2022届北京海淀高三下学期一模考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数二满足（l-i）z=-l+2，，则②=（）

AV21t3「Mn1

2222

2.抛物线y2=2x的焦点为p,则经过点产与点M（2,2）且与抛物线的准线相切的圆的个数有（）

A.1个B.2个C.0个D.无数个

3.如图示，三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ZACB=90°,S.PA=PB=AB=y/2>PC=道,

则PC与面Q48所成角的正弦值等于（）

C也D^2

33

4.已知等差数列｛a,J,贝!）“a2>ai”是“数列｛a“｝为单调递增数歹!]”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.若数列｛4｝满足勾=15且34,川=34-2,则使4-《+1<0的％的值为（）

A.21B.22C.23D.24

6.已知复数二满足：（l+i）（z-1）=1-i,贝!h的共轨复数为（）

A・1—2iB.l+iC.-1+iD.l+2z

7.设“2.71828...为自然对数的底数，函数〃力=/-0-*-1,若/（〃）=1,贝!|/（一〃）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（)

/0

H—2—Hh—2—H

正住）视图颤左）视图

8

A.8B.-C.8+20D.8+4友

22

9.已知椭圆。:一^—+与=1,直线《：“x+y+3机=0与直线/2：x-sy-3=0相交于点/>,且P点在椭圆内恒成立,

a'+9a-

则椭圆C的离心率取值范围为（）

10.已知在AABC中，角A氏C的对边分别为a也c,若函数/（x）=+；加+；（/+/一砒卜存在极值，则

角8的取值范围是（）

11.已知集合4={-1,0,1,2},B={H（X+1）（X—2）<0},则集合ACB的真子集的个数是（）

A.8B.7C.4D.3

12.一艘海轮从4处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达5处，在C处有一

座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在8处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C两点间的距

A.6近海里B.海里C.8页海里D.86海里

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

24

13.直线〃a+几、-2=0(m>0,〃>0)过圆C：一+,2一2%一2y一1=。的圆心，则一十一的最小值是.

mn

2,x>2,

14.已知函数f(x)=｛x若关于x的方程f(x)=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是.

(A—1)3,0<X<2,

15.记复数z=a+〃(i为虚数单位)的共轨复数为彳=。一次(a，bwR),已知z=2+i,则/=.

16.已知R为抛物线C：>2=4》的焦点，过厂作两条互相垂直的直线4,《，直线4与。交于A、3两点，直线4

与C交于D、E两点，则+目的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

vr

17.(12分)已知椭圆3+忘=1(">。>0),上、下顶点分别是A、B,上、下焦点分别是4、F2,焦距为2,

点(|,1)在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若。为椭圆上异于A、B的动点，过A作与x轴平行的直线/，直线QB与/交于点S,直线工5与直线AQ交

于点P,判断NSPQ是否为定值，说明理由.

18.(12分)已知aeR,函数/(x)=ln(x+l)-%2+ar+2.

(1)若函数/(x)在［2,”)上为减函数，求实数。的取值范围；

(2)求证：对上的任意两个实数X1,总有了15%+§工2)»§/(芯)+§/(々)成立.

19.(12分)已知函数/(x)=d一区+。仙］(。>0，beR).

(1)设。=a+2,若f(x)存在两个极值点芭，々，且|百一百>1，求证：|/(百)一/(工2)>3-41n2；

(2)设g(x)=4(x),g(x)在［l,e］不单调，且2b+，W4e恒成立，求。的取值范围.(e为自然对数的底数).

a

7

20.(12分)已知公比为正数的等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,且q=2,S3=-.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设仇=⑵?；)%,求数列也｝的前〃项和J

/、

21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P（O,-1）,直线/的参数方程为1x=,tcos.a（，为参数），以坐标原点为

y--\+tsina

极点，以*轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为。+pcos2e=8si〃9.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线C相交于不同的两点A5,例是线段的中点，当|PM|=⑶时，求s让z的值.

22.（10分）已知数列｛4｝和｛b,,｝,｛%｝前〃项和为S“，且S,=1+〃，也｝是各项均为正数的等比数列，且4=*，

,,,31

4+/+4=石・

（1）求数列｛4｝和他｝的通项公式；

⑵求数列｛%-44｝的前〃项和T,.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解.

【详解】

—1+2/(—1+2z)(l+z)31.

解：由(l—z)z=—l+2i,得2=----1--z,

1-z(l-z)(l+z)22

•••同=同=Vio

故选C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

【解析】

圆心在FM的中垂线上，经过点F,M且与/相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点厂的距离相等，圆心在抛物线

上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆.

【详解】

因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上，

又焦点F(；,0),

由抛物线的定义知，过点F、M且与/相切的圆的圆心即为线段F7M的垂直平分线与抛物线的交点，

这样的交点共有2个，

故过点尸、M且与/相切的圆的不同情况种数是2种.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上.

3.A

【解析】

首先找出PC与面248所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系

求出所成角的正弦值.

【详解】

由题知△A6C是等腰直角三角形且ZACB=90°,△ASP是等边三角形，

设4B中点为。，连接P。，CO,可知尸。=如，CO=也,

22

同时易知A3_LP0,ABA.CO,

所以AB上面POC,故ZPOC即为PC与面所成角,

PO2+CO2-PC22V2

有cos/POC=

2PoeO

故sinZPOC-Vl-cosZPOC--.

