2017-2021北京初三（上）期中数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系2

37/372017-2021北京初三（上）期中数学汇编点和圆、直线和圆的位置关系2一、单选题1．（2021·北京十四中九年级期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（）A．120° B．100° C．80° D．60°2．（2019·北京市三帆中学九年级期中）如图，数轴上有A、B、C三点，点A，C关于点B对称，以原点O为圆心作圆，若点A，B，C分别在⊙O外，⊙O内，⊙O上，则原点O的位置应该在A．点A与点B之间靠近A点 B．点A与点B之间靠近B点C．点B与点C之间靠近B点 D．点B与点C之间靠近C点3．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（）A．5步 B．6步 C．8步 D．10步4．（2019·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是（）A．65° B．75° C．85° D．105°5．（2019·北京育才学校九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（）A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定6．（2019·北京市鲁迅中学九年级期中）以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=－x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（

）A．． B．C． D．7．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能二、填空题8．（2019·北京市第一五六中学九年级期中）下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．所以直线AD就是过点A的圆的切线．请回答：该画图的依据是______________________________________．9．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的度数是________°．10．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，PO交圆于点C，若∠APB=60°，PC=6，则AC的长为__________．三、解答题11．（2019·北京十五中九年级期中）如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为AC延长线上一点,连接BD,AE⊥BD于点E.(1)记△ABC得外接圆为⊙0,①请用文字描述圆心0的位置;②求证:点E一定在⊙0上.(2)将射线AE绕点A顺时针旋转45°后,所得到的射线与BD延长线交于点F,连接CF,CE.①依题意补全图形;②用等式表示线段AF,CE,BE的数量关系,并证明.12．（2019·北京十五中九年级期中）如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,D是中点,若∠BAC=70°,求∠C．下面是小雯的解法,请帮他补充完整:解:在⊙0中,∵D是的中点∴BD=CD．∴∠1=∠2()(填推理的依据).∵∠BAC=70°,∴∠2=35°.∵AB是⊙0的直径,∴∠ADB=90°()(填推理的依据).∴∠B=90°-∠2=55°.∵A、B、C、D四个点都在⊙0上,∴∠C+∠B=180°()(填推理的依据).∴∠C=180°-∠B=(填计算结果).13．（2021·北京八十中九年级期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，求证：∠AED=∠CEF14．（2018·北京师大附中九年级期中）如图所示，在平面直角坐标系中有一格点三角形，该三角形的三个顶点为：A（1，1），B（﹣3，1），C（﹣3，﹣1）．（1）若△ABC的外接圆的圆心为P，则点P的坐标为_____，⊙P的半径为_____；（2）如图所示，在11×8的网格图内，以坐标原点O点为位似中心，将△ABC按相似比2：1放大，A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'．①画出△A'B'C'；②将△A'B'C'沿x轴方向平移，需平移_____个单位长度，能使得B'C'所在的直线与⊙P相切．15．（2018·北京二中九年级期中）如图所示，以的边为直径作⊙，与交于点，点是的中点，连接交于点，．（）求证：是⊙的切线．（）若，，求的长．16．（2019·北京市广渠门中学九年级期中）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（1，0）的距离跨度______________；B（-，）的距离跨度____________；C（-3，-2）的距离跨度____________；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是______________．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以D（-1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y=k（x-1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OP：y=x（x≥0），⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，求出圆心E的横坐标xE的取值范围．17．（2019·北京·首都师范大学大兴附属中学九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若∠D=60°，AD=2，射线CO与AM交于N点，请写出求ON长的思路．18．（2019·北京市昌平区第四中学九年级期中）（1）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°.设∠BAC＝α，则sinα＝＝，易得∠BOC＝2α.设BC＝x，则AB＝3x，AC＝2x，作CD⊥AB于D，求出CD＝________(用含x的式子表示)，可求得sin2α＝＝________；（2）【问题解决】已知，如图②，点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值．19．（2019·北京市第三十一中学九年级期中）已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．求证：∠OCF=∠ECB．20．（2021·北京市第一五六中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1，)中，是“关系点”的为；(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出⊙C的半径r的取值范围．21．（2018·北京四中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点.定义图形W的测度面积：若|x1-x2|的最大值为m，|y1-y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积.例如，若图形W是半径为l的⊙O.当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2.则图形W的测度而积S=mn=4.（1）若图形W是抛物线y=-x2+2x+3和直线y=2x-1围成的封闭图形，则它的测度面积S=______（2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD．①当A，B两点均在x轴上时，它的测度面积S=_________；②此图形测度面积S的最大值为_________；（3）若图形W是一个边长分别为3和6的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围.22．（2018·北京八十中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；（2）⊙C的半径为1，①C的坐标为（1，2），直线l:y=kx+b（k>0）经过点D（，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=x+关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范围．23．（2019·北京市三帆中学九年级期中）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．（1）当⊙O的半径为1时，①分别判断在点D（，），E（0，﹣），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有；②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；③点P与点O的距离d满足范围___________________时，点P是⊙O的相邻点；④点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标x的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围．24．（2020·北京中学明德分校九年级期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．25．（2021·北京五十五中九年级期中）已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．26．（2021·北京市鲁迅中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若∠C=30°，EF=，求EB的长．27．（2020·北京四中九年级期中）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．证明：（1）BD=DC；（2）DE是⊙O切线．28．（2020·北京中学明德分校九年级期中）如图，AB是圆O的直径，点C、D在圆O上，且AD平分∠CAB．过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于E，与AB的延长线相交于点F．求证：EF与圆O相切．29．（2019·北京市第十三中学九年级期中）如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的半径吗？（画出示意图，保留作图痕迹）30．（2021·北京十五中九年级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

