2021北京西城高三一模数学（教师版）

16/162021北京西城高三一模数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合，，0，1，，则A． B．， C．，1， D．2．（4分）已知复数满足，则的虚部是A． B．1 C． D．3．（4分）在的展开式中，常数项为A．15 B． C．30 D．4．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为A．12 B． C．16 D．5．（4分）已知函数，则不等式的解集是A． B． C． D．6．（4分）在中，，，，点是的中点，则A． B．4 C． D．67．（4分）在中，，，，则A． B． C．6 D．58．（4分）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的焦点发出的两条光线，分别经抛物线上的，两点反射，已知两条入射光线与轴所成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为A． B． C． D．9．（4分）在无穷等差数列中，记，2，，则“存在，使得”是“为递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（4分）若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记△．下列命题中正确的是A．已知，，，，且△△，则 B．已知，，，，则存在实数，使得△ C．已知，，，若△，则对任意，，都有 D．已知，，，，则对任意的实数，总存在实数，使得△二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数的定义域是．12．（5分）已知双曲线，则的渐近线方程是；过的左焦点且与轴垂直的直线交其渐近线于，两点，为坐标原点，则的面积是．13．（5分）在等比数列中，，，则公比；若，则的最大值为．14．（5分）已知函数，若对任意都有为常数），则常数的一个取值为．15．（5分）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间，；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记为调度前某水库的蓄满指数，为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个关于的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）如图，在正方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．17．（13分）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（Ⅰ）确定的解析式：（Ⅱ）若图象的对称轴只有一条落在区间，上，求的取值范围．条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为，；条件③：的图象经过点，．18．（14分）天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．如表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最充恒星的相关数据，其中，．星名天狼星老人星南门二大角星织女一五车二参宿七南河三水委一参宿四视星等0.030.080.120.380.46绝对星等1.424.40.60.12.67赤纬（Ⅰ）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；（Ⅱ）已知北京的纬度是北纬，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它，现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）记时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）19．（15分）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若，求证：函数存在极小值；（Ⅲ）若对任意的实数，，恒成立，求实数的取值范围．20．（15分）已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（Ⅰ）求椭圆的离心率和的面积；（Ⅱ）已知直线与椭圆交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断是否存在常数，使得直线经过轴上的定点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知数列，，，的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为．（Ⅰ）若数列，2，4，3，求集合，并写出的值；（Ⅱ）若是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；（Ⅲ）若，数列由1．，2，3，，，这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数．

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．【分析】根据题意，由集合交集的定义，分析两个集合的公共元素可得答案．【解答】解：根据题意，集合，，0，1，，则，，故选：．【点评】本题考查集合交集的计算，注意集合交集的定义，属于基础题．2．【分析】利用待定系数法设，然后利用复数相等，求出的值即可得到答案．【解答】解：设，因为，则有，即，所以，故复数的虚部为．故选：．【点评】本题考查了待定系数法求解复数的应用，考查了复数相等的定义，属于基础题．3．【分析】求出展开式的通项公式，然后令的指数为0，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式的常数项为，故选：．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．4．【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的表面积．【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为：．故选：．【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积，是基础题．5．【分析】根据题意，求出函数的定义域，分析可得在上是减函数，结合（2）分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，又由和函数都是区间上的减函数，则在上也是减函数，又由（2），则不等式的解集是，故选：．【点评】本题考查不等式的解法，涉及函数单调性的性质以及应用，属于基础题．6．【分析】利用向量的数量积以及向量的线性运算即可求解．【解答】解：在中，，则，因为点是的中点，所以，所以．故选：．【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，属于基础题．7．【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理得：，所以，解得，利用余弦定理，故．故选：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．【分析】由抛物线的方程得，又，写出直线的方程，并联立抛物线的方程，解得，同理解得，再计算即可得出答案．【解答】解：由，得，又，所以直线的方程为，即，联立，得，所以或（舍去），即，同理直线的方程为，即，联立，得，所以或（舍去），即，所以，即两条反射光线的距离为，故选：．【点评】本题考查抛物线的应用，解题中需要理清思路，属于中档题．9．【分析】根据等差数列的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①若为递增数列，又，当为奇数时，，递增数列，，，即，使，②若，使，由，即，当为奇数时，，，递增数列，当为偶数时，，，递减数列，综上所述，，使是为递增数列必要不充分条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和等差数学的性质，属于基础题．10．【分析】举反例判断；用反证法，分类讨论判断；举反例判断；对任意的实数，求出满足条件即可．【解答】解：对于，因为△，△△，所以△，于是或，未必，所以错；对于，假设存在实数，使△，若，△，矛盾，若，△，矛盾，若，△，矛盾，若，△，矛盾，若，△，矛盾，所以错；对于，取，，则△，但对任意，，不成立，所以错；对于，对任意的实数，只须满足，，，就有，从而△△，所以对．