2021-2022学年河北省定州市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年河北省定州市高一下学期期末数学试题

一、单选题

复数i的共胡复数是（

-l+5iB.T-5iC.1+5D.l-5i

——=-l-5i

【分析】先求出i,即可得到共朝复数.

故选：A

2.某工厂生产甲、乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件.为检验产品

的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则应从

甲种型号的产品中抽取的产品数量为（）

A.20B.30C.40D.60

C

【分析】根据分层抽样的性质直接求解.

100XZ000=40

【详解】从甲种型号的产品中抽取的产品数量为2000+3000.

故选：C

3.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形。WB'C',

且。C'=2O'H=2,4'O'C'=45.,则平面图形0/8C的周长为（）

A.12B.4aD.10

【分析】根据斜二测画法得到平面图形，即可得解；

【详解】解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长

AB=4,宽。Z=l.

ky

5-

CB

4----

3-

2-

1-

Ax

—1--------1--------------------L____I_____I_____L^.

-2-1O1234

-1*

故该平面图形的周长为2（0'+'8）=10.

故选：D

1+5)阳2B)=一

己知单位向量03满足

4.则（)

1

11

A.2B.3C.4D.5

B

【分析】利用向量的数量积的运算律即可求解.

【详解】由题知”第=1

L-•\L-\—2—2--*|-*|2I-12——4鼠小

)^a+hj^a-2hj=a-2b_Q,6=|《-2|Z)|-a-b=--

所以3

故选：B

5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是

()

A.“都是红球”与“都是黑球"

B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”

C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”

D.“都是红球”与“至少有一个黑球”

A

【分析】利用互斥事件对立事件的定义可以判断选项A符合题意，选项BCD都不符

合题意.

【详解】解：A.“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，所以是互斥事件，但是不

是必然有一个发生，所以不是对立事件，故选项A符合题意；

B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”不是互斥事件，故选项B不符合题意：

C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”不是互斥事件，故选项C不符合题意；

D.“都是红球”与“至少有一个黑球”是互斥事件，也是对立事件，故选项D不符合题意.

故选：A

6.在正方体一48cA中，E为棱48的中点，则异面直线与8G所成角的

正切值为（）

V2

A.2B.4C.亚D.2^2

B

【分析】如图所示，连接,4,则可得为异面直线与所成的角，然后

在RtA/E.中求解即可

【详解】如图所示，连接力2.

在正方体4BCD-4B£B中，BQ//AD,,

则为异面直线*与BCt所成的角

不妨设该正方体的棱长为2,在RtA/E.中,

AE=1,AD.=2&tan/AD、E=—=—

11AD,4

7.一艘船航行到点/处时，测得灯塔C在其北偏东75。方向，如图所示随后该船以15

海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B,测得灯塔C在其北偏东30方

向，此时船与灯塔C间的距离为（）

A.10a海里B.15街海里C.10痣海里D.30海里

B

【分析】根据正弦定理求解即可

BCAB

【详解】由题意可知，/0=45，,/"=60,/8=30海里，由正弦定理可得sin/f-sinC,

解得8c=15太海里

故选：B

8.在“8C中NB=NC=3后,8C=6,且存在£>,E满足=-28Z）,CE=-2/E,贝”

DE.AB—()

A.-21B.-20C.-18D.T6

A

【分析】由题意，建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用向量的坐标运算可

得解.

【详解】记8c的中点为°,因为48=/C,所以NOJ.8C.

因为4B=3底BC=6,所以40=6.

因为AD——2BD,CE——2AE,所以。为线段<8上靠近点8的三等分点，E是线段

ZC上靠近点A的三等分点.

建立如图所示的直角坐标系，由题意可得8（-3,°）,C（3,0）,'（0,6）,°（-2,2）,E（l,4）,

则DE=(3,2),AB=(T-6),故诙.万=一21.

故选：A

二、多选题

9.已知复数z=(l-i)(a+i)«wR),则()

A.若"2,贝ijz=3-i

B.若。=2,则同=1。

C.若z为纯虚数，则。=T

D,若z+J|=x+5i(xeR),则°=4

AC

【分析】直接计算，判断选项A,B；由z为纯虚数，解得“，即可判断C；由复数相

等列方程求出“，即可判断D.

