2021年中考复习专题几何第02讲 平行四边形A4

第讲平四边形知识图谱平行四形知识精讲一．新定义问题四边形有关的新定义一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．二．拼接问题注意拼接过程中的相应的线段角度关系的转化，一般与全等三角形综合考查．三．与全等综合问题1．边形是有三角形组合而成这一节主要考察结合四边形的性质，证明三角形相等，进而得到对应边、对应角相等．2．熟记一些常见的模型如“弦模型、手拉手模型”等是提升图形分析速度的基础．四．动点问题动点问题分析的一般方法：1

1．确定图形中的定点、动点；2．分析运动原因；3．分析运动过程，确定动点的动轨迹；4．寻找临界情况并计.三点剖析一考：．定义问题；．接题3．与全等综合问题．动点问题．二重点．新定义问题2拼接问题；．全等综合问题；．动点问题．三易点题意理解错误，动点问题过程分析、临界位置寻找错等．题模精讲题一新义题例1.1.1如1，我们把对角线互相垂的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形，AB=AD，CB=CD问四边形ABCD是垂美四边形吗？说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四形ABCD组对边，CD与，AD之的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图，分别eq\o\ac(△,Rt)ACB的角边AC和边AB为边向外作正方形ACFG和方ABDE，连接CE，BG，已知，AB=5，求GE长．例1.1.2（1）定义：把四形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，边形为凹四边形．2

（2）性质探究：请完成凹四边一个性质的证明．已知：如图2，四边形ABCD是四边形．求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．（3）性质应用：如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与BCD角平分线交于点E，若∠ADC=140°，AEC=102°，则∠°．（4）类比学习：如图4，在凹四边形ABCD中点E，F，H分别是边AD，AB，BC的中点，顺次连接各边点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD则四边形EFGH是．（填写序号即可）A．梯形B．菱形C．矩形．正方形．例1.1.3类梯形的定义我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，边形ABCD是等对角四边形”，∠A≠∠C∠A=70°，∠B=80°．求C，∠D的数．（2）在探究“等对角四边形”质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（图2），其中ABC=∠ADC，AB=AD，时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．）已：在“等对角四边形ABCD中∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．对角线AC的长．例1.1.4如1矩形MNPQ，点，，，分别NP，，，MN上，若，则称四边形为矩形MNPQ的射四边形．图2，图3，图4中四边形ABCD为形，且

，BC．(其中形就是长方)（1）在图、图3中点，分在，上．试利用正方形网格在图上做出矩形的反射四边形EFGH．（2）求图，图3中射四边的长．3

BBM

GQ

AH

34

12

F

FN

图1

PE图2A

CGDH

34

12

FB

E

C图3

图4（3）如图，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定？并给出证明．题二拼问例1.2.1将方形纸片以适当的方式折一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号________________例1.2.2阅下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1五个正方形的边长都为1将这五个正方形分割为四部分，再拼接为一个大正方形．小明研究发现：如图2，拼接的正方形的边长为，日”字形的对角线长都为5，五个正方形被两条互相垂直的线段AB，分为四部分，将这四部分图形分别标号，以为一边画大正方形，把这四部分图形分别移入正方形内，就解决问题．请你参考小明的画法，完成下列问题：（1）如图，边长分别为a的个正方形被两条互相垂直的线段AB，分为四部分图形，现将这四部分图形拼接成一个大正方形，请画出拼接示意图；（2）如图，一个八角形纸板有个角都是直角，所有的边都相等，将这个纸板沿虚线分割为八部分，再拼接成一个正方形，如图5所，画出拼接示意图；若拼接后的正方形的面积为82，则八角形纸板的边长__________.4

FE

①

A②

③

C③D

①

②B图1图2A③a

D①

②

bC

B图3

图4

图5例1.2.3如，在菱形纸片ABCD中，ABC下步进行裁剪和拼图：第一步：如图1，在线段AD任意取一点E，沿EC剪一三角形纸片EBC（下部分不再用）；第二步：如图2，沿三角形EBC的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段BC上意取一点，沿MN将梯形纸片剪成两部分；第三步：如图3，将左侧纸片绕G点顺时针方向旋转线GB重合，将MN右侧纸片绕H点按时针方向旋转1线HC与HE重，再与三角形纸片拼一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无且不重叠）（1）请你在图3中画出拼接成四边形（2）直接写出拼成的四边形纸周长的最小值________cm，最大值为________cm.A

