等差数列典型例题及详细解答

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1nnnn1n1nnn12nnnn1nnnnn24662nn1361nnnn1n1nnn12nnnn1nnnnn24662nn136aanam*lmanbnnna*)kmmn＋ann－设等差数列{}公为，其前n项和S＝或S＝na＋nn2．等差数列的前和公式与函数的关系dS＝＋－nn2数列{}等数列＝2

＋(、为常数．．等差数列的前和的最值在等差数列{}，a，，则存最大__；若a，>0则存在最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正请在括号中打“√”或“×)(1)若一个数列从第二项起每一项它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列(×)(2)数列{}等差数列的充要条件是对任意∈N*都有2＝a＋a√)(3)等差数列{a}单性是由公差定的(√)(4)数列{}等差数列的充要条件是其通项公式为n的次数(×)(5)数列{}足－＝，则数{}等差数列(×

)(6)已知数列{a}通公式是a＝＋q其中p，常数)，则数列{}定等差数列(√)．(2015·)等差数列{}，若＝4，a＝，则a等于()A1B．0C．1D答案B解析a22．(2014·)差数列{}前n项和为，＝，＝12则a等于)2

136n4811111811n31735441274n79nn78710136n4811111811n31735441274n79nn7871099n1nnnn2410n1n1n2210241答案C3解析a2S3a×d

5252．在等差数列{}，知a＋＝，则该数列前11和S等()AB．C．D．176答案Baa解析S．设数列{}等差数列，若＋＋＝12则＋＋＋等()AB．C．．35答案C解析∵aa12∴a∴aa…aa28.．(2014·)等差数列{}足a＋a＋，a＋，则当n________时{}前n项最大．答案8解析{}a3aaa0a0.8n题一

等数基量运例(1)数列{}，a＝－2，且对任意的n∈*a＝＋2a，数{}10项和()5A2B．10C.D.(2)已知在等差数列{}，＝7，＝15则前项和S等于()AC．380

BD．400答案解析

(1)a2a{

n

}

×10110×(×(2)715d

11nnnn1553n(2)∵133nn1nnnn11nnnn1553n(2)∵133nn1nnnnnnnnnnnn1n

10

×××9×4210.思维升华ad()(2)n

adⅡ设是差数{}前和，若a＋a＋＝，则等于A5B．．9DS(2)已知等差数列{}前和为，满足－＝1，则数{}公是)nn3B．1．．答案解析

(1)A(1)∵{}∴a∴aa3a1aa∴5

3

anSannn3

12∴{}2.

2题二

等数的定证例已知数{}a＝，＝－n2nN*)，列{}足＝(n∈N*)－(1)求证：数列{}等数列；(2)求数列{}的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明a(nn∈*)n1∈N*

n1

b1

a11n111n

511n172n1nnn1n133nnn1nn1nn2n1n511n172n1nnn1n133nnn1nn1nn2n1nn1n22nn1nnnnnnnnn2n2n{

n

}(2)解

(na

n

.nn7f)1xf)(∞)(∞na

n

n4a3.引申探究2

n

(an(1){}解

na∴

115∴

(1)·1n5∴an

n思维升华(1)a(2)aaaa1

a

…a{}(3)aqapn{}(4)SSaa{}(1)若{}公差为1的差数列，{

＋2}()

n12nn1n2nn2n12n2n2n2n22n12nn1n2{}1n12nn1n2nn2n12n2n2n2n22n12nn1n2{}1211.nn12n

B公差为4的差数列D．差等差数列21(2)在数列{}，若a＝1＝，＝＋(∈*)，则该数列的通项为()Aa＝nnC．＝＋

Ba＝＋1D．＝n答案解析

(2)A(1)∵aa2

)(

2n

a

2n

)a)2×26∴{a

2a}(2)

111111aann12n1

n32nn102030n3853465581030102020103030n1n1015n110n32nn102030n3853465581030102020103030n1n1015n110152nnn12n24n121013141313

等数的质应命题点等差数列性质例)在等差数列{}，若a＋a＋a＋＋＝25则a＋＝________.(2)已知等差数列{}前和为，S＝10，＝30，则＝________.答案

解析

(1){}aaaaaa2aaaa25a

2a

210.(2)∵S∴10×30∴S60.命题点等差数列和的最值例4在等差数列{a}，知a＝20，前n项为S，＝，当取值，取得最大值，并求出它的最大值．解

∵aS10915∴10d×20d∴d方法一a(1)×

5653a

13

0.≤12n

n≥14∴n1213×5S12×20×130.1方法二S20n125n6

32∵nN*∴n1213S

方法三Saa0.∴5a0.7

n121n10151113151311214n11213mnnmnnmnnnn12n1nnnn1mm1m1mm1mnn576nnn61nn1n121n10151113151311214n11213mnnmnnmnnnn12n1nnnn1mm1m1mm1mnn576nnn61nn1n4a