【详解】若"2,贝产=3-*|=而从正确，B错误.

z=(l-i)S+i)=l+a+(l-a)i,若z为纯虚数，则1+。=0,解得。=-1<正确.

z+|z|=l+a+(l-a)i+J(l+a)2+(l-a)2=x+5i,贝p_a=5,解得°=一4,口错误.

故选：AC

10.近年，随着人工智能，AIoT,云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩

展和增加.国际数据公司">C统计了2016〜2020年全球每年产生的数据量及其增速，

所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是()

2016〜2020年全球每年产生的数据量及其增速

A.2016〜2020年，全球每年产生的数据量在持续增加

B.2016〜2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降

C.2016〜2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7

D.2015年，全球产生的数据量超过15ZB

ACD

【分析】根据统计图，分析数据，可依次判断各个选项.

【详解】对于A,由图可得2016〜2020年，全球每年产生的数据量在持续增加，故

A正确.

对于B,2016〜2017年，全球数据量的年平均增长率由16.13%增长到了44.44%,故

B错误.

对于C,2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为

-X08+26+33+4I+50.5）=33.7

5,故C正确.

电匚=16.13%

对于D,设2015年全球产生的数据量为xZB,则x,解得

1818«

x=-------->—=15

1.16131.2,故D正确.

故选：ACD

11.在中，内角所对的边分别为瓦c,且3,则（）

A.b=2asinBB.sin^=bsinA

一一.1

C.A/BC周长的最大值为3D.48ZC的最大值为2

BCD

【分析】对于AB,利用正弦定理判断即可，对于C,利用余弦定理结合基本不等式可

判断，对于D,由选项C可知-加=1,结合基本不等式可得AW1,从而可求出

万.配的最大值

ah

A_冗.sinB,2.

A——sin—b=---CISIYLB

【详解】对于A,因为3,所以由正弦定理得3，所以3

所以A错误.

1b

对于B,因为。=1,所以由正弦定理得sin/-sin8,所以sin5=bsinJ,所以B正确.

1b2+c2-a2b2+c2-\1

COS/4___________—_________—

对于C,根据余弦定理得一2bc-2bc~2,所以从+。2-庆=1,即

-3加=l?(b+c)2-3(容］=；(b+c)2

(6+c)2-3bc=1所以S+C>所以6+CW2,

当且仅当°=c=l时，等号成立，所以b+c+143,所以C正确.

对于D,由选项C可知从+,-6c=l,所以〃+。2=1+历》2从，则儿（，当且仅当

,,ABAC=bccosA=—bc^—

6=c=l时，等号成立.22,所以D正确.

故选：BCD

12.在矩形“8CO中，"8=28C=2,E是8的中点，将ABCE沿5E翻折，直至点

C落在边”上.当ABCE翻折到△P5E的位置时，连接力尸,。尸，如图所示，则下列说

法正确的是（）

V2

A.四棱锥尸即体积的最大值为彳

PF=--

B.设48的中点为F,当2时，二面角P-8E-D的余弦值为4

C.不存在某一翻折位置，使得•尸E

D."是总的中点，无论翻折到什么位置，都有EM〃平面尸/。

AB

【分析】对于A,当平面P8EL平面48即时，计算得四棱锥P-/8EQ体积的最大

叵

值为4'故选项A正确；

对于B,取8E的中点G,连接PG,FG,EF,证明NPGF为二面角尸-8后_0的平面

3

角.求出二面角P-8E-。的余弦值为4,故选项B正确：

对于C,设尸/1_LPE,存在某一翻折位置，使得以1。^故选项c错误;

对于D,当尸与的中点重合时，EA/u平面尸力2故选项D错误.

【详解】对于A,当平面尸8EJ•平面48即时，四棱锥尸-ZBEZ)的体积最大，此时

四棱锥尸一/8E。的高为点C到BE的距离.直角梯形ABED的面积为

~(AB+DE)xAD=--x-x—=—,

2、2,四棱锥体积的最大值为3224故选项A正

确.

对于B,取5E的中点G,连接PG,FG,EF,则FG，,所以NPGF为二

面角P_8E-O的平面角.在xPGF中,

172PG2+FG2-PF23

PF=-,PG=FG=—,cosZPGF=

222PGFG“故选项B正确.