E

D

G

E

M

H

G

E

M

HC

B

N

C

B

N

C图1题三与等合题

图2

图35

,,N,B例1.3.1在方形ABCD中点E是对线AC的中点，点F在，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是ADFD的中DG=2.5，DF=3连接EG，EG的；（2）如图②，若DG⊥AF交于点H，点是CD的点，连接FH，证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于H，是CD上的点，连接EG．当点F在CD上不含端点）运动时，∠EGH的小是否生改变？若不改变，求出EGH的数；若发生改变，请说明由．例1.3.2在习了正方形后，数学小组同学对正方形进行了探究，发现：（1）如图1，在正方形ABCD中，E为边上任意一点（点E不与B、C重合），点F在段AE上，过点的直MN⊥AE，分交AB、CD于M、N此时，有结论，进行证明；（2）如图2：当点F为AE中时，其他条件不变，连接正方形的对角线BD，MN与BD交点G连接BF，此时有结论：BF=FG，利用图出证明．（3）如图3：当点E为线BC的动点时，如果2）的其他条件不变，直线MN分别直线AB、CD于、N，请你直接写出线与MN之的数量关系、线段BF与FG之的数量关系．例1.3.3如，在菱形ABCD中分是边的点，MP边于，接NMNP.(1)若

，这时点P与C重，则NMP度(2)求证：NM；(3)当NPC为等腰三角形时，求的度数。6

题四动问例1.4.1如，是边长为1的方形对角线BD上一动点P与B、D不合），∠APE=90°，点E在BC边，交BD于点F（1）求证：①eq\o\ac(△,≌)PABeq\o\ac(△,；)PCB；（2）在点的动过程中，的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，请说明理由；（3）设，x为值时，AE∥PC并判断此时四边形PAFC的状．例1.4.2在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠B=90°，AB=BC=12cm，点D从A出发沿边AB以2cm/s的度向点B移动，移动过程中始终保持∥BC，DF∥AC点E、F别在、BC上）设点D移的时间为t秒．试解答下列问题：（1）如图，当t为少秒时四边形DFCE的面积等于20cm（2）如图1，点D在动过程，四边形DFCE可是菱形吗？若能，试求t的；若不能，请说明理由；（3）如图，以点F为心FC的长半径作．①在运动过程中，是否存在这样的t，使⊙正好与四边形DFCE的一边（或边所在的直线）切？若存在，求出t值；不存在，请说明理由；②若⊙与边形DFCE至有个公共点，请直接写出的取范围．例1.4.3如1，已知B点坐标是（3，6），BA⊥x轴A⊥y轴于，D线段OA上E在y轴的正半轴上DE，MDE中，且MOB上（1）点M的坐是____，____，DE=____（2）小明在研究动点问题时发，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点从点B出以每秒1个单长度的速度向点运动同时有一点G从D出发以每秒个位长度的速度向点运动点H从E开始y轴方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中，7

Q为GH的中，与G两点别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P运动的路线长．（3）连接PQ，当运动多少秒时PQ最，最小值是多少？随堂练习随1.1我们定义：一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的垂线恰好交于AB边一点P，连AC，BD，试探究与BD的量系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在eq\o\ac(△,Rt)ABC与中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，eq\o\ac(△,Rt)ABD绕着A顺时旋转角α（0°＜∠α）到eq\o\ac(△,Rt)AB′D（如图），当凸四边形AD′BC为邻角四边形时，求出它的面积．随1.2定义：有三内角相等的四边形叫三等角四边形．（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=，求A的取范围；（2）如图，折叠平行四边形纸，使顶点，F分别在边BE，BF上的点A处折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是等角四边形．（3）三等角四边形ABCD中，∠B=∠C若CB=CD=4，则当AD的为何值时，AB的最大，最大值是多少？并求此时对角线AC的长8

