高考数学培优 专题10 计数原理

高数培专10计原一、单题(2分2020高三上大同期中）在

的展开式中，

的系数为（）A.20B.10C.-10D.-20(2分（高上潍坊期中）高一某班有名学报名参加学校组织三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，报名方案有（）A.15种

B.90种

种

种(2分2020高三上会昌月考）若为（）

的展开式中各项系数之和为64，展开式的常数项A.－B.－162D.540(2分2020高三上唐山月考）特岗教师是中央实施的一项对中西部地农村义务教育的特殊政.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了名岗教师中体育教师名学师4名.每所学校1名体育教师2名数学教师进行分配，则不同的分配方有（）A.2414C.D.8(2分（高三上松月考）在项为（）

的展开式中，各二项式系数之和为，则展开式中常数A.B.105(2分（2020高上合月考）周六晚上小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种为（）A.8B.12D.20(2分2020高三上蚌埠月考）

的展开式中常数项为（）A.-40C.-80D.80(2分2019·江模拟）从集{，，，，，和1，，，，5，，，，中任取个素排成一母和数字均不能复中字母C和字4至出两个的不同排法数）A.8595C.2040二、多题(3分2020高三上山东期中）已知

的展开式中各项系数之和为，二项的二项式系数为，则（）B.展开式中存在常数项A.10.(3分（2020高上邢月

开式中含

项的系数为54

，则（）

A.B.11.(3分（高三上溧水期中）设常数结论中，正确的是（）A.若，各项系随着项数增加而减小B.若各项系数随着项数增加而增大，则

，，于二项式

的展开式，下列若若

，，

，则第项的系数最大，则所有奇数项系数和为23912.(3分（高二下连云港期末）为弘扬我国古代“六文，某夏令营主办单位计划利用期开设礼乐”“”御”书”数六体验课程，每周一门，连续开设六.则）A.某生从中选门共有30种法B.课程射“”排不相邻两周共有240种法课程“”书”数排在相邻三周，共有144种法课“乐不在第一周，课“”不排在最后一周，共有种排法三、填题13.(1分（高三上黄浦期中）若

的展开式中

的系数为，

________.14.(1分（高三上西安期中）年月为支援武汉市抗击新型冠状病毒的疫情计划从北京大兴国际机场空运部分救援物资，该杋场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车统，解决了停车满、找车难的问题，现有4辆载有救援物资的车辆可以停放在8个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案________种（用数字作答）15.(2分（绍模拟）知

，则________，

________.

16.(1分（2020·桂模拟）校

名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共

种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司.游戏分组有两种方式，可以

人一组或者

人一组如

人一组，则必须角色相同；如果人组，则人角色相同或者

人为级别连续的

个不同角色已这

名学生扮演的角色有

名士兵和

名司令，其余角色各人，现在新加入名学生，将这

名学生分成

组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为_______.四、解题17.(10分（2020高三上松月考）盒子内有3个同的黑球5个不同的白球（）中取出个黑球4个球排成一列且个球两两不相邻的排法有多少种？（）中任取个球且白球的个数不比黑球个数少的法有多少种？18.(10分（2020高三上松月考）已知（），

的展开式中，第项和第项二项式系数相等，（）展开式

的一次项的系数19.(10分（南模拟）已知

.（）

的值；（）

的值.20.(15分（2020高二上建月考）在高三一班元晚会上，有个唱目4个蹈节目（）个蹈节目接在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？（）要求每个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？（）已定好目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板个目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？21.(10分（2020高二下武月考）已知二项式．（）它的二式系数之和为512．求展开式中系数大的项；（），求二项式的值被除余数．22.(15分2020高二·汉月考）江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共个名额，分配到历史类5个班个班至少个名额，所有名额全部分).（）有多少分配方案？（）名生确定后，分成A、、、四小，每小组至少一人，共有多少种方法？（6名学生来到武汉火车站火站共设有3“安检”入口每个入口每次只能进1个客求6人站的不同方案种数

一、单选题【案】【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】在通项公式为

答案解析分的展开式中，，令

，求得

，的系数为，故答案为：．【分析】利用二项展开式的通项公式，由

的指数分别为与可得

的系数．【案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：根据题意5名同学需以，，形式参加三个服务小组，即先把名同学分成3组组人数为2人种，故答案为：