对于C,设尸力_LPE,在中，PE=1,AE=6,PA=JAE2-PE?=1,即当

「与"8的中点重合时，^，尸员故存在某一翻折位置，使得尸”,尸民故选项C错误.

对于D,当户与48的中点重合时，EMu平面尸/。，故选项D错误.

故选：AB

三、填空题

13.已知“8C的内角C所对的边分别是a,6,c,2/+21-2〃=四，则

cosB-

40.25

【分析】由已知，根据题意2/+2。2-2〃=改可使用余弦定理直接求解出cosB.

222

Da+c-b1

cosB=---------=一

［详解］由已知，26T9+2，7_2/9=qc,所以2ac4.

故答案为

14.袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黄球1个，从袋中任意取出

2个球，则取出的2个球都是红球的概率为.

1

20.5

【分析】将3个红球分别标记为。、b、c,1个黑球记为A,列举出所有的基本事件，

并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】将3个红球分别标记为。、b、c,1个黑球记为A,

从这4个球中任取2个球，所有的基本事件有：就、ac、aA^be、bA、cA,共6种,

其中，事件“取出的2个球都是红球”所包含的基本事件有：ab、ac、be,共3种，

P=-=-

故所求概率为62.

故答案为

15.已知某圆锥的母线长为5,其侧面展开图的面积为15乃，则该圆锥外接球的表面积

为.

625万

16

R=—

【分析】设圆锥外接球的半径为尺，利用勾股定理求出8,即可求出该圆锥外接

球的表面积.

【详解】作出如图所示的圆锥，其侧面展开图的面积为乃•0小54=157，解得°/=3.

由圆锥的性质知其外接球的球心B在S。上，连接

设圆锥外接球的半径为R,则AB=ROS=才=4,

D_25

222

AB=OA+(OS-SB)f即代=32+(4-/?)2,解得可，

/”上也

所以该圆锥外接球的表面积为18J16.

s

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为

“赵爽弦图''.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.

己知=为线段的中点，设尸为中间小正方形EFG//内一点（不含边界）

.若丽=义施-砺，则几的取值范围为.

（2,4）

【分析】由题意而=彳%+而，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即

可求解.

【详解】过点A作4K〃知E,分别交EH,EF于点N,K,

过点N作NQ//ABf交ME的延长线于点Q,

过点K作KL〃4B,交ME的延长线于点如图，

由声=4砺-痂=4赤+砺

可知，点尸在线段NK上运动（不含端点）.

当点P与点，重合时，MP=MQ+MA=2ME+MAt可知2=2.

当点P与点K重合时，MP^ML+MA^4ME+MA,可知彳=4.

故义的取值范围为（29）.

故Q，4）

四、解答题

17.已知向量a=（2，x），'=（l，2）,

⑴若求卜+可；

（2）若£〃',向量，=（L1）,求*与"夹角的余弦值.

Icr+ftl=V10

（I）1।

3折

⑵10

【分析】（1）由后，得2xl+2x=0,求出x的值，再求出£+书的坐标，从而可求出

其模，

（2）由£〃刃，可得2X2-X=°,求出x的值，然后利用向量的夹角公式求解

【详解】（1）因为£，石，所以15=。，

即2xl+2x=0,解得x=-l,

所以£+5=（3」），

故|£++而

（2）因为£〃口所以2X2-X=0,解得X=4,贝y=（2,4）.

因为【三雨=2百「卜五，

/—\a-c3\/10

所以cos（'a,c」）=LIL…I=°,

3而

即£与之夹角的余弦值为一小.

18.如图，平面”881.平面/8EF,在矩形N8CD中，AB=&D=6,四边形

4BEF为菱形,G为线段8E的中点，N4BE=60'.

(1)证明：/6,平面/。下.

(2)求三棱锥E-ACG的体积.

(1)证明见解析；

(2)9.

【分析】(1)由面面垂直的性质得平面48EF,再根据线面垂直、菱形及等边三

角形性质可得"G,BE,进而有NG'/尸，最后由线面垂直的判定证结论.