随1.3已：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB∠A=72°，∠M=144°．形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为，BM的长度为．（1）图形①中∠，图形②中E=____°（2）小明有两种纸片各若干张其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为的十边形，需要这种纸_张；②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3）其中∠P=72°，，PI=PJ=a+b，IQ=JQ请你在图画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）随1.4现有10个长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个的正方形．要求：在图1中实线画出分割线，并在图的正形网格图（图中每个小正方形的边长均1）中用实线画出拼接成的新正形．随1.5如图1，若将△绕O逆时针旋转80△，AOB△．此时，我们称△与COD“全等型”．借助8字全等型”我们可以决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中△是锐角三角形且AC，为中，为上一点且FC（不、重），沿将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．9

DO

A

②

EA

B

B

①

③F

C图1

图2请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．（1）在图中△沿割剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；（2）在图中△沿割剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3）在图中△沿割剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为锐角三角形．AB

B

B

C

B

C图3

图4

图5随1.6正形ABCD的边长为a，等腰直角三角形的斜AE（a

），且边AD和AE在一直线．当时如，在上选取中点G连结FG和CG，裁掉△FAG和△重新拼接到△FDH和△HDC的位置，构成正方形FGCH．（1）类比图剪拼法，请你就图和图种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．（2）要使图中所拼的新图形是正方形，须满足FF

BG

_________．FA

H

E

DA

DEGB

CB

C

B

C图1

图2

图3随1.7如，已知正方形ABCD是CB延线上一点，连接DE，交AB于F，过点B作BG⊥DE于，连接AG．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABG=∠ADE；（3）写出DG，BG之间等关系，并证明．

随1.8如图AC是正方形ABCD的角线．点E为线CB上个动点（点与点C，B重合），连接AE，点F在线上，且EF=AE．（1）点E在线CB上，如图1所；①若∠BAE=10°，∠的度数；②用等式表示线段，CE，CF间的数量关系，并证明．（2）如图2，点E在线CB的长线上；请你依题意补全图，并直接写出线段CD，CE之间的数量关系．随1.9在面直角坐标系中，边长为2的方形OABC的顶点A、C分在y轴、轴正半轴上，点O在点，现将正方形OABC绕O顺时针旋转，当点第一次落在直线y=x上停止旋转，旋转过程中AB边交线y=x于M，BC边交轴于点（如图）．（1）旋转过程中，当MN和AC平时，求正方形OABC旋的角度；（2）试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；（3）折△MBN的周长为p，在转过程中p值是发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的．随如1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC于点O．点E为段AC上一个动点，接DE，BE，过E作⊥BD于F设AE=x图某条线段的长为y，若表示y与x的数关系图像大致如图2所，则这条线可能是图中的）

A．线段EF

B．线BE

C．

线段DE

D．

线段CE随1.11如，矩形ABCD，点EBC上点F为DE的点，且BFC=90°．（1）当E为BC中点，求证：eq\o\ac(△,≌)BCFeq\o\ac(△,；)DEC（2）当时求

的值；（3）设，BE=n，作点C关于DE的称点′，连结FC，AF若点C′到AF的距是，求n的．随1.12如，在矩形ABCD，点在边CD上，且与C不合，过点A作的垂与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，MPQ中．（1）求证：eq\o\ac(△,；)ADP∽△ABQ（2）若AD=10，AB=a，DP=8，着的大的变化，点的位也在变化，当点M落在形ABCD内部时，求a的值范围．随1.13如，菱形ABCD中对线AC，BD相交点，且AC=6cm，BD=8cm，点P，Q分别从点B，D同出发，运动速度为1cm/s点沿→C→D运动到点D停止，点Q沿D→B运动，到点O停1s后继续运动，到点B停，连接AP，PQeq\o\ac(△,设)APQ的积为y（cm（这里规定：线段是面积0的何图形），点运动时间为（s）．（1）填空：AB=______cm，ABCD之间距离______cm；（2）当4≤x时，求y与x之间函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程，使PQ与菱形ABCD一平行的所有x的值

