高中数学题型全面归纳抛物线及其性质44改

第三节抛物线及其性质考纲解读掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质命题趋势探究抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质，题形上，选择、填空、解答题都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主•预测2019年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用，焦点弦是重点考查的内容•知识点精讲一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（F・T）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注若在定义中有F•l，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.二、抛物线的方程、图形及性质抛物线的标准方程有4种形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py（p■0），其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程2y=2px(p>0)2y=-2px(p>0)2x=2py(p>0)2x=-2py(pa0)图形|y-/kLLilOIIKx7r对称轴x轴y轴顶点原点(0,0)焦占八'、八\、坐标仔0）2（-匕。）2（o自（0打）准线方程X—2x窪2三、抛物线中常用的结论1•点P（x0，y°）与抛物线y2=2px（p0）的关系（1）P在抛物线内（含焦点）二y；2px0.（2）P在抛物线上二yo=2px0.（3）P在抛物线外=yf2px0.2.焦半径抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称为焦半径，若y2=2px(p.0)，则焦半径PF=x0+EPF=P02>max2・p(p.0)的几何意义p为焦点F到准线丨的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.焦点弦若AB为抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，A(Xi,yJ，B(X2,y?)，则有以下结论：2x1x^=—.4yy=_p2.焦点弦长公式1：AB=%+x2+p，右+x2K2\&兀=p，当％=x2时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.焦点弦长公式2：AB=—冬为直线AB与对称轴的夹角).sina2AOB的面积公式：Saobp—(〉为直线AB与对称轴的夹角)•sina5•抛物线的弦若AB为抛物线y2=2px(p0)的任意一条弦，A(x,,y,),B(x2,y2)，弦的中点为M(X0,y0)(y。=0),则(1)弦长公式：AB=Ji+k2咅一x2*一讨2J十0)⑵kAB=Ry。⑶直线AB的方程为y-y0=卫(x-y。X°)⑷线段AB的垂直平分线方程为yy°—(xx°)ATOC\o"1-5"\h\z6•求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法(法)4Aay=Ax(A=0),焦点为(—,0)，准线为x=442aax二Ay(A=0),焦点为(0,)，准线为y二44..AA如y=4x2，即x2二」，焦点为(0,—)，准线方程为y—416167.参数方程22x二2pty-2p><p0的参数方程为H(参数rR)ly=2pt&切线方程和切点弦方程2抛物线y=2px(p0)的切线方程为y°y=p(x•x°),(X0,y。)为切点切点弦方程为y°y=p(x•x°),点(x°,y0)在抛物线外与中点弦平行的直线为y°y二p(x-x°),此直线与抛物线相离，点(x°,y0)(含焦点)是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。题型归纳及思路提示题型143;抛物线的定义与方程思路提示求抛物线的标准方程的步骤为：先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：根据题目条件列出P的方程解方程求出P,即得标准方程例10.23已知抛物线y2=2px(p-0)的准线与圆x2•y2「6x「7=0相切，求的值为()1A.—B.1C.2D.42

变式1【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴TOC\o"1-5"\h\z的距离是•2变式2设M(Xo,y°)为抛物线C:x=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心,FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则yo的取值范围是()A.0,2B.0,21C.2,：：例10.24若点p至煩线x=「1的距离比它到点2,0的距离小1，则点p的轨迹为()A.圆()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线变式1设圆C与圆x2（y-3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆变式2【2016高考天津理数】设抛物线x=2pt,（t为参数，p>0）的焦点为F,准线为

ly=2ptl.过抛物线上一点A作I的垂线，垂足为B.设C（7p,0），AF与BC相交于点E.若2|CF=2|AF|，且△ACE的面积为3&，贝yp的值为.例10.25设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P抛物线焦点的距离是()TOC\o"1-5"\h\zA.4B.6C.8D.12变式1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3,贝UOM|=()A.22B.2“3C.4D.2、5变式2已知F是抛物线y2=x的焦点，A,B是该抛物线上的两点，AF+BF|=3则线段AB的中点到y轴的距离为()A.3B.1C.5D.7444设F为抛物线y2=4x的焦点，设F为抛物线y2=4x的焦点，FAFBFC=0，则FAFBFC=(变式3A,B,C为该抛物线上三点，若A.9B.6C.4D.3例10.26过抛物线y2=2px(p.0)的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于A,B两点(点A,B两点(点A在x轴上方)，则AFBF变式1已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于代B两点,设FA>FB，贝UFA与FB的比值等于变式2【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为()(A)乜(B)-(C)迈(D)132