种将三组分配到个服务小组【分析】利用实际问题的已知条件结合排列数、组合数解决计数问题的方法，从而求出报名方的种数。【案】【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】根据题意，由于

展开式各项系数之和为2

，解得n=6，展开式的常数项为，答案为【分析】利用二项式定理的系数的性质求出n的，从而结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。【案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】先把名数学教师平分为组有

种方法，再把名育教师分别放入这两组，有

种方法，

最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有

种方法故答案为：【分析】先把4名学教师平分为2组，再把名育教师分别放入这两组，最后把这两组教师分配到两所农村小学，即可计算出结果【案】【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由二项式系数的性质，得，则

，则，展开式中常数项为135,

的展开式为故答案为：【分析】利用二项式系数的性质结合已知条件求出n的，再结合二项式定理求出开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中的常数项。【案】【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答4个坐四个座位，共有

种坐法，当孩子坐在一起并且坐在最边上时，有一个孩子没有大人陪伴，共有

种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共有24-8=16种法故答案为：【分析】先计算出4个人的全排列，再减去不符合情况的种数即.【案】【考点】二项式定理【解析】【解答】解（﹣）令5﹣＝1，5﹣＝，

的的展开式的通项公式：,解得r＝，＝

（舍去）．（）2x

）

5

的展开式中常数项：（﹣）×2

2

＝﹣．故答案为：．【分析】利用通项公式即可得出【案】【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】根据题意，分步进行分析：①，在两个集合中选出4个元素，要求字母C和字4，至出现两个，若字母和数字4，都出现，需要在字母AB，，E，中选出个母，有种选法，若字母和数字4出，要在字母BF中出个母，在1、23、、、9中出1个数字，有＝种法，

54若字母和数字7出，要在字母BF中出个母，在1、23、、、9中出1个数字，有＝种法，54若数字、出，需要在字母，，，E，中出2个母，有C＝种法，则有＝种法，②，选出的4个素全排列，有A424种况则一共有85×24＝种不同排法；故答案为：．【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出个素，要求字母和字4，至出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得.二、多选题【案】A,B,D【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】令A符题意；

，得

的展开式中各项系数之和为，所以，的展开式中第二项的二项式系数为

，所以，

，符合题意；的展开式的通项公式为

，令

，则

，所以展开式中不存在常数项不合题意；令

，则

，所以展开式中含

项的系数为，符题意；故答案为：【分析】利用二项展开式的通项公式求解列方程求解即可10.【答案】A,C,D【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】由题意，当当时，

时，，

，当

时，

，所以

，

，，当时，所以故答案为：

.

，

【分析利用赋值法解决于A通过给

赋值

即可作出判断对于B和通给

赋值和

，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；对于D：，通过给

赋值

得到结果即可作出判断11.【答案】B,C,D【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【解答】二项式

的展开式的通项为，对于A当对于B，题意；

时，则任意项的系数均为（除常数项）A不合题意；，则最后两项为，有，已知矛盾，故，符合对于C，，

，则各项系数为

，

，

，，

，

，

，，

，

，

，故第7项的系数最大，符题.对于，若，，则所有奇数项系数为故答案为：BCD.【分析】求出二项展开式的通项，取断C；接求出奇数项和即可判断D.12.【答案】C,D【考点】排列与组合的综合【解析】【解答6门选3门有课程射御”排在不相邻两周，共有课程礼书”“”排在相邻三周，共有

，符题.即可判断A；利用反证可判断B；次求出各项系数即可判种，不符合题意；种排法，不符合题意；种排法C符题意；课程乐不在第一周，课程御不在最后一周，共有

种排法，符合题意．故答案为：【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即三、填空题13.【答案】-1【考点】二项式定理

【解析【解答】求得二项式

的展开式的通项为

，当

，解得，时

，所以，解得故答案为：【分析】由题意，二项式展开式的通项为关于的方程，即可求.

.

