高中数学立体几何空间距离问题

立体几何空间距离问题空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.•难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD是矩形,AB=a,AD=b,PA丄平面ABCD,PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.P为RTAABC所在平面a外一点，NACB=90°(如图)⑴若PC=a,ZPCA=ZPCB=60。，求P到面a的距离及PC和a所成的角(2)若PC=24,P到AC,BC的距离都是6<10，求P到a的距离及PC和a所成角•案例探究［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、

BC的中点，点O是原正方形的中心，求：EF的长；⑵折起后/EOF的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系•其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以OB、OC、OD的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，-至a,0),B(1!a,0,0),C(0,2a,0),D(0,0,2a),E(0,-2a,TOC\o"1-5"\h\z22224a),F(^2a,'2a,0)44卫2&23J3IEFl2=a一O)2+a+a)2+(0一a)2=a,「.EF=a44422v22v2OE=(0,—a,a),OF=(a,a,0)a2444a22222OE•OF—0xa+(一a)(a)+a•0=44448—a—ar-OE・OFIOEI—-,lOFI—-,cos<OE,OF>—一；l22|OEIIOFI・・・ZEOF=120°［例2］正方体ABCD—ABCDx的棱长为1，求异面直线A,C,与AB,间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为OB是AC与AB,的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的

距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一:如图，连结/C],在正方体AC1中，•・・A]C]〃AC,・・・A]C]〃平面ABC，连结B1D1.BD,设BD]GA]Ci=O],BDGAC=O^ACLBD,AC丄DD],・AC丄平面BBRD・•・平面ABC丄平面BB1D1D，连结B1O,则平面ABC^平面BB1D1D=B1O作O1G丄BQ于G,则O1G丄平面ABC・O1G为直线A1C1与平面ABC间的距离，即为异面直线A1C1与AB]间的距离.TOC\o"1-5"\h\z在Rt^OO1B1中'TOB^2,OO1=1,AOB1=OO2+OB2=61111211勺1112AO1G=°i°-OiBi=3，即异面直线A1C1与AB1间距离为空.1OB311131解法二：如图，在A1C上任取一点M,作MN丄AB、于N,作MR丄A]B]于R,连结RN，T•平面A1B1C1D1丄平面A1ABB1，・MR丄平面AABBy,MRLABTAB1丄RN,设A]R=x,则RB1=1—xVZC^A1B1=ZAB^A1=45°,MR=x,RN=NB1=(1-x)12MN=\：MR2+RN2=,'x2+(1—x)2=(x——)2+(0VxV1)2233・••当x=-时，MN有最小值亘即异面直线A1C1与AB1距离为乜331113■锦囊妙计空间中的距离主要指以下七种：两点之间的距离.点到直线的距离.点到平面的距离.两条平行线间的距离.两条异面直线间的距离.平面的平行直线与平面之间的距离.两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面

的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.•歼灭难点训练一、选择题)B.1D-2】.(★★★★★)正方形ABCD边长为2,E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图),M为矩形AEFD内一点，如果ZMBE=ZMBC,MB和平面BCF所成角的正切值为1，那么点M到直线EF的距离为()B.1D-2?.(★★★★)三棱柱ABC—ABCx中，AA]=1,AB=4,BC=3,ZABC=90°,设平面ABC与平面ABC的交线为/，则A1C1与l的距离为()A.*10B.C.2.6D.2.4二、填空题(^^★★)如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为(^^★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为.三、解答题5.(*****)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,如图:求证：平面A］BC］〃平面ACD；求(1)中两个平行平面间的距离；求点B1到平面A1BC1的距离.&.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC〃D、B且面EAC与底面ABCD所成的角为扎45°AB=a,求：截面EAC的面积；异面直线A1B1与AC之间的距离；三棱锥B—EAC的体积.仆★★★)如图，已知三棱柱ABC—ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且AE丄BB于E，A、FICC］于F.求点A到平面B1BCC1的距离；当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.

&.(★★★★★)如图，在梯形ABCD中,AD//BC,/ABC=-,AB=-AD=a,23ZADC=arccos5,PA丄面ABCD且PA=a.5求异面直线AD与PC间的距离；在线段AD上是否存在一点尸，使点A到平面PCF的距离为卫.3参考答案难点磁场解：(1)在矩形ABCD中，作AE丄BD,E为垂足连结QE,・・・QA丄平面ABCD,由三垂线定理得QE丄BE・•・QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,・AE・AE=aba2+b2在RtAQAE中，QA=1-PA=cQE=1・•・Q到BD距离为“2+上汇.a2+b2⑵解法一：•・•平面BQD经过线段PA的中点，・P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AAQE中，作AH丄QE,H为垂足•/BD丄AE,BD丄QE,:.BD丄平面AQE:.BD丄AH・・・AH丄平面BQE,即AH为A到平面BQD的距离.

