高等数学 向量代数与空间解析几何题

高等数学向代数与空间解析几何题第五章向量数与空间解析几5。1。1向量的概念例平行四边形中，设，＝试用a和b表向量、、这里是平行四边形对角线的交点（图－8）解由平行四边形的对角线互相平行，所以＋＝＝即－(ab＝于是＝（a＋b)。因为＝－，所以a）。又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－）由＝－，＝ab）

图－8例液体流过平面面积为A的个区域液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）设为直于的位向(－（a)）计单位时间内经过这区域流向所指向一侧的液体的质量（体得密度为。（）

（b图－解该柱体的斜高｜v，高与地面垂线的夹角为与n的角，所以这柱体的高为｜v｜，体积为｜vvn。从而，单位时间内经过这区域流向n指向一侧的液体的质量为P=v·例设三边分别是、b、c图5－15)，试用向量运算证明正弦理证明注意=CA+AB，故有CBCA=CA=ABCAAB(CB+BA）=图－15于是得到CBCAABCAABCB从而CBCAABCA｜ABCB即ab＝sin＝ca所以。点的坐标与向量的坐标例知点A，，7）、B，5,0在y轴求一点M使得｜MB｜。解因点在y轴上,故设其坐标为，则由两点间的距离公有解得，故所求点为例求以点为顶点的三角形是一个等腰三角解因所以，即△为等腰三角形。

高等数学向代数与空间解析几何题5.2向运的标示例有点，，求向量的坐标表示解由，而，于即例已两A，）（7，，3)求与方向相同的单位向量e。解因＝–＝（7，）（4，0）（3，，–2），所以＝于是

e.例求以量为未知元的线性方程组其中＝(2，），=(1，1解解方程组得x=2a–3,y=3ab以ab代入即得x=2(2,1,2)––，–2）（–1,10)y，–（––。例知两点A和B以及实数，在直线上点M使。解如－13所示。由于＝–，＝–，因此––），从而（以、的坐标即点A、B的标）代入－本例中的点M称定比分特别地当时，得段AB的点为。例已两和,算向量的模、方向余弦和方向.解＝1–，–，–=（1–）;｜==;;。例知三点M1,1)（2,2,）和B(2）求∠AMB.解作量，，则∠AMB向量与的夹角。这时=1，，=(1,，从而•=11+10+01=1;｜=。从而∠AMB=,由此得∠＝.

图例设方得一条对角线为OM,条棱为，且｜OA｜=，求在方向上的投影

高等数学向代数与空间解析几何题解如5所，记∠MOA，有，于是＝

图－例10设＝（2，－），＝1－，），计算ab.解＝。例11已三角形ABC的点分别是A，）（3，5、和C（，4,7），求三角形ABC的积解由量积对于，可知三角形的面积由于＝（，2,2），＝（1，，），因此于是例12设体以等角速度绕轴旋转，计算刚体上一点的速解刚绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图－22).图－22设点M旋转轴轴上任取一点做量＝，并以表示与r的角那么a=|r设线速度为，那么由物理学上线速度与角度的关系可知的小|=|ω=ω｜｜r｜；v的向垂直于通过点的与轴的平面，即垂于与r;又的指向是使、、符右手规则，因此有v=ωr。例13已不在一平面上的点A（）、B（）、C（）、D（。求四面体ABCD的积解由体几何知道，四面体的体积等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一。因=由于

=，=所以=上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。。空的平面与直线5.3。1平例知空间两点和，求经过点且与直线垂直的平面方程。解显就是平面的一个法向量由点法式方程可得所求平面的方程为即例过三点（－14）、（－，，2)（，2，）的平面的方程.解先出这平面的法线向量。由于量n与量、都垂直而＝（－3，，－6），＝（－2，3，－1），所以可取它们的向量积为n：

高等数学向代数与空间解析几何题n＝＝14＋9j－k，根据平面的点法式方程（1，得所求平面的方程为14(x－2＋9（＋1－（－＝，即

x＋9y－z－＝例3设一平面与x，yz轴交点依次为P(，，0、（，b，0）、R，0，c)三点（图－24，求这平面的方程（其中≠，0，≠0).解设求的平面的方程为CD=0.因（a0，），b、R（，，c三点都在平面上，所以点、Q、R的标满足方程(）；即有得。以此代入(并除以（D）便所求的平面方程为（5

