故C的程为y＝4．（）题意得直线l坐轴不垂直x的焦（1，设l的方为＝my+1m0代抛线方可y﹣4my﹣＝，然别式eq\o\ac(△,＝)eq\o\ac(△,)m＞0，y+＝m，y•＝．∴的点坐标为D（m，2m），弦长AB＝＝4（m

﹣|＝

*n*n又线l′斜为﹣m，∴直l的方程为

+2m+3．过F直线l与相