1

”20S解aaaaa∴a∴a>0∴n1213

a思维升华a①{}an)d(m≠mn②{}n(a)…n()

)(a

2n1

n1)(2)nS①nan②

≥0≤0≤0≥0

mnmn

SS(1)等差数列{}前n项为，知a＋＝4＋＝2，当S取最大值时n的是()A5B．．7D(2)设数列{}公差＜0的差数列，S为前项，若＝a＋10d，则S取最大值时的为)A5C．

B6D．11(3)已知等差数列{}首＝，公差＝－2，则前和S的最大值为．8

6767n6116nn1n2n1710n10100110n54nn456711n6767n6116nn1n2n1710n10100110n54nn456711nn3845.n111111011110010解析

(2)C(1)2aa0{}n

n6B.(2)6a15d510d0n56C.(3){}a20d11Sna20n×221n2n∈*n11n．等差数列的前和及其最值

典例AC．

(1)在等差数{}，2(＋a＋a)＋＋＝54则此数列前的和等()BD．90(2)在等差数列{}，＝，＝，则S＝________.(3)等差数列{a}，知a，＋a<0，则{}前和的大值为()AB．．．思维点拨nn…(2)n解析

(1)aa

a1010aa810910222(2)方法一{}

109d100×99a10

.

×109ad110.a×90方法二S909

111001110111005nn1nnn367111001110111005nn1nnn367n3369696

a2×110

×110(3)

n

答案

(1)A－110温馨提醒利用函数思想求差数列前和的值时，要注意到∈*；(2)利用等差数列的性质求，出了整体思想，减少了运算量．方法与技巧]a(1)aad2(2)adaa(3)adada3失误与防范]．dd0n0A组专项基础训练(35)．设等差数列{}前和为，S＝，＝，则a＋＋a等于()AB．C．．27答案B解析{}S2(

)S)2310

n12112122121n112122311131211232131121223nnm1mm1n12112122121n112122311131211232131121223nnm1mm1nnSm1m1mnnn1n3108n103311271127132888A若＋＞，则a＋a＞B若＋＜，则＋＜C．＜a＜，a＞aD．a＜，则－－)0答案C解析{}daaad(ada

aAaaad(a)ddB0<a<aaaaa2a(a)

(d)aaa)·(a)d2

≤0D．设等差数列{}前和为，S＝2S＝0，＝3则等()A3C．

B4D．答案C解析∵{}n∴

∴

m1

2m1m5C.．数列{a}首为，{}等数列，且＝a－(nN*)，若b＝，b＝12，则等于)A0C．

B3D．11答案B解析{}∵b712∴d2.∵b2∴24×∴bb…bbd76)210.b

b…a)(aa)…(a)a∴aB.

7nnn110nnan133nnn1215nnnnn12151357nnn110nnan133nnn1215nnnnn121513515Snn11Snnnn1n．已知数列{}足＝－，＝，设{}前n项为S，则使得取最大值的序号的值为n1n71nn()A7C．

B8D．答案C540n解析{}an1)7809n

8C.11．已知数列{}＝＝＋(∈*)，则＝________.3答案

解析(101)＝1101a

10

．已知递增的等差数{}足a＝1＝2，a＝答案2－1解析d∵a

∴12d(1)2

42d∴a(n×22n．设数列{}通项公式为＝nnN*)则|a＋a|＋…＋＝答案130解析2nn∈N*{}8a210≥0≥5∴≤

≤0n5a0∴aa…(a)(a…a)．若数列{}前n项为，满足＋S＝0(n2)＝.nnnnn12(1)求证：差列；(2)求数列{}通项公式．(1)证明≥22S0

2SSnS

1SS2nnnn1nn1311n3111n1131311n311n11131121SS2nnnn1nn1311n3111n1131311n311n111311(2)解

(∴n

n

.n≥2nnS.n12nn1nnn1a

n

1≥nn1．等差数列{}，为其前n项和，且a＞0S＝，当多少时最大解

方法一××102a.

n

49n7)a

1

n7

n

方法二

an2

bnnan2

11bn7a

0nn

方法三da.

n

1a≤6.5≤≤Sn

方法四S213d0(

1

6)(7)

13

781378n87nn8nna{}187nn721＋1k＋1＋781378n87nn8nna{}187nn721＋1k＋1＋n93nnnnn578nn3bb6666×311666

aS

00nB组专项能力提升(20)11．设为等差数列{a}前n项(＋1)＜nS(nN*)若＜－，则)nnnnaA的大值是

8

B的最小值是SC．的大值是

7

D．的最小值是

7答案D解析

Snnna1n1a2nn1n

87

0a0{}