图－24方程（5）叫做平面的截距式方程,abc依叫做平面在、轴的距。例平面通过z及点，2－）的平面方程。解因面通过z轴，故可设其方程为Ax＋＝0又因（1，－3）点在平面上，将其坐标代入程，则有A2B＝0,A故所求平面方程为－＋By＝0，即2x－y＝0例平面的方程为3－y＋z＋5＝0，求经过坐标原点且与平行的平方程。解显然所求平面与平面有相同的法向量＝（3，，1）又所求平面经过点，故它的方程为3－2＋＝5空直例经过两点和的直线方程。解该线的方向向量可取。点法式方程立即得到所求直线的方程该方程称为直线的两点式方程。例直线的对称式方程及参数式方程表示直线（4解易（1，，－2）为直线上的一点。直线的方向量为两平面的法线向量的向量积，从而i

j

3因此，所给直线的对称式方程为令得所给直线的参数方程为

=t，

高等数学向代数与空间解析几何题5点平、线位关．点平面距例两个平行平面，之间的距离。解在面上任取一点，则两平面间的距离d就点M到距离，于是=．点直线距例点到直线L:距离解由线方程知点在L上且L方向向量（1，—）从而代入）得点M到L的离＝两平之的角例10一面通过两点和且垂直于平面x+y+z，求它的方程。解设求平面的一个法线向量为＝A，B，）因＝（－，0,2在所求平面上，它必与n垂，所以有－A－2C=0又因所求的平面垂直于已知平面0，所以又有A+B+C=0.由7）、（）得到－，＝.

（8由点法式，平面方程为A－）+（yCz－1)=0。将－，＝代上式，并约去（≠）便得－2(x－）（－1（－1)=0或2－＝。这就是所求的平面方程。．两直的角例11求线：和：的夹角.解直线的方向向量=(1，4，）的向向量，－1）。设直线和的夹角为，那么由公式5)有＝,。直与平面的夹角例12求点（1，且与平面x－3＋－4＝直的直线方解因直线垂直于平面,以平面的法线向量即为直线的方向向量从而所求直线的方程为。．平面束例13求线在面x+y+z=0的投影直线的方程.解过线的平面束的方程为即

(14)其中为待定系数。这平面与平面垂的件是，

高等数学向代数与空间解析几何题即代入（）式得投影平面的方程为

即所以投影直线的方程为

．杂例例14求与两平面x－＝3和2－z＝1的交线平行且过点（，）直线方程解因为所求直线与两平面的交线平,所以其方向向量一定同时垂直于两平面的法向量、，所以可以取nn=（4i+j+），因此所求直线方程为例15求线与平面xyz6=0的.解所直线的参数方程为x=ty=+t4+2，代入平面方程中，得得t=，代入参数方程得交点为

22+t)+（3+）t)—6=0.=2，例16求点（2,1，3且与直线垂直相交的直线的方.过点(，，3）且垂直于已知直线的平面方程为3-（1—（-3)=0已知直线的参数方程为x—1+3t，tz—t.(10）将（10)代（）求得，从而求得直线与平面的交点.以点（，为起点，点为终点的向量这就是所求直线的方向向量，故所求直线的方程为5.4曲面与曲线5曲、线方例建球在点、半径为R的面的方程。解设（x，y，）是球面上的任一点（图），那么｜=R。由于｜所以（）这就是球心在、半径为R的球面的方程。如果球心在原点,时，从而球面方程为。例有点（，2，）和B（2—1,4，求线段AB的垂直平分面的方.解由意知，所求的平面就是与A和B等距的点的几何轨迹。设Mx，yz）

高等数学向代数与空间解析几何题为所求平面上的任一点，由于｜=|BM，所以等式两边平方，然后化简便得2x

-y+2z

–7=0例程表示怎样的曲面？解通配方，原方程可以改写成，与（）式比较知原方程表示球心在点、半径为R=球面.例方组示怎样的曲?解方程组中第一个方程表示球心在原点，半径为2的面。而方程组中的第二个方程表示一个垂直于的平面，因此他们的交线为一个园，如图5-33示。图－