参考答案1．A【分析】根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质解答即可.【详解】∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，∴∠A=60°，∴∠C=180°﹣60°=120°，故选A．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质，熟知圆周角定理及圆内接四边形对角互补的性质是解题的关键.2．C【分析】分析A，B，C离原点的远近，画出图象，利用图象法即可解决问题；【详解】由题意知,点A离原点最远，点C次之，点B离原点最近，如图，观察图象可知，原点O的位置应该在点B与点C之间靠近B点，故选C．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．3．B【详解】勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知，半径==3，直径是6.故选B.4．B【详解】试题解析：∵四边形ABCD内接于∴故选B．点睛：圆内接四边形的对角互补.5．A【详解】∵△ABC中，∠C＝90°，∴BC<AB，∵⊙B的半径为BC，∴点A在⊙B外，故选A.6．D【详解】如图，当直线与圆相切时，A(0，)，B(0，-)，易得D选项正确.7．A【详解】试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．考点：垂径定理的应用8．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．9．105【详解】试题分析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB+∠DCB=180°，∵∠BAD=105°，∴∠DCB=180°﹣∠DAB=180°﹣105°=75°，∵∠DCB+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠DAB=105°．考点：圆内接四边形的性质．10．2．【详解】试题分析：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．由切线的性质易证△AOP是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD来求AC的长度．解：如图，设CP交⊙O于点D，连接AD．设⊙O的半径为r．∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴OA⊥AP，∠APO=∠APB=30°．∴OP=2OA，∠AOP=60°，∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，∵∠AOD=60°，AO=DO，∴△AOD是等边三角形，则AD=OA=2，又∵CD是直径，∴∠CAD=90°，∴∠ACD=30°，∴AC=AD•cot30°=2，故答案为2．考点：切线的性质．11．（1）证明见解析（2）AF=2CE+BE【分析】(1)连接OC,OE,可得OC=OE=OA=OB=AB,即点E在以O为圆心,OA为半径的圆上,即点E在△ABC的外接圆⊙O上.(2)过点C作CG⊥CE,与BF交于点G,可证的∠BCG=∠ECA及△ACE≌△BCG(ASA)，可得BG=AE,EC=GC，由旋转的性质可得∠EFA=90°-∠EAF=45°=∠EAF,AE=EF，可得AF=2CE+BE.【详解】(1)①线段AB的中点;

②证明:如图,连接OC,OE,∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°,∵∠ACB=90°,O为AB中点,∴OC=OE=OA=OB=AB,∴点E在以O为圆心,OA为半径的圆上,即点E在△ABC的外接圆⊙O上.

(2)①如上图中所示,

②AF=2CE+BE;

证明如下:过点C作CG⊥CE,与BF交于点G.∴∠ECG=∠BCA=90°,∴∠ECG+∠BCE=∠BCA+∠BCE,即∠BCG=∠ECA.∵E,A,B,C在以O为圆心,OA为半径的圆上,∴∠EAC=∠EBC.

∵BC=AC,∴△ACE≌△BCG(ASA)∴BG=AE,EC=GC.∴在Rt△CEG中,EG=.