题型144与抛物线有关的距离和最值问题思路提示抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。例10.27已知直线h:4x-3y•6=0和直线12：x--1，抛物线寸二4x上一动点P至U直线li和12的距离之和的最小值是（）A.2B.3D.A.2B.3D.3716变式1已知点P是抛物线2y=2x上的一个动点，则点P到点M（0,2）与到该抛物线准)C.5)C.5D.•万TOC\o"1-5"\h\zA.B.32变式2已知点P在抛物线y2=4x上，那么当点P到点Q（2,-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）11A.（一，-1）B.（—,1）C.（1,2）D.（1厂2）4变式3【2017课标1，理10】已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li，12，直线li与C交于A、B两点，直线12与C交于D、E两点，贝U|AB|+|DE的最小值为A．16B．14C．12D．10题型145抛物线中三角形，四边形的面积问题思路提示解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例10.28在直角坐标系xOy中，直线丨过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A,B两点，其中点A在x轴上方，若直线丨的倾斜角为60，则LOAF的面积为变式1过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于代B两点，点O是坐标原点，若AF=3，则LIAOB的面积为(B.2变式2【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线2y=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点上有三个不同的点A，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是(A.BF」-1AF|-1B.2BF-12AF-1C.BF1AF12BF+1D.2—AF+1例10.29抛物线y2=4x的焦点为F,准线为I，经过F且斜率为、、3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK_丨，垂足为K，则LAKF的面积是()A.4C.43D.8变式12已知抛物线C;y=8x的焦点为准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK=2AF,则LAKF的面积为()A.4B.8C.16D.32变式22X【2017天津，理19】设椭圆飞-a2y_=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为1.已知A是抛物线y2二2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线I的距离为1.离心率为(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设I上两点P，Q关于X轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与X轴相交于点D若厶APD的面积为二I,求直线AP的方程.2

最有效训练题44（限时45分钟）5,则抛物线的1.抛物线y2=24ax（a0）上有一点M,它的横坐标是3,5,则抛物线的方程为（）方程为（）22A.y=8xB.y=12x2•若点P到直线x=-2的距离比它到点A.圆B.椭圆C.双曲线22C.y=16xD.y=20x（1,0）的距离大1,则点P的轨迹为（）D.抛物线23•已知抛物线y=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A.相离B.相切C.相交D23•已知抛物线y=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不能确定4.已知双曲线2Ci：笃a2当=1（a0,b0）的离心率为2,若抛物线C2:x2b=2py(p0)的焦点到双曲线G的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为A.x2二3216^3B.xy2C.x=8yD.x2=16y5.等轴双曲线C5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线=16x的准线交于A,B两点，AB=4J3,则C的实轴长为A.2B.22C.4D.86.已知P,QA.2B.22C.4D.86.已知P,Q为抛物线x2-2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4,-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点AA.1B.3，则点A的纵坐标为（）C.-4D.一8=3FB，则弦AB的中点到7.已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点=3FB，则弦AB的中点到准线的距离为取得最小值时&若点3,1是抛物线y2=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,贝Up=_取得最小值时9.已知点A2,0,B4,0，动点P在抛物线y2--4x上运动，则的点P的坐标是10•已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点若有点A(3,2)，求的最小值，并PA+PF求出取最小值时P点的坐标若点A的坐标为(2,3卜求PA+|PF的最小值若P点在y轴上的射影是M，点A的坐标是'