高中数学一章基本初等函数II12任意角的三角函数123同角三角函数的基本关系示范

同角三角函数的基本关系式示范教课设计整体设计教课剖析与三角函数的定义域、符号确实定同样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，是依照全部从定义出发的原则进行的，经过对基本关系的推导，应注意学生重视对基本观点学习的优秀习惯的形成，学会经过对基本观点的学习，擅长研究，从中不停挖掘更深层次的内涵．同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不一样的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达形式是至关重要的，如sin24π＋cos24π＝1等；二要注意这些关系式都是对于使它们存心义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanαπ存心义的值，即α≠kπ＋2，k∈Z.已知随意角的正弦、余弦、正切中的一个值便能够运用基本关系式求出此外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，依据已知的三角函数值，确立角的终边的地点是要点和必需的，有时因为角的终边的地点不确立，所以解的状况不只一种，解题时产生遗漏的主要原由一是没有确立好或不去确立终边的地点；二是利用平方关系开方时，遗漏了负的平方根．注意本节内容的掌握，同角三角函数的基本关系式许多，但只有正、余弦的平方和等于与正切和正弦、余弦的关系式最为重要，其余关系式，能够作为练习，让学生经过这两个关系式证明，但不要求记忆．本节内容与过去教材的不一样点是，在讲究三角函数值的例题时，贯彻解方程组的通法．可是，这里的未知数是正弦、余弦或正切．三维目标1．掌握并切记两个基本关系式．2．经过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．3．经过同角三角函数关系的应用使学生养成研究、剖析的习惯，提升三角恒等变形的能力，建立转变与化归的思想方法．要点难点教课要点：课本的两个公式的推导及应用．教课难点：课本的两个公式的推导及应用．课时安排课时教课过程导入新课思路1.(猜想引入)指引学生先计算后察看以下各题的结果，并鼓舞学生勇敢进行猜想，而后教师点拨学生可否用定义赐予证明，由此睁开新课．计算以下各式的值：2222sin60°sin135°(1)sin90°＋cos90°；(2)sin30°＋cos30°；(3)cos60°；(4)cos135°.思路2.(复习引入)教师指引学生回首前面所学三角函数定义，单位圆等内容，让学生写出sin2α＋cos2α＝1及察看出正切和正弦、余弦的关系．学生很简单达成以上问题，由此自然地引入新课．推动新课新知研究提出问题(1)以下两个等式中的角能否都能够是随意角？若不可以，角α应受什么影响？如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长组成直角三角形，并且OP＝1.图1由勾股定理，得22OM＋MP＝1.所以x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1(等式1)．明显，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也建立．依据三角函数的定义，当α≠kπ＋π，k∈Z时，有2sinαcosα＝tanα(等式2)．这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．对于同一个角的正弦、余弦、正切，起码应知道此中的几个值才能利用基本关系式求出其余的三角函数的值．活动：问题(1)先让学生用自己的语言表达同角三角函数的基本关系，而后教师点拨学生思虑这两个公式的用途．同时启迪学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别存心义的角的取值范围．问题(2)可让学生睁开议论，点拨学生从方程(或方程组)的角度进行研究，对思虑正确的学生赐予鼓舞，对没有思路的学生教师点拨其思虑的方法，最后得出结论“知一求二”．教师板书以上两个公式，并指出这两个关系式是三角函数两个最基本的关系式．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数的定义，就能够求出这个角的其余三角函数值．别的，还能够用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．议论结果：(1)在上述两个等式中，不是全部的角都能够是随意角，在第一个等式中，α能够是任π意角，在第二个等式中