∵由旋转,∠EAF=45°,而∠AEF=90°,∴∠EFA=90°-∠EAF=45°=∠EAF,∴AE=EF，∴在Rt△AEF中,AF=.∵BG=BE+EG=BE+CE,∴AF=2CE+BE.【点睛】本题主要考查三角形的外心及圆与三角形全等的综合.12．见解析【分析】由同圆或等圆中，弦、弧、圆心角间的关系及圆内接四边形的性质可得答案.【详解】依次填写:①等弧所对的圆周角相等;

②直径所对的圆周角是直角;

③圆内接四边形对角互补;

④125°【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弦、弧、圆心角间的关系及圆内接四边形对角互补的性质.13．见解析【分析】连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．【详解】证明：连结AD，如图，∵CD⊥AB，∴弧AC=弧AD，∴∠ADC=∠AED，∵∠CEF=∠ADC，∴∠AED=∠CEF．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．14．（1）（﹣1，0）,，；（2）5﹣或5+．【分析】（1）由题意可知△ABC是直角三角形，作出外接圆即可；（2）利用位似图形的定义和性质作出图形，再根据平移的定义和性质及切线的判定即可得平移的距离．【详解】（1）△ABC的外接圆⊙P如图所示由图可知，点P的坐标为（﹣1，0）、半径为，故答案为（﹣1，0）、；（2）如图所示，△A′B′C′即为所求．将△A′B′C′向右平移5﹣或5+个单位B′C′所在的直线与⊙P相切，故答案为5﹣或5+．【点睛】本题考查了位似图形的定义和性质以及平移与切线的知识点，解题的关键是熟练的掌握位似图形的定义和性质以及平移的定义和性质与切线的判定.15．（）证明见解析（）【详解】【分析】(1)由=，得，由，得，由是直径，得故，，即，所以是⊙的切线．（2）过点作于点，由（）知，，由角平分线的性质得；由，设，则，由勾股定理可得，即求得，，；再证，得，可得.【详解】（）证明：∵点是的中点，∴=，∴，∵，∴，∵，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是⊙的切线．（）解：过点作于点，由（）知，，∴（角平分线的性质），在中，，设，则，由勾股定理可得，，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即的长为．【点睛】本题考核知识点：圆的综合.解题关键点：熟记圆的性质、相似三角形判定和性质、直角三角形性质.16．（1）①2；2，4；②以O为圆心，半径为1的圆；（2）-≤k≤；（3）-1≤xE≤2．【详解】试题分析：（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；（2）先判断出存在的点P必在圆O内，设出点P的坐标，利用点P到圆心O的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．试题解析：（1）①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4，∵A（1，0），OA=1，∴点A到⊙O的最小距离d=1，点A到⊙O的最大距离D=3，∴点A到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；∵B∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG-OB=1，点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3，∴点B到图形G1的距离跨度R=D-d=3-1=2；∵C（-3，-2），∴OC＝∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC-OD=－2.点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+∴点C到图形G1的距离跨度R=D-d=2+－（－2））=4；故答案为2，2，4．②a、设⊙O内一点P的坐标为（x，y），∴OP=∴点P到⊙O的最小距离d=2-OP，点P到⊙O的最大距离D=2+OP，∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=2+OP-（2-OP）=2OP；∵图形G1的距离跨度为2，∴2OP=2，∴OP=1，∴＝1∴x2+y2=1，即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．b、设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），∴OQ=∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ-2，点P到⊙O的最大距离D=OQ+2，∴点P到图形G1的距离跨度R=D-d=OQ+2-（OQ-2）=4；∵图形G1的距离跨度为2，∴此种情况不存在，所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．故答案为圆；（2）设直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），∴OP＝由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，∴点P在图形G2⊙C内部，∴R=2OP=2∵直线y=k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，∴2＝2∴（k2+1）m2+2（k2-1）m+k2=0①，∵存在点P，∴方程①有实数根，∴△=4（k2-1）2-4×（k2+1）k2=-12k2+4≥0，（3）如图，作EC⊥OP于C，交⊙E于D、H．由题意：⊙E是以3为半径的圆，且圆心E在x轴上运动，若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2，此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切，当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时，满足条件，∴CD=2，CH=4，CE=1，∵射线OP的解析式为y=，∴∠COE=30°，OE=2CE=2，当E′（-1，0）时，点O到⊙E的距离跨度为2，观察图象可知，满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围：-1≤xE≤2．故答案为-1≤xE≤2．【点睛】圆的综合题：主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由（1）的已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．是一道难点比较大的中考常考题，判断出图形的形状是圆，是本题的难点．17．证明见解析【分析】（1）根据垂径定理得到AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，得到∠BAD＝∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分线，得到∠DAM＝∠FAD，再由∠BAD与∠FAD互补，得出∠BAM＝90°，根据切线的判定即可得到结论；（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出△ACD是等边三角形，得到CD＝AD＝2，再根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2，利用三角函数解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，∴．∴．∵AM是∠DAF的角平分线，∴．∵°，∴°．∴OA⊥AM．∴AM是⊙O的切线．

