线性代数课件第42讲向量空间

第42线性代数59主讲 大 教 April April第42高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（高等数学138讲（优酷网线性代数59讲（优酷网考研题评讲 传课 : @ April第42 及线性代数59讲受 各地大学生的欢。件 课程的 的著作权，切勿在网 课件。谢谢(联 April第42讲向量空间和《线性代数和《线性代数请在优酷网搜索我观看我的《高等数学：：+ April第42 April第42我们曾经把一n维向量(x1xn 大 n{(x,...,x)|x,..., 。下面给出一般的向量。湛 April第42定义6(向量空间 设V 若集合V对于向量的线性运算封闭abVabV,λa 大因为若a∈V，则0a=0∈V。从而，不含零向量的集合一定不是向量空间 April例1判定下列集合是否为向量空间：第42V1(1xn1,0)|x1,...,xn1 V2{(x1,...,xn1,1)|x1,...,xn1 解(x1xn10),(y1,...,yn10(1xn10)y1,...,yn1 大(1y1,...,xn1yn1,0)λ(1xn1,0)(λx1,...,λxn1,0)所以V1是向量空间因为V2不包含零向量，它不是向量空间 April第42V1(1xn1,0)|x1,...,xn1 大注：V1相当于n-1维 间大n1{(x,..., )|x,..., April

第42 S{x(x,...,x)T|Ax

April第42 齐次线性方程组Ax=b的解S{x(x,...,x)T|Ax 对于向量的线性运算不封闭 大也可以用S不含零向量(零解)说明它量空间A00

April第42 April设有一n维向量a1

第42它们的一切线性组合的集合记为L{λ1a1...λmam|λ1,...,λm 大L中两个元素大xλ1a1...yμ1a1...

April第42L{xλ1a1...λmam|λ1,...,λm 大xλ1a1...λmam，yμ1a1...xy(λ1a1...λmam)(μ1a1...μmam(λ1μ1)a1...(λmμm)amLkxk(λ1a1...λma) k11...kλmam April设有一组n维向量a1,...,

第42L{λ1a1...λmam|λ1,...,λm 是一个向量空间称L是由这组向量生成的向量空 大L(a1,...,am){λ1a1...λmam|λ1,...,λm 或Span(a1am April例如

第42 n，可由以下基本单位向量生成e1,,...,0),e2(,,0,,en(,,)L(1,,){x1e1...xnen|x1,...,xn {(x,...,x)|x,...,x

April第42设向量a1am可由向量b1bl线性表示，则L(a1amL1,...,l)事实上，xL(a1,...,am 大xa1am线性表示a1am又能b1bl线性表示最终，xb1bl线性表示所 xL1,...,l所以L(a1amL1,...,l

April第42设向量a1am可由向量b1bl线性表示，则L(a1amL1,...,l)命 设向量组a1,…,am与向量组b1,…,等价(即它们能互相线性表示)L(a1,...,am)L1,...,l。即，等价向量组生成相同的向量空 。 April第42 April(Vr个向a1ara1ar线性无

第42V中任一向量a1ar线性表（等价于V可由这组向量生成a1ar是向量空V的一个基r称为V的维数(dimension)，记作dimV，此时称V为r 为0。 April第42根据定义，向量空V的基就V的一个极大无关组，V的维数就是极大无关组的n中的任何含有非零向量的向量空间a1ar是向量空V的一个基可由这个基生成 大 April第42例如，向量空 n可由以下n个基本单向量生成 大e1,,...,0),e2(,,0,,en(,,)n{xexe...xe|x,x,...,x 1 大所以 n是n维向量空间大 April第42mxnAR(Ar则齐次线性方程Ax0的一个基础解 方程组的解空间由这组基生成S{cξ...

|c,...,

大

：dimSn

April第42定义8(向量在一个基中的坐标a1ar是向量空V的一个基Vxxλ1a1 大称1是向xa1ar中的坐标 April第42例如 n中取单位坐标向量e1,,...,0),e2(,,0,,en(,,)x(1,x2,...,xn)x1e1