α≠kπ＋

2，k∈Z.在上述两个等式中，只需知道此中随意一个，就能够求出其余的两个．知道正弦(余弦)，就能够先求出余弦(正弦)，用等式1，从而用等式2求出正切．应用示例思路1例1已知sinα＝4，并且α是第二象限的角，求角α的余弦值和正切值．5活动：同角三角函数的基本关系学生应娴熟掌握，先让学生接触比较简单的应用问题．可以指引学生察看与题设条件最靠近的关系式是sin2α＋cos2α＝1，故cosα的值最简单求得，在求cosα时需要进行开平方运算，所以应依据角α所在的象限确立cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地达成本题．22224293解：因为sinα＋cosα＝1，所以cosα＝1－sinα＝1－(5)＝25，得cosα＝±5.又因为α是第二象限角，所以

cosα<0.于是

cosα＝－

35，从而

sinα454tanα＝cosα＝5×(－3)＝－3.评论：本题是直策应用关系求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生领会关系式的用法．应使学生清楚tanα＝－4中的负号是来自α为第二象限角，这也是3依据商数关系直接运算后的结果，它不一样于在采用平方关系式的三角函数符号确实定.变式训练8已知cosα＝－17，求sinα，tanα的值．活动：启迪学生思虑仅有cosα<0是不可以确立角α的终边所在的象限，它可能在x轴的负半轴上(这时cosα＝－1)．解：因为cosα<0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角．28215sinα15假如α是第二象限角，那么sinα＝1－cosα＝1－－17＝17，tanα＝cosα＝171715×(－8)＝－8，假如α是第三象限角，那么515sinα＝－，tanα＝.1785例2已知sinα－cosα＝－5，180°<α<270°，求tanα的值．sinα－cosα＝－5解：依题意，获得方程组5，sin2α＋cos2α＝1.消去sinα，得5cos2α－5cosα－2＝0，255解得cosα＝5或cosα＝－5.525因为180°<α<270°，cosα<0，所以cosα＝－5(把cosα＝5舍去)．25sinα代入原方程组，得sinα＝－5.于是tanα＝cosα＝2.例3sinθ－cosθ.化简tanθ－1活动：让学生明确，化简是三角函数的重要题型，要求结果化为最简，在练习中领会最简的含义．同时三角函数基本关系式的重要应用就是化简三角函数关系式．sinθ－cosθ解：原式＝sinθ－1cosθ

sinθ－cosθsinθ－cosθ＝cosθ.cosθ评论：在三角函数关系式的化简中，常用到“切化弦”.变式训练1．(tanx

＋cotx)cos

2x

等于(

)A．tanx

B．sinx

C．cosx

D．cotx答案：D2．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα等于()1A.2B．21C．－2D．－2答案：B例4求证：(1)sin4α－cos4α＝2sin2α－1；(2)tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.活动：教师指引学生研究三角函数关系式的证明思路．经过师生合作研究，我们获得：证明一个三角恒等式，能够从它的随意一边开始，推出它等于另一边；也能够用作差法，证明等式两边之差等于零；还能够先证得另一个等式建立，并由此推出需要证明的等式建立．证明：(1)原式左侧＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)sin2α－cos2α＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝右侧．所以sin4α－cos4α＝2sin2α－1.(2)原式右侧＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－tan2αcos2α2sin2α222＝tanα－cos2α·cosα＝tanα－sinα＝左侧．所以tan2α－sin2α＝tan2αsin2α.思路

2或

例1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα.活动：指引学生思虑议论：角的终边在什么地点；可否直接利用基本关系式求出sinαcosα的值．由tanα≠0，只好确立α的终边不在座标轴上．对于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα＝sinα，在这个式子中一定知道此中两个三角函数值，才能求出第三cosα个，所以像这种问题的求解，不可以一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先依据条件判断角的终边的地点，议论出现的全部状况．而后依据议论的结果，利用基本关系式求解．分状况求出cosα，从而求出sinα.解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α.sinα2sin2α1－cos2α1又因为tanα＝cosα，所以tanα＝cos2α＝cos2α＝cos2α－1.12212α.于是cos2α＝1＋tanα，cosα＝1＋tan由tanα为非零实数，可知角α的终边不在座标轴上，从而1，当α为第一、第四象限角，1＋tan2αcosα＝11＋tan2α，当α为第二、第三象限角，tanα，当α为第一、第四象限角，1＋tan2αsinα＝cosαtanα＝tanα－1＋tan2α，当α为第二、第三象限角.变式训练已知cosα≠0，用cosα表示sinα、tanα.解：本题模仿上题能够比较顺利达成．1－cos2α，当α为第一、第二象限角，sinα＝1－cos2α，当α为第三、第四象限角，1－cos2αcosαtanα＝