能力拓展拓1等腰三角形是生活中常见的几何图形，我们称有两边相等的三角是等腰三角形，类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图，在四边形ABCD中加一个条_，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”；（2）如图2，等邻边四边形”，AB=AD，AC=BD，对角线AC、BD互相平分，请你证“等邻边四边形ABCD是方；（3）如图3，“等邻边四边形ABCD中AB=AD∠BAD+，AC、BD为角线，AC=AB，试探究BC、CD、BD之间的量关系，并证明你的结论．拓2定：长度为n：1（n为整数）矩形称为n矩．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：正方形ABCD沿点B的线折叠，使折叠后的点落对角线BD上的点G处，折痕BH．操作2：将AD沿点G的线叠，使点A，点分别落在边，CD上，痕为EF．则四边形BCEF为矩形．证明：设正方形的长为，则BD=1

2．由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°则四边形BCEF为矩形．∴∠A=∠BFE．∴EF∥AD∴

BF，．BDAB21∴BF=

12

．

1∴BC：BF=1：=2：1．2∴四边形BCEF为形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，求线段的．（2）已知四边形BCEF为2矩，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图②，求证四边形BCMN是矩．（3）将图②中的3形BCMN沿（）的方式操作5后，得到一个“矩形”，则的值是____．拓3如图1，四边形中，、为的对角线，E为边一动点（点E与点、重合），∥BD交点F，FGBD交DC于G，GHAC交AD于点H，连接HE．记四边形的周长为p，如果在点E的动过程中，的值变，则我们称四边形为四形”，此时的称为它的“值．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD中若，它的“”为．D

G

F

DC

C

OH

A

B

A

B

A

B（1）等腰梯形___________（“是”或“不是”）“Ω四边形”；（2）如图3，BD是O的直，是⊙上点，AD，AB，C为AB上一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△CEF．点运动某位置时，以、、、、E、中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多________个拓4有若干张边长都是2的边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的边形与三角形纸片数的和是时，么组成的大平行四边形或梯形的周长____；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么成的大平行四边形或梯形的周长_．拓5在学课上同学们研究图形的拼接问题．比如：两个全等的等腰直角三角形纸片既能拼成一个大的等腰直角三角形（如图1）也能拼成一

个正方形（如图2）．（1现有两个相似的直角三角纸片，各有一个角为30，恰好可以拼成另一个含有30角的直角三角形，那么在原来的两个三角形纸片中，较大的与较小的纸片的相似比为，请画出拼接的示图；（2）现有一个矩形恰好由三个有一个角为0的角三角形纸片拼成，请你画出两种不同拼法的示意图．在拼成这个矩形的三角形中，若每种拼法中最小的三角形的斜边长为a

，请直接写出每种拼法中最大三角形的斜边长．拓6操示例：对于边长为的两正方形ABCD和，图所示方式摆放，在沿虚线，EG剪后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中四边形．从拼接的过程容易得到结论：①四边形是正方形；②．形正正方形实践与探究：（1）对于边长分别为b（a）两正方形和EFGH，图2所示方式摆放，连接DE，过点作DM⊥，AB于点M，过点M作MN，点E作⊥，MN与EN相于点；①证明四边形是正方形，并用含a，b代数式表示正方形MNED的积；②在图2中将正方形和正形沿线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说你的拼接方法（类比图1，用数表示对应的图形）；（2）对于（是大2的自数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个方形？请简要说明你的理由．拓7已知四边形ABCD是正形，点、F分别射线AB、射线BC上，AE=BF，DE与AF交于O．

（1）如图1，当点E、F分别线段AB上，则线段DE与线段AF的数关系是，置系是．（2）将线段AE沿AF进平移至FG连结DG．①如图，当点E在AB延线时，补全图形，写出AD，AE，DG之间的数量关系．②若DG=52，BE=1，直接写出AD长拓8在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边为3的正方形AEFG按1位放置，AD与AE在一条直线上AB与AG在一条直线上．（1）小明发现DG=BE且，请你给出证明．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕逆时旋转，当点B恰落在线段上，请你帮他出此时△的积．拓9中∠BAC=90°，点D为线BC上动点（点D不重），以AD为边在AD右侧正方形ADEF，接