...即向x在基e

大

的坐称 n的自然基

April第421

同济五 例大2 2 大a2,a1,a2

1 4b0,b3

2 2 4 2 验证a1,a2,a3 3的一个基 大并求向量b1,b2在这个基中的坐大 April2 2 a2,a1,a2

第42

2 2 221212222解验证a1,a2,2212122221,2a1,a2,a3线性无关，而dim 3=所以a1,a2,a3是 3的一个基。

27April2 2 a2,a1,a2

第421 4b0,b3

2 2 4 2 求b1,b2在这个基中的坐标大 b1x11a1x21a2bxaxax x12

B (b,b)(a,a,a) 22 大 32

XApril2 2 a2,a1,a2

第421 4b0,b3

2 2

4 2

B X 用第28讲的方 65页解矩阵方程大 21 4(a,a,ab,b)2

1 2 242 April 2 第(a,a,ab,b)2

3 大 242 36218 0 7 6 2 2 23 1 6 30

23 2 0 23 April 21 4

第2

3

0 242

0 20 1 2

0 1 2 1023

1023 20 2

00234001

2

1002

4 01023 01023 001 20001 2

21 4第42(a,a,ab,b)2

3 大

242100234

23401023 b, 1 3 01 2

2b2a2a

大2b a2 3 3

3

3

April第422 43(bba,a,a)2 大 2b2a2a b4aa 3 3 3 3b1和b2在这个基中的坐标分别是(2 , ,1)

April第42 April 3有两个基a1,a2,a3和b1,b2,b3

第42b1b2b3a1a2a3中的坐标分别是(p11,p21,p31),(p12,p22,p32),(p13,p23,p11b1p11a1p21a2

(a,a,a) 21大 31川Aprilp川Aprilb2p12a1p22a2p32

(a,

,a)

22p p 32p11

第42p12b(a,a,a)

b(a,a,a) 21

22

31

32p12b3p13a1

pa(a,a,a) 四 四

22 33 April第42 (a,a,a)

(a,a,a) 21

22

31

p13

32 aaa 大

23p p 33 p13(b1,b2

,

)(a1,a

,a3

p

p23 p p32 p

April第42b1b2b3a1a2a3中的坐标分别是(p11,p21,p31),(p12,p22,p32),(p13,p23, p13 大(b,b,b)(a,a,a) 23 33称矩P=(pij是从旧a1a2a3到新 April第42 p13(b,b,baaa) 大 23 33称矩P=(pij是从旧a1a2a3到新(b1,b2,b3)(a1,a2,a3)P B过渡矩阵PA1B川大 April(b,b,b)(a,a,a

B

第42 设向在旧xa1a2a3中的坐标(y1,y2,在新b1b2b3中的坐标(z1z2z3)y1

z1 大x(a,a,a)

(b,b,b)z yz yzy1

3z1

3

y1 z1AyBz

yPz 2 2

川大 2 2y z

y zAPzzAPzz1z23

3 3Aprily1

第42x(a,a,a)y(b,b,b)z

2y

2z 3 3y1 z1yPz 2 2 新坐标到旧坐标的变 3 3z1 y1zP1y

大旧坐标到新坐标的变 湛大2 2 3 3

April第42以上内容可以推广到 April例2已知 3的两个基 1 1 1

第422 3a1, 0,a0 b2,b3,b4

1 1 4 3 a1a2a3b1b2b3的过渡矩设向量x在基a1,a2,a3中的坐标是(2,1,3)，求x在基b1,b2,b3中的坐标。 April 1 1

1

第422 3a1,a0,a0

b2,b3,b4

(1)求由a1a2a3b1b2b3的过渡矩阵P。(1,2,b3)(a1,a2,a3)P B P解矩阵方程AX11112 (A,B) 00234 大 11143

April第4211112 123(A,B) 00234011111 大 111143 02 020

40111

111 1 2202

1101 4

40

0 010 0 110

1101 April 1112(A,1112(A,B)0023

第42 404 0100 111143

110a1a2a3b1b2b3的过渡矩阵 4P 1 0

April第42a1a2a3b1b2b3的过渡矩阵 4

4P 1 0 (b,b,b)(a,a,a) 10

1 (2)设向xa1a2a3中的坐标(2,1,xb1b2b3中的坐标2

2 z1x(a,a,a)1

(b,b,b)P11(b,b,b)z 33

33

2z z3 April 4

第42(b,b,ba,a,a)0 10 大 2

1

2

z1x(a,a,a)1

(b,b,b)P11

(b,b,b)z 33

33

2z z3z1

z1

zP11

解线性方程组 Pz12

2 z 3

3

z3 3April 4

z1

第42(b,b,b)(a,a,a)0

10

zP11 1

z 3解线性方程组

z1 2P P 2

3 z3 z33 2 (P,y) 1 1 13 1 1

April第42 2 8 (P,y) 1 1 13

1 1 1112 大 1

1 13

1

112 1

2

172

April 2

第42112(P,y) 1 1 13 172

172

E,P1y

E,z 112172

xb1b2四x(b,b,b) 四

中的坐标

112

,

April

第42例3在 3中，由基a1,a2,a3到2 1 2b0,b3,b1

大 2 1 的过渡矩阵P

4，求出a1a2a30 0

大

April第422 1 2a1a2a3

b0,

3,

1231 231 大 的过渡