故选：．【点评】本题以命题真假判断为载体，考查了集合的基本概念，考查了不等式性质，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出的定义域．【解答】解：函数，，解得；函数的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题．12．【分析】利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程得到第一空；求出坐标，然后求解三角形的面积解答第二空．【解答】解：双曲线，可得，，故的渐近线方程为，则的渐近线方程双曲线的左焦点坐标，，过的左焦点且与轴垂直的直线交其渐近线于，两点，则，，，，所以的面积：．故答案为：；．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．13．【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，即可得第一空答案，进而求出的值，即可得的通项公式，解可得第二空答案．【解答】解：根据题意，等比数列中，，，则．若，即，解可得，则，若，即，必有或3，即的最大值为3，故答案为：，3．【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．14．【分析】先对三角函数恒等变形，要使为常数），必有，再解三角函数方程求解即可．【解答】解：为常数），所以，于是，，所以常数的一个取值为（答案不唯一，只要是即可）．故答案为：（答案不唯一，只要是即可）．【点评】本题考查了正弦函数性质，属于中档题．15．【分析】根据题意得到，的定义域为，，值域为，，对任意的，成立且在，上单调递增，由此对四个选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：由联合调度要求可知，的定义域为，，值域为，，对任意的，恒成立且在，上单调递增．①在，上不是单调函数，故选项①错误；②在，上单调递增，值域为，，又因为对任意的，恒成立，所以对任意的，恒成立，故选项②正确；③对任意的，不恒成立，比如，故选项③错误；④在，上单调递增，值域为，，令，则，令，解得，则当时，，则单调递增，当，时，，则单调递减，又，，所以在，上恒成立，故对任意的，恒成立，故选项④正确．故答案为：②④．【点评】本题考查了函数性质的综合应用，涉及了利用导数研究函数性质的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．【分析】（Ⅰ）连接交于点，连接，证明然后证明平面．（Ⅱ）不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接交于点，连接，在正方形中，．因为为的中点，所以（3分）因为平面，平面，所以平面．（5分）（Ⅱ）解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系．则，0，，，2，，，2，，，2，，所以，，．（8分）设平面的法向量为，，，所以所以即（10分）令，则，，于是，，．（11分）设直线与平面所成角为，则．（13分）所以直线与平面所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．17．【分析】（Ⅰ）先根据已知求出的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解和的值，从而可得的解析式；（Ⅱ）由正弦函数的图象与性质可得关于的不等式，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，．此时．选条件①②：因为的最小值为，所以．因为图象的一个对称中心为，所以，所以，因为，所以，此时，所以．选条件①③：因为的最小值为，所以．因为函数的图象过点，则，即，．因为，所以，所以，，所以．选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以，所以．因为，所以，此时．所以．因为函数的图象过点，所以，即，，所以，所以．（Ⅱ）因为，，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间，上，所以，得，所以的取值范围为．【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）由图表中的数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）首先确定的所有可能取值，利用超几何分布的概率公式计算得到每个取值对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解期望即可；（Ⅲ）根据数据的波动程度可得方差的大小关系．【解答】解：（Ⅰ）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件．，由图表可知，10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，所以；（Ⅱ）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于，有3颗恒星的“赤纬”数值小于．，所以随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，所以，，，，所以随机变量的分布列为：1234所以的数学期望为；（Ⅲ）结论：．【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列的求解，数学期望公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19．【分析】（Ⅰ）当时，，求导得，由导数的几何意义可得（1），进而可得切线方程．（Ⅱ）由，求导得，令，根据的正负，得到的单调性，再确定的极小值．（Ⅲ）对任意的实数，，恒成立等价于的最小值大于或等于，分和，两种情况讨论，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）当时，，所以，所以（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（Ⅱ）由，得，令，则，当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以的最小值为（1），当时，（1），，又在单调递增，故存在，使得，所以在区间上，在区间，上，所以在区间上，在区间，上，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增，故函数存在极小值．（Ⅲ）对任意的实数，，恒成立等价于的最小值大于或等于．①当时，（1），由（Ⅱ）得，所以．所以在，上单调递增，所以的最小值为（1），由，得，满足题意，②当时，由（Ⅱ）知，在上单调递减，所以在上（1），不满足题意．综上所述，实数的取值范围是．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，考查了分类讨论思想，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点，得，解得，由，解得，进而可得离心率，的面积．（Ⅱ）根据题意直线的方程为，时，直线的方程为，进而可得与轴交点，若直线经过轴上定点，则，解得，下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得．因为，即，所以，，所以离心率，所以的面积．（Ⅱ）由已知，直线的方程为，当，，时，直线的方程为，交轴于点，当，，时，直线的方程为，交轴于点，若直线经过轴上定点，则，即，直线交轴于点．下面证明存在实数，使得直线经过轴上定点，联立消整理，得，设，，，，则，，设点，，所以直线的方程：，令，得，因为，所以，所以直线过定点，综上，存在实数，使得直线经过轴上定点．【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要易得计算能力，属于中档题．21．【分析】（Ⅰ）利用集合的定义直接求解即可；（Ⅱ）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合的定义分析即可；（Ⅲ）通过分析可知，且，设数列，1，2，2，3，3，4，4，，，，，此时，1，2，，，．然后对数列分别作变换进行分析求解，即可得到答案．【解答】（Ⅰ）解：因为，，，，所以，2，3，，；（Ⅱ）证明：充分性：若是等差数列，设公差为．因为数列是递增数列，所以．则当时，．所以，，，，，必要性：若．因为是递增数列，所以，所以，，，，且互