高二数学双曲线知识点及高考例题

-

.高二数学双线知识点及考例题1.双曲线第一定义：平面内与两个定点F、F的距离差的绝对值是常数（小于FF|）的点的轨迹叫双1212曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离FF|叫焦距。122.双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e双曲线的离心率。3.双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的：x(a0，ba2（2）焦点在y轴上的：yx(a0，ba2（3）当a＝b时，x2－y＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。注：c2＝a2＋b24.双曲线的几何性质：x2（）点在轴上的双曲线(0b的几何性质：a--.修编-

2-2

.yFA11

OA

F2

x围：x或<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。<3>顶点：A（-a），A（a，0）12线段AA叫双曲线的实轴，且|AA|＝2a；1212线段BB叫双曲线的虚轴，且|BB|＝2b。1212离心率：(ae越大，双曲线的开口就越开阔。b渐近线：y=aa准线方程：xc5．若双曲线的渐近线方程为：

ba

则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：yab2

【典型例题】-

-.修编-

1211212112例1.择题。

.x2y1.若程表示双曲线，则m取值范是（2

）Am

B.mmDm0时，方程

c表示双曲线的是（

）A.必要但不充分条件C.充分必要条件

B.充分但不必要条件D.既不充分也不必要条件3.设二象限角，方程x

y

的曲线是（

）A.焦点在x轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线

B.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在x轴上的双曲线x24.双曲线上一点，F、是双曲线的焦点，且PF，169则eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)PF的面积为（）12A.9B6C3D.9例2.

已知：双曲线经过两点3，2，，双曲线的标准方程2例3.知B（-5，0，C，0）是△ABC的两个顶点，且35

，求顶点A的轨迹方程。例4.（1求与椭圆方程。

25有共点，并且离心率为9

的双曲线的标准（2求与双曲线

有同近线，且经过点，曲线的标9--.修编-

x22-x22

.准方程。例5.

已知双曲线方程

x2y42

（1）过点（1，1）的直线交双曲线于A两点，若M为AB的中点，求直线AB的方程；（2是否存在直线使点线l被双曲线截得的弦的中点若存在2求出直线l

的方程，若不存在说明理由。例：若

表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的k取值X围是（）A.

B.（0，2）C.

D.（1，2）2.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）A.2或

23

B.2C.

23

D.

3.圆C：1

圆C：2

9，动圆同时与圆C及圆1--.修编-

C相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。2

.[题答案例：解：1.把所给方程与双曲线的标准方程对照易知：2+m与m+1应同号即可。

m00mm0

或

或m2.若a2表示双曲线，则一定有；若ab0∴选A

当时，表示双曲线当时，表示直线3.二象限角，sin，cos0

sin

0原方程化为：

x

2cos

2sincos

易知：x2的系数为负，y2的系数为正∴方程表示焦点在y轴上的双曲线4.由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5--.修编-

133-133设PFmPFn，则，FF1022

.由余弦定理：c)mn100mn36

3S

PF

60、22例：解：所求双曲线方程为Ax2－By＝1，A32依题意：y2x2所双曲线方程为：16例：分析：在△ABC中由正弦定理可把Bsin转化a，结合55图形可知顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。yAB-3C

x--.修编-

1-1

.解：△ABC中，|BC|＝103由正弦定理BCsinA53可化为：ACABBC65∴顶点A的轨迹是以为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支又∵c＝5，a＝3，∴b＝4顶点A的轨迹方程为

x2y(9注：（1）利用正弦定理可以实现边与角的转换，这是求轨迹方程的关键；（2）对于满足曲线定义的，可以直接写出轨迹方程；（3）求轨迹要做到不重不漏，应删除不满足条件的点。例：解：）由椭圆方程知：a2c点Fx2215由已知条件得：ca11所求双曲线的标准方程为：

x24

y2（2）解法一

，象限--.修编-

2-2x2y2又双曲线的渐近线为x9

.将M点横坐标

92

2代入yx3∴双曲线的焦点必在x轴上x2y2设曲线方程为：a22

23ab2

所求曲线标准方程为：

x2188解法二：所求双曲线与已知双曲线有共同的近线y3设所求双曲线方程为：

x2y29

0)又所求双曲线过点，

9

4

所双曲线方程为：

x18例：解：）设AB方程为：y－1＝k（x－1）2y42

，消去

kk0--.修编-

xyAB-xyAB

.设A

2

y，1222

x1

2

41

2

x，即2212

2

k

12又

2

2

2

将

12

代入所直线的方为：xy0（1）另解法：设Ax，，x，y，12，1222

、B在双曲线

x2y42

上

114x22224

0又x2，y21212

x

4

y2

当x＝x时，直线AB与双曲线没有交点。12y1x那么，k2

12直B的方程为：xy02双线的一条渐近线为x2--.修编-

11-11

.又

12，直线与双曲线有两个交点22xy0即为AB的方（2）假设过N

线l2

交双曲线于（x，y）（x，y）两点3344则

334x444

3

依题意xx，x2，y3343y34

k

双线的一条渐近线为

22

2，直l与双曲线没有公共点2使点N的中点的直线不存在2例：1.答案：2.答案：3.分析：解决本题的关键是寻找动点M满足的条件，对于两圆相切，自然找圆心距与半径的关系。--.修编-

-

.MA

yBC1

O

3C2

x解设动圆M与圆C及圆C分别外切于点A和根据两圆外切的充要条件知：12MCACMA11