(2)由线面平行判定有CD〃面/BEF,则C，。到面/BEF的距离相等，根据线面垂直

有D到面ABEF的距离为AD=2^,最后由右TCG=YC-AGE及棱锥的体积公式求体积.

[详解](1)因为面/8CZ)_L面力8所，面NBCDfl面48£/=/民/8工/£),4Du面

ABCD,

所以/DJ■平面/8EF,/Gu平面力BEF,则/O_L/G.

在菱形4BEF中，G为线段3E的中点，N4BE=60。,易证./GJ.8E

因为4F//BE,所以NG_L"F.

因为/。0/尸="，/D，/尸u面/。尸，所以/G_L面/〃尸.

(2)由4BC。是矩形，即/8//CD,/80面48£尸，CDU面4BEF,

所以CC//面ABEF,故0，。到面ABEF的距离相等，

由(1)知：4D工平面4BEF,故。到面"8EF的距离为/。=2行，

_S,*GE=；4G-GE="VE_ACC=Vc-AGE=IS.AGEAD=9

又22,则3

19.某校在某次学业水平测试后，随机抽取了若干份数学试卷，并对其得分(满分

100分)进行统计，根据所得数据，绘制了如图所示的频率分布直方图(分组区间为

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,10°])根据试卷得分从低到高将学生的成绩分为

D'C，8，/四个等级，每个等级中的学生人数占比如表所示.

LC8A

成绩等级

[•[.D

得分范围

2332

占比

(1)求图中。的值，并根据频率分布直方图估计该校学生这次学业水平测试数学成绩的

平均分；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)试确定成绩等级为8的得分范围(结果保留一位小数).

⑴a=0.005,73

[71.7,82.5)

【分析】(1)根据频率和为1求得。=0005,套公式求出平均分；(2)由频率分布直

方图进行数据分析，列方程即可求解.

【详解】⑴根据题意可得伽+项+项+004)x10=1,解得”0.005

该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分为

0.05x55+0.4x65+0.3x75+0,2x85+0.05x95=73.

(2)由频率分布直方图可得，最后一组的频率为0・005XI0=0.05,

后两组的频率之和为但期+002)x10=025,

后三组的频率之和为+002+0.03)x10=0.55,

则”[70,80),ze[80,90)

0.02x(90-z)+0.05=0.2,解得z=82.5

0.03x(80-y)+0.25=0.2+0.3解得k71.7

故成绩等级为3的得分范围为［71782.5）.

20.如图，在平面四边形/8CO中，AB=RBC=®ACLCD,且ZC=C〃

cosZBAC=^-

(1)若8,求/C；

（2）求四边形”CD面积的最大值.

(1)2

5V30

—+---

⑵22

【分析】（1）利用余弦定理求解即可;

（2）利用余弦定理可得/C2=5-2"COS/N8C,再表达出四边形/BCD面积，再根

据辅助角公式求解最大值即可

222

［详解］⑴在“8C中，BC=AB+AC-2AB-ACcosZBACt故

3=2+/C、2&Cx乎，即(42)(2"+1)=0,因为心°,故这=2.

⑵在4ABe中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=5-2"cos/ABC

-AC2=--瓜。s/ABC

又△NCO的面积为22,

-AB-BCsm^ABC=—sinZABC

A/8c的面积为22

--痴cos/ABC+sin/ABC=—+sin(zfABC-夕)

所以四边形的面积为2222

其中tan9=2

故四边形/8C。面积的最大值为22.

21.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每

位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本

次测试成绩为合格.甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测

试成绩合格的概率分别为5'4；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为

22

3'》.甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响.

(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？

(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率.

(1)甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大

29

⑵50

【分析】(1)利用相互独立事件概率乘法公式可求得甲、乙成绩合格的概率，由此得解;

(2)利用对立事件及互斥事件的概率公式即可求解

【详解】(1)设4="甲在第一轮测试中的成绩合格“，4=，，甲在第二轮测试中的成绩合

格”，

与="乙在第一轮测试中的成绩合格"，&="乙在第二轮测试中的成绩合格”，

用员=，，乙同学在本次测试中成绩合格，，，、'、”4510.

23

—>—

因为510,所以甲同学在本次测试中成绩合格的概