，结合题意，求得，而到14.【答案】120【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】从8个位里选择4个相邻的车位，共有种式，将4辆有援物资的车辆相邻停放，有

种方式，则不同的泊车方案有

种故答案为：【分析】可知从个车位里选择4个相邻的车位，共有5种式，将辆载有救援物资的车辆相邻停放，有种方式，则可计算出不同的泊车方.15.【答案】0；【考点】二项式系数的性质【解析】【解答】因为令可得：所以：；；；；……；；

.

，故故答案为：，【分析】根据其特点可知

为

.的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令

即可求解．

16.【答案】【考点】分类加法计数原理【解析】【解答】依题意，

名学生分成

组，则一定是

个

人组和个

人组.①若加入的学生是士兵，则可以将这

个人分组如下；

名士兵；士兵、排长、连长各名；营长、团长、旅长各名师长、军长司令各名；名令所以新加入的学生可以是士兵，由对称可知也可以是司令；②若加入的学生是排长，则可以将这

个人分组如下：

名士兵；连长、营长、团长各名；旅长、师长、军长各名；

名司令；

名排长所新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；③若加入的学生是连长，则可以将这

个人分组如下：

名士兵；士兵、排长、连长各名；连长、营长、团长各名旅长、师长军长各名；名令所以新加入的学生可以是连长，由对称可知也可以是师长；④若加入的学生是营长，则可以将这

个人分组如下：

名士兵；排长、连长、营长各名；营长、团长、旅长各名师长、军长司令各名；名令所以新加入的学生可以是营长，由对称可知也可以是旅长；⑤若加入的学生是团长，则可以将这

个人分组如下：

名士兵；排长、连长、营长各名；旅长、师长、军长各名；

名司令；

名团长所新加入的学生可以是团.综上所述，新加入学生可以扮演种角色故答案为：

.【分析】对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下

个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论四、解答题17.【答案】（）：先从5个白球中取出4个进行排列，然后3个黑球插在中间三个空内，则4个球两不相邻的排法有

种；（）：从中取6个球，白球的个数不比黑球个数少的取法有3类1个黑球和个白球2个球和4个白球3个球和3个白球，则共有

种取法【考点】排列、组合及简单计数问题【解析【析】（1）题意先将白球选出个行排列，再用黑球插空即可得解；）由题意将满足要求的情况分为三种个球和5个球个球和4个白球个黑球和个白球结合分步乘法、组合的知识即可得解18.【答案】（）：第4项和第9项二项式数相等可得解得（）：由（）知，展开式的第

项为：令

得

此时所以，展开式中

的一次项的系数为【考点】二项式系数的性质【解析】【分析】1根据二项式系数相等列式求解n；）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．19.【答案】（）：

得，

；令

得，

.于是

.（）：，首先考虑，则，因此故

..【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质【解析】【分析】1利用赋值法进行求解，令

得，；

得，.从可求结.（）据二项式系数与，然后累加可求

关系及组合数性质得到的值.20.【答案】（）：一步先将个舞蹈节目捆绑起来，看成1个目，与个演唱节目一起排，有种方法；

第二步再松绑个目排序种

种方法根分步乘法计数原理有（）：第一将6个唱节目排成列（如图中“”），一共有

种方法×□×□×□×□×□×□×第二步，再将个蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图“×的位置），这样相当于个×选4个来排，一共有

种，根据分步乘法计数原理，一共有

种（）：若所节目没有顺序要求，全部排列，则有

种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有

种排法【考点】计数原理的应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【分析】1相邻问题利用捆绑法；2）相邻问题采用插空法；（）用倍分法分析：先求出个目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算得答案；二项式21.【答案】（）：由展开式中系数最大的项为第项为

的二项式系数之和为512，，解得：，

．

，．（）：若，，问题转化为

被7除的余数，，即余数为2．【考点】二项式定理的应用【解析【析】）题意利用二项式系数的性质求得的值，再根据通项公式可得展开式中第项的系数，从而求得展开式中系数最大的项2）二项式即

，按照二项式定理展开，问题化为数．

被除余再根据

按照二项式定理展开可得它除的余22.【答案】（）：题意得：问题转化为不定方程

的非负整数解的个数，方又等价于不方程

的正整数解的个数，

利用隔板原理得：方程正整数解的个数为

，