在Rt△AQE中，•在Rt△AQE中，•・・AQ=c,AE=abva2+b2・・・AH=abc(a2+b2)c2+a2b2:・:・P到平面BD的距离为-'(a2+b2)c2+a2b2解法二：设点A到平面QBD的距离为力，由VA—BQDVA—BQD=VQ—ABD'‘得3'△bqdh=1SMBDAQh=abc\：h=abc\：(a2+b2)c2+a2b2AABDSABQD歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MM'LEF,贝VMM'丄平面BCF•：/MBE=/MBCABM'为/EBC为角平分线，一E・・・ZEBM'=45°,BM'=•込，从而MN=)2答案：A2•解析：交线l过B与AC平行，作CD丄l于D,连C1D,则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=12,Rt^C1CD中易求得CD=13=2.65115答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=^a,：・PQ丄AB,同理可得PQ丄2CD,故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=v'AQ2-AP2=、；(£a)2-(|)2=¥a答案：空a2

4.解析：显然ZFAD是二面角E—AB—C的平面角，ZFAD=30°，过F作FG丄平面ABCD于G,则G必在AD上，由EF〃平面ABCD.:・FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=-.2答案：a2三、5.(1)证明：由于BC/AD］,则BCJ平面ACD］同理，AB〃平面ACD1，则平面A］BC］〃平面ACD1⑵解:设两平行平面A1BC1与ACD］间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1I的距离•易求A1C1=5,AB=1J5，BC=^13，则cosAQC^-L，则sinA1BC1^6i,1v23<211117651v23<2则S61，由于V=V，则1S•d=-•(1ADCD)•BB］，代入峯叨D厂AzB-A1C1D13峯BCi32iii1求得d=空1,即两平行平面间的距离为仝61.6161解：由于线段B1D1被平面ABC所平分，则B］、D］到平面ABC的距离相等，贝V由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于空1.111616.解：(1)连结DB交AC于O,连结EO,•・•底面ABCD是正方形・・・DO丄AC,又ED丄面ABCD・・・EO丄AC，即ZEOD=45°又DO=^•a2•a=a3a,AC=J2a,EO=DO•a2•a=a32cos45。△EAC2(2)TA/丄底面ABCD,・・・A］A丄AC,又A^A±A1B1・A1A是异面直线AB与AC间的公垂线又EO//BD、,O为BD中点，・•・D1B=2EO=2a・D1D=y：2a,・A1B1与AC距离为迈a⑶连结B1D交DB于P,交EO于？推证出B1D丄面EAC:.BQ是三棱锥B—EAC的高，得BQ224a224VB1VB1-EAC7.解：（1）・・・2牛丄力1£,CC1±A1F,BB1//CC1•••BB]丄平面A]EF即面A1EF丄面BB1C]C在Rt△A1EB1中,VZA1B1E=45°,A]Bi=qAE=^2a,同理AF^^2a又EF=a,^AyE=^-2a121212同理A1F=^2a又EF=a12△EA1F为等腰直角三角形，ZEA]F=90°过A1作A"丄EF,则N为EF中点，且A]N丄平面BCCB即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离•A1N=1=a122又VAA1/面BCCB,A到平面BCC1B1的距离为a11112.•a=2,A所求距离为2（2）设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N,易证ADDA为平行四边形.VB1C1±D1D,B1C1±A1NB1C1丄平面ADDABC丄平面ADDA得平面ABC丄平面ADD/,过A1作A1M1平面ABC,交AD于M,若A1M=A1N，又ZA^AM=ZA1D1N,ZAMA1=ZA1ND1=90°•••△AMA]竺△A1ND1,・・・AA1=A1D1=<3，即当AA1=X-'3时满足条件.&解：（1）TBC〃AD,BCu面PBC,・•・AD〃面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AE丄PB,又AE丄BC•AE丄平面PBC,AE为所求.在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a・・・AE=^Ia2(2)作CM//AB,由已知cosADC=|<5:.tanADC=-，即CM=1DMII:ABCM为正方形，AC=&a,PC=43af过A作AH丄PC,在Rt^PAC中，得AH=—3下面在AD上找一点尸，使PC丄CF取MD中点F,\ACM、\FCM均为等腰直角三角形：.ZACM+ZFCM=45°+45°=90°・：FC丄AC,即FC丄PC：•在AD上存在满足条件的点F.［学法指导］立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助