图5－方程组（2当给定时，就得到C上的一个点；随着得变动便可得曲线上的全部点.程组2叫做空间曲线的参数方程。例如空一点M圆柱面上以角速度绕z轴转，同时又以线速度沿行于轴的正方向上升（其中、都是常数那么点M构成的图形叫做螺旋线。试建立其参数方程。解取时间t为数.当t时动点位于x轴的一点（a，0）处。经过间t,点由A运到Mx，yz)(—）。记M在面的投影为M的标为x，y，。由于动点在圆柱面上以角速度绕轴转,以经过时间，∠AOM=t.而｜OM|cos∠AOMacost,OM｜sin∠==sint。由于动点同时以线速度沿行于z轴正方向所z=M。因此螺旋线的参数方程为也以用其他变量作参数;例令则旋线的参数方程可写为这里,而参数为.当OM转一周时，螺线上的点上固定的高.这个高度在工程技术上叫做螺距。

图5－345柱、转和面柱面例方程在面表示圆心在原点O、半径的，在空中表示圆柱面（图—35，它可以看作是平行于z轴的直线l沿y上的圆移动而形成的。这曲面叫做圆柱面（图5—35），xO面的圆叫做它的准线，这平行于轴直线l叫它的母线。例将标面上的双曲线分绕轴轴转一周，求所生成的转曲面的方程。解绕z轴转所成的旋曲面叫做旋转单叶双曲面（图—41），它的方程为图－41

图－

高等数学向代数与空间解析几何题绕x轴转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面（图）它的方程为．锥面例顶点在原点，准线为的锥面方程。

图－43解设锥面上任一点，过原点与M的线与平面c交于点（图—），则有由于与线，故既有，代入,整理得（6这就是所求锥面的方该锥面称为椭圆面。4。3二次曲面

图－44通常将三元二次方程（，，）=0所表示的曲面称为二次曲.而把平面称为一次曲面。二曲面有九种它们的标准方程如下（1椭圆锥面（545（2）椭球面图－图－（3单叶双曲面（）双叶双曲面（5)椭圆抛物面（－46）双曲抛物面图－47（7椭圆柱面（双曲柱面（9抛物柱面图－465空几图举例10已两球面的方程为

图5－47

高等数学向代数与空间解析几何题（7和）求它们的交线在y面的投影方.解（）—(8)y+=1。将z=1–y代（）或（）得所求柱面方程为于是投影程为例11设一个立体由上半球锥面所围成（图5—），求它在y面的投影.解半面和锥面的交线为C：由上列方程组消去z，得到，这是y面的一个圆，于是所求立体在xO面的投影，就是该圆在面上的一个,

图5于是所求立体xO面的投影，就是该圆在xO面所围的部分：。习题课例知＝(—3,0，4，＝（，—，—14，求平分线上的单位向量。解由面几何的知识知，菱形对角线平分顶角，因此，只要在AB、AC上别取点B、C，使AB｜=|，则＝＋，即为∠的分角线向量，特别地取、单位向量，则＝＝＝（，—-）于是＝＋（5，-14)＝（，-2，—2—(2,1,1)其单位向量为，1例2设a+b和-5直，a和a—2垂直，求非零向量a与的角。解由

3⊥a5—4⊥7a—2得

(a+3)•（a5)=7|a|+16ab—b(—4b）•(a-2b)=7|a-30•+8b(2)）—得2•＝｜即ab｜）b，从而cos(）＝。（18＋（2）得＝ab,得＝。由＝,得｜a＝｜。所）=()＝。例已｜a＝，｜b＝19，+|=24，求｜–b解｜+＝(a+b）•（+)=｜a|+2a+b又相加，得

a–｜＝(ab）•(ab）=a–•｜|两a–｜＝(｜a+｜–｜ab以｜a＝，｜＝，｜+b|=24代得｜a｜2（13＋）24所以ab＝。

高等数学向代数与空间解析几何题例＝+b，＝–6b，–)，试证、、D三共。证用量证明三点共线只要证//,途径有两:（）往证；（往证＝.可根据具体情况选择。本例选(）=+=（6a)+8(ab）+10b=2(+5)=2,所以即A、B、D三共线。例知三个向量、、两都不平行，但+)与平行,（+）与行,证ab=0。证由（a+c(b+)//,以即两式想减得a–＝因为a与c不行,所以＝0＝0.，因此++=例已直L:点P（3，—，过点P作线l与L垂相交，