，当α为第一、第二象限角，1－cos2α－，当α为第三、第四象限角.cosα2化简1－sin2440°.活动：指引学生研究：原式结果为cos440°时能否是最简形式，还应怎么办？教师引导学生运用引诱公式一化简为cos80°，因为cos80°>0，所以cos280°＝|cos80°|＝cos80°，本题不难，让学生独立达成．解：原式＝1－sin2360°＋80°＝1－sin280°＝cos280°＝cos80°.评论：适合利用平方关系和引诱公式化简三角函数式．提示学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量知足以下几点：(1)所含的三角函数种类最少；(2)能求值(指正确值)的尽量求值；(3)不含特别角的三角函数值.变式训练化简：1－2sin40°cos40°.答案：cos40°－sin40°.评论：提示学生注意：1±2sinαcosα＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2，这是一个很重要的结论.cosx1＋sinx例3求证：1－sinx＝cosx.活动：先让学生议论研究证明方法，教师指引思虑方向．教材中介绍了两种证明方法：证法一是从算式一边到另一边的证法，算式右侧的非零因式1＋sinα，在左侧没有出现，可考虑左侧式子的分子、分母同乘以1＋sinx，再化简；在证法二中能够这样剖析，要让算式建立，需证cos2x＝(1＋sinx)(1－sinx)，即cos2x＝1－sin2x，也就是sin2x＋cos2x＝1，由平方关系可知这个等式建立，将上述剖析过程逆推便能够证得原式建立．证法一：由cosx≠0，知sinx≠1，所以1＋sinx≠0，于是左侧＝cosx1＋sinx＝cosx1＋sinxcosx1＋sinx＝1＋sinx1－sinx1＋sinx1－sinx＝cosx＝右22边．所以原式建立．证法二：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，cosx1＋sinx且1－sinx≠0，cosx≠0，所以1－sinx＝cosx.教师启迪学生进一步研究：除了证法一和证法二外你可否还有其余的证明方法．教师和学生一同议论，由此可研究出证法三．依照“a－b＝0a＝b”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立达成．cosx1＋sinxcosxcosx－1＋sinx1－sinx证法三：因为1－sinx－cosx＝1－sinxcosxcos2x－1－sin2xcos2x－cos2x＝0，所以cosx1＋sinx.＝1－sinxcosx＝1－sinxcosx1－sinx＝cosx评论：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有好多．证明一个等式，能够从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还能够先证得另一个等式建立，从而推出需要证明的等式建立．讲堂小结由学生回首本节所学的知识方法：①同角三角函数的基本关系式及建立的条件；②依据一个随意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(能够简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的地点，从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出)．“知一求二”的解题步骤一般为：先确立角的终边地点，再依据基本关系式求值；若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其余关系求值；若已知正切或余切，则结构方程组求值．教师和学生一同概括三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．作业课本本节练习A组2,3；练习B组1,2.设计感想本教课设计设计突出了要点和难点，公式的推导和应用是本节课的要点，也是本节课的难点．三角函数式的化简，表现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不单需要学生能熟习和灵巧运用所学的三角公式，还需要熟习和灵巧运用这些公式的等价形式，同时，这种问题还拥有较强的综合性，对其余非三角知识的灵巧运用也拥有较高的要求，在教课时要注意进行有关知识的复习．证明三角恒等式的过程实质上就是剖析转变和消去等式两边差别来促成一致的过程，证明经常用的方法一般有以下三种：依照相等关系的传达性，从等式一