高三下学期期中试卷

太湖中学高三四模数学试题（理数）命题人：张俊校审题人：盛志华（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。）1、若集合，，则 A． B． C． D．2、设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为()A．B．－2C．23、在各项均为正数的等比数列中，且成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则()A．32B．62C．274、下列函数中，在其定义域内为偶函数且有最小值的是A.B.C.D.5、执行如右图所示的程序框图，则输出的结果是A．B．C．D．(第7题图)6、已知表示的平面区域为D，若∈D，2x＋y≤a为真命题，则实数a的取值范围是A．[5，＋∞）B．[2，＋∞）C．[1，＋∞）D．[0，＋∞）7、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．10π+96B．9π+96C．8π+968、已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的图像()A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称9、的展开式的常数项是()A、1B、24C、-2410、函数的图像大致是（）ABCD11、四面体的一条棱长为x，其余棱长为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为()A．B．C．D．15π12、以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰相切于双曲线的一个焦点，且与轴交于两点．若为锐角三角形，则该双曲线的离心率的范围是()A.B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。）13．已知向量，则在上的投影等于______________.14、已知定义在R上的函数满足，，且当时,,则=_____________.15、若中国好声音最后的5名学员必须与甲、乙、丙3个公司中的某一个公司签约，要求每个公司至少签约1人，最多签约2人，则签约方案有________种.16、已知函数，在数列中，（），则数列的前80项之和_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、已知是斜三角形，内角所对的边的长分别为．若．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若=，且求的面积.18、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率).19、如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．（1）求证：；（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．20、已知椭圆C：（）的左右焦点为，,离心率为e=，过点（，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线：与椭圆C相交于，两点，椭圆的左顶点为，连接MA，MB并延长交直线x=4于P、Q两点，，分别为的纵坐标，且满足．求证：直线过定点．21、已知函数（a∈R），为自然对数的底数．（1）当a＝1时，求函数的单调区间；（2）=1\*GB3①若存在实数，满足，求实数的取值范围；=2\*GB3②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．【选考题】请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,内接于⊙,,直线切⊙于点,弦,相交于点.(1)求证:△≌△;(2)若,求长.23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）若α＝，求线段AB中点M的坐标：（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜2，其中P（2，），求直线l的斜率．24、(本题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数．(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)若，恒成立，求实数的取值范围。参考答案（理数）选择题1-5CCBDC6-10ACADC11-12DB二、填空题13、14、-115、9016、6560三、解答题17、解：（I）根据正弦定理，可得，，可得，得,.（II），为斜三角形，，，由正弦定理可知……（1）由余弦定理…..（2）由（1）（2）解得.…………12分18、解：（1）由题意，得，解得；……2分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克，……4分而个样本小球重量的平均值为：（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；……6分（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则.的取值为、、、，，，，.……10分的分布列为：.（或者）……12分19、解析：（1）∵底面是菱形，∴，又∵面，面，∴面，又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；（2）取中点，连接，，∵，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，,，设平面的法向量为，则有，∴，不妨令，则平面的一个法向量为，∵平面，∴是平面的一个法向量，∵，∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．20、（1）解：由离心率为e=，即=，①椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（，1），即有+=1，②又c2=a2﹣b2③由①②③，解得a=2，b=，故椭圆C的方程为+=1．（2）证明：联立，消去y，得（2k2+1）x+4kmx+2m2﹣4=0，则△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=32k2﹣8m2+16＞0，又A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2=﹣，x1x2=，设直线MA：y=（x+2），则yP=，同理yQ=，∵+=+，∴+=+，即+=0，∴（x1﹣4）y2+（x2﹣4）y2=0，∴（x1﹣4）（kx2+m）+（x2﹣4）（kx1+m）=0，即2kx1x2+（m﹣4k）（x2+x1）﹣8m=0，∴2k•+（m﹣4k）（﹣）﹣8m=0，∴=0，故k=﹣m，故直线l方程为y=kx﹣k，可知该直线过定点（1，0）．21、解：（1）当a＝1时，，，……………1分由于，当时，，∴，当时，，∴，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.…4分（2）①由得．当时，不等式显然不成立；当时，；当时，.记=，，∴在区间和上为增函数，和上为减函数．∴当时，，当时，．综上所述，所有a的取值范围为．…8分②由①知时，，由，得，又在区间上单调递增，在上单调递减，且，∴，即，∴.………12分当时，，由，得，又在区间上单调递减，在上单调递增，且，∴，解得.综上所述，所有a的取值范围为．………12分22、解(1)在△和△中∥直线是圆的切线△≌△5分(2)又设△∽△又10分23、解析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程是．当时，设点对应的参数为．直线方程为（为参数），代入曲线的普通方程，得，设直线上的点对应参数分别为．则，所以点的坐标为．……5分（2）将代入曲线的普通方