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得AC＝AD，∠1＝∠3＝∠CAD；②由∠D＝60°，AD＝2，可得△ACD为边长为2的等边三角形，∠1＝∠3＝30°；③由OA＝OC，可得∠4＝∠3＝30°；④由∠CAN＝∠3＋∠BAN＝30°＋90°＝120°，可得∠5＝∠4＝30°，AN＝AC＝2；⑤在Rt△OAN中，根据三角函数即可求出ON的长．点睛：本题考查了切线的判定，垂径定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键．18．（1）；；（2）sin2β＝.【分析】（1）如图1中，⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC=α，则sinα==，可设BC=x，则AB=3x．利用面积法求出CD=，在Rt△COD中，sin2α==；（2）如图2中，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R．先证明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=，设MN=3k，则NQ=5k，易得OM=NQ=，可得MQ==4k，由•MN•MQ=•NQ•MR，求出MR=，在Rt△MRO中，根据sin2β=sin∠MON=，计算即可求得sin2β的值．【详解】解：（1）∵CD•AB=AC•BC，∴CD=在Rt△OCD中，sin2α=；故答案为：；；（2）如图，连接NO，并延长交⊙O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NO于点R，在⊙O中，∠NMQ＝90°，∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β，在Rt△QMN中，∵sinβ＝，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，∴MQ＝＝4k，OM＝NQ＝k，∵S△NMQ＝MN·MQ＝NQ·MR，∴3k·4k＝5k·MR，∴MR＝k，在Rt△MRO中，sin2β＝sin∠MON＝【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义；会运用勾股定理定理和面积法计算线段的长；会利用代数法转化线段的比．19．见解析【分析】延长CE交⊙O于点G，连接BG，由垂径定理可得BC=BG，从而可得∠G=∠2，再根据BF∥OC，可得∠1=∠F，再根据圆周角定理可得∠G=∠F，从而得证.【详解】延长CE交⊙O于点G，连接BG，∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，∴BC=BG，∴∠G=∠2，∵BF∥OC，∴∠1=∠F又∵∠G=∠F，∴∠1=∠2．即∠OCF＝∠ECB．20．（1）A、M；（2）或；（3）或.【解析】【详解】试题分析：（1）由“关系点”的定义可知，关系点的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中A点和M点是“关系点”；（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，根据关系点的定义设点P的坐标为（x，2x），过点P作PG⊥x轴于点G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点P的坐标；（3）“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，故结合图2分以下两种情况讨论可得本题答案：①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2<r<CP3时，⊙C上有且只有一个“关系点”；综合①②即可得到本题答案.试题解析：（1）由“关系点”的定义可知，“关系点”的纵坐标等于横坐标的2倍，由此可知四个点中点A、M是“关系点”；.（2）由题意按要求作半径为1的⊙O，如图1，在⊙O上取点P，过点P作PG⊥x轴于点G，由题意可设P（x，2x），∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2，∴x2+4x2=1，∴5x2=1，∴x2=，∴x=，∴P或P；（3）由“关系点”的定义可知，所有的关系点都在直线上；∵“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一个“关系点”P，∴①当⊙C和直线相切于点P1时，⊙C上有且只有一个“关系点”；②设点P2的坐标为（2，4），点P3的坐标为（-2，-4），连接CP2，CP3，当CP2<r<CP3时，⊙C上有且只有一个“关系点”；①如图2，当⊙C和直线相切于点P1时，此时⊙C上有且只有一个“关系点”，过点P1作P1D⊥x轴于点D，则OD=x，P1D=2x，OP1=，∴sin∠P1OD=，∴此时⊙C的半径=OC×sin∠P1OD=；②如图2，当x=2时，点P2的坐标为（2，4），连接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；当x=-2时，点P3的坐标为（-2，-4），连接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；∴当时，在的范围内，⊙C与直线只有一个交点.综上所述，点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2时，⊙C的半径的取值为：或.点睛：（1）弄清“关系点”本质上就是坐标系中纵坐标是横坐标的2倍的点，即“关系点”都在直线上是解决本题的基础；（2）第3问的本质是：“要求⊙C与直线在-2≤x≤2的范围内只有1个公共点”，而这有两种情形：①⊙C和直线相切时；②⊙C和直线相交，但两个交点中只有1个在-2≤x≤2的范围内，即只有1个交点在图2中线段P2P3上（包括P3，不包括P2），这样两者结合即可解得第3问的答案.21．（1）36；（2）①1；②2；（3）测度面积S的取值范围是18≤S≤.【详解】试题分析：（1）先求出抛物线与直线的交点坐标，再求出抛物线的顶点坐标，然后根据定义进行计算即可得；（2）①根据给出的定义可以求出来；②根据定义可以求出测度面积的最大值为2；（3）因为平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，注意分三种情况讨论.试题解析：（1）解方程组得：，，抛物线y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，根据定义可知图形W中|x1-x2|的最大值为4，|y1-y2|的最大值为9，则S=4×9=36，故答案为36；（2）①当A、B都在x轴上时，如图所示，横坐标差的绝对值的最大值为1，纵坐标差的绝对值的最大值为1，根据定义可知图形的测度面积为1，故答案为1；②如图所示摆放时，图形的测度面积最大，此时横坐标差的绝对值的最大值为，纵坐标差的绝对值的最大值为，根据定义可知图形的测度面积为2，故答案为2；（3）不妨设矩形ABCD的边AB=6，BC=3.由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上.当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图1和图2，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=18.当顶点A，C都不在x轴上时，如图3.过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点G，则可得四边形EFGH是矩形.当点P，Q分别与点A，C重合时，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；当点P，Q分别与点B，D重合时，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.∴图形W的测度面积S=EF·GF.∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°.∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°.∴∠BAE=∠CBF.又∵∠AEB=∠BFC=90°，∴△ABE∽△BCF.∴.设AE=2a，EB=2b（a>0，b>0），则BF=a，FC=b，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.∴4a2+4b2=36.即a2+b2=9.∵b>0，∴b=易证△ABE≌△CDG.

∴CG=AE=2a.∴EF=EB+BF=2b+a，GF=FC+CG=b+2a.∴S=EF·GF=（2b+a）（b+2a）=2a2+2b2+5ab=18+5a=18+5=18+5=18+5∴当a2=，即a=时，测度面积S取得最大值18+5×=.∵a>0，b>0，∴.∴S>18.∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为l8<S≤.综上所述，测度面积S的取值范围是18≤S≤.【点睛】本题考查了新定义题，读懂题意，能够根据题意画出图形，求出相关的数据是解题的关键.22．（1）①90，60；②本题答案不唯一，如：B(0，2)；（3）.【详解】试题分析：（1）由题意可知，点P关于⊙O的“视角”是指从点P引出两条射线，当两条射线和⊙O相切时，两条射线所形成的的夹角就是点P关于⊙O的“视角”；直线关于⊙O的“视角”是指当直线与⊙O相离时，直线上的点Q距离圆心O最近时，点Q关于⊙O的“视角”就是直线关于⊙O的“视角”；由此可根据已知条件解答第一问；（2）①由题意可知，若直线l关于⊙C的“视角”为60°，则说明在直线上存在一点P距离点C最近，且点P关于⊙C的“视角”为60°，则此时点P是与以点C为圆心，2为半径的圆相切的切点，如图1，过点C作CH⊥轴于点H，PE⊥轴于点E，由已知分析可得DP=DH=，∠PDE=60°，在△PDE中可求得DE和PE的长，得到点P的坐标，把P、D的坐标代入直线的解析式可求得k的值；②如图2，由已知易得直线与轴相交于点A（-1，0），与轴相交于点B（0，），若此时直线关于⊙C的视角∠EPF=120°，由已知条件求得OC的长，可得点C的坐标；如图3，当沿着轴向左移动时，直线关于⊙C的视角会变大，当直线和⊙C相切于点P时，由已知条件可求得OC的长，可得此时点C的坐标；综合起来可得的取值范围.试题解析：（1）①如下图，当点A的坐标为（1，1）时，易得点A关于⊙O的视角为90°；∵直线y=2上距离圆心O最近的点是直线y=2与y轴的交点P，过点P作⊙O的两条切线PC、PD，切点为C、D，则直线y=2关于⊙O的视角是∠CPD，连接OD，由已知条件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直线y=2关于⊙O的视角为60°.②由①中第2小问可知，满足条件的点B在以O为圆心，2为半径的圆上，这样的点很多，比如说点B（0，2）.（2）①∵直线l:y=kx+b（k>0）经过点D（，0），∴.∴.∴直线l:.设点P在直线上，若点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．∵直线l关于⊙C的“视角”为60°，∴此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点.∴CP⊥直线l.即直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作过点C作CH⊥轴于点H，PE⊥轴于点E，∴点H的坐标为（1，0），又∵点D的坐标为，∴DH==PD．∴tan∠CDH=，∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，∴DE=PDcos60°=，PE=PDsin60°=3，∴OE=DH-DE-OH=，∴点P的坐标（，3）．把点P的坐标代入l:，解得：k=．②如图2，由已知易得直线与轴相交于点A（-1，0），与轴相交于点B（0，），若此时直线关于⊙C的视角∠EPF=120°，则∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，∴PC=，AC=，∴OC=AC-OA=，∴此时=；如图3，当沿着轴向左移动时，直线关于⊙C的视角会变大，当直线和⊙C相切于点P时，连接CP，∵在△ABO中，AO=1，BO=，∴tan∠BAO=，∴∠BAO=60°，∴AC=，∴OC=AC-OA=，∴此时=，综上所述，的取值范围为：.点睛：解这道题的基础是弄懂两个定义的本质，（1）圆外一点关于圆的视角就是：“过圆外一点向圆引两条切线，这两条切线的夹角就是这个点关于这个圆的视角”；（2）当直线和圆相离时，这条直线关于这个圆的视角就是“过圆心向这条直线作垂线，垂足关于这个圆的视角就是这条直线关于这个圆的视角”.23．（1）①D、E②证明见解析；③0≤d≤3且d≠1

④0≤x≤3；(2)0≤x≤9【详解】试题分析：（1）由相邻点的定义可知：在圆C内的点必为相邻点，在圆C外的点必须满足，2AB2=PC2-1，其中A为PB的中点，且AB≤2，所以若半径为1的圆C有相邻点P，则PC的长必须满足0≤PC≤3且PC≠1，分别求出D、E、F到⊙O的距离即可判断．求出直线y=-x+3与坐标轴的交点坐标分别为（0，3）和（3，0），根据（1）问中结论可知，P的横坐标的取值范围是：0≤x≤3；（2）根据（1）问中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因为点P在线段MN上移动，所以点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，再根据点C在x轴上，即可得出C的横坐标取值范围．试题解析：（1）由定义可知，当点P在⊙C内时，由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，此时，0≤PC＜1；当点P在⊙C外时，设点A是PB的中点，连接PC交⊙C于点M，延长PC交⊙C于点N，连接AM，BN，∵∠AMP+∠NMA=180°，∠B+∠NMA=180°，∴∠AMP=∠B，∵∠P=∠P，∴△AMP∽△NBP，∴，∴PA•PB=PM•PN，∵点A是PB的中点，∴AB=PA，又∵⊙C的半径为1，∴2AB2=（PC-CM）（PC+CN），∴2AB2=PC2-1，又∵AB是⊙C的弦，∴AB≤2，∴2AB2≤8，∴PC2-1≤8，∴PC2≤9，∴PC≤3，∵点P在⊙C外，∴PC＞1，∴1＜PC≤3，当点P在⊙C上时，此时PC=1，但不符合题意，综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；①∵D（，），∴DO=，∵E（0，-），∴OE=，∵F（4，0），∴OF=4，∴D和E是⊙O的相邻点；②连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点；③令x=0代入y=-x+3，∴y=3，令y=0代入y=-x+3，∴x=3，∴y=-x+3与坐标轴的交点为（0，3）和（3，0）∵由于点P在直线y=-x+3上，且点P是⊙O的相邻点，∴0≤PO≤3，且PO≠1又∵点P在⊙O外，∴1＜PO≤3，∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；（2）令x=0代入y=-x+2，∴y=2，∴N（0，2），令y=0代入y=-x+2，∴x=6，∴M（6，0），∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，∴0≤PC≤3且PC≠1，∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，∵点C在x轴上，∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）.【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【详解】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．25．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接OD，由OD=OA，可得∠1=∠2，再由BC为⊙O的切线，根据切线的性质可得∠ODB=90°，已知∠C