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.

4.C

【解析】

试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：在等差数列｛an｝中，若a2>ai,则d>0,即数列｛a,,｝为单调递增数列，

若数列｛a0｝为单调递增数列，则a2>a”成立，

即“az>ai”是“数列｛a“｝为单调递增数列”充分必要条件，

故选C.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

5.C

【解析】

因为%-所2以仅“｝是等差数列，且公差〃=—卞24=15,贝！|4=15—(2(〃―1)=一：2〃+4:7，所

2472454547

以由题设4•《MV。可得(―5〃+?)(—?〃+与)<0=£<〃<孩，贝!1〃=23,应选答案C.

6.B

【解析】

转化(l+i)(z—l)=l-i,为z—l=g,利用复数的除法化简，即得解

【详解】

复数Z满足：(1+O(Z-1)=1-/

所以z_i=Ei=9@=T

1+z2

=>Z=1-z

z=l+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.

7.D

【解析】

利用/（a）与的关系，求得/（-。）的值.

【详解】

依题意“a）=e"—e-"-l=l,e"—H"=2,

所以/（—。）—0一"—e"—1=―卜"—e"j—1=—2—1=—3

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

8.D

【解析】

根据三视图还原几何体为四棱锥，即可求出几何体的表面积.

【详解】

由三视图知几何体是四棱锥，如图，

且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，四棱锥的底面是正方形,边长为2,棱锥的高为2,

所以S=2x2+2x—x2x2+2x—x2x2\/2=8+4,V2,

22

故选：D

【点睛】

本题主要考查了由三视图还原几何体，棱锥表面积的计算，考查了学生的运算能力，属于中档题.

9.A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线4,4过椭圆的焦点.然后判断出4，4,判断出P点的轨迹方程，根据户恒在椭圆内

列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.

【详解】

设耳（一c,0）,鸟（c,0）是椭圆的焦点，所以。2=/+9-/=9,c=3.直线4过点耳（一3,0）,直线6过点6（3,0）,由

于〃zxl+lx(—m)=0,所以所以P点的轨迹是以耳，K为直径的圆V+y2=9.由于P点在椭圆内恒成立,

所以椭圆的短轴大于3,即/H=9,所以/+9>18,所以双曲线的离心率/二心十,

,所以

2

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

10.C

【解析】

求出导函数f(x),由/'(x)=O有不等的两实根，即/>0可得不等关系，然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结

论.

【详解】

,:.f(x)——1(a~+c~-ac)x,f\x)=x?+hx+—^ci~+c~-ac)♦

若小)存在极值，则从一叼伞+〜如。-»一<4

又cos3=0二

lac23

故选：C.

【点睛】

本题考查导数与极值，考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.

11.D

【解析】

转化条件得An8={0,1},利用元素个数为n的集合真子集个数为2"-1个即可得解.

【详解】

由题意得8={XKX+1)(X-2)<0}={X[T<X<2},

ADB={0,l},.•.集合AflB的真子集的个数为22-1=3个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.

12.A

【解析】

先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合A8可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZACD=110°,AZ4CB=110°-65°=45°,

：.ZABC=180°-30°-45°=105°.又AB=24x0.5=12.

12_BC

即也一1，：,BC=6日

T2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3+272;

【解析】

求出圆心坐标，代入直线方程得牡〃的关系，再由基本不等式求得题中最小值.

【详解】

圆C：f+y2—2x—2y—1=0的标准方程为(x—l『+(y—1)2=3,圆心为

由题意他+〃一2=0,即m+〃=2,

-=3+272,当且仅当网=',即

/.—+-=(—+-)(m+«)=3+—+—>3+2,

mnmnnm

m=2(72-1),»=2(2-V2)时等号成立，

故答案为：3+2后.

【点睛】

本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，"1”的代换法求最小值，目的是凑

配出基本不等式中所需的“定值，，.

14.回

【解析】

由图可知，当直线y=kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y=kx与y=f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两

个不相同的实根.

15.3-4/

【解析】

计算得到z2=(2+i)2=3+41,再计算我得到答案.

【详解】

•：z=2+i,：4=(2+i)占3+4i,则］=3_41

故答案为:3-4Z.

【点睛】

本题考查了复数的运算，共辅复数，意在考查学生的计算能力.

16.16.

【解析】

由题意可知抛物线C：V=4x的焦点F:(l,0),准线为x=—1

设直线4的解析式为y=%(x-i)

•直线44互相垂直

的斜率为-：

与抛物线的方程联立｛）；"T）,消去y得k2x2—（2父+4）x+公=0

/=4%'，

设点A（x1,y）,3（程%）,C（&,%），。（如为）

2公+42^+4

由跟与系数的关系得看+光2='一2，同理/+》4=号一

•.•根据抛物线的性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离

**.|AS|=玉+1+%,+1,同理|DE^=退+1+Z+1

22二+4

.•.朋+1Z）E|=2）：4+4—+4=8+2+4公28+2A/4^4=16,当且仅当代=i时取等号.

故答案为16

点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离

转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题

的重要途径；（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(1)工+三=1；(2)NSPQ/,理由见解析.

432

【解析】

（1）求出椭圆的上、下焦点坐标，利用椭圆的定义求得”的值，进而可求得。的值，由此可得出椭圆的方程；

（2）设点。的坐标为（%”%）（%。0）,求出直线8。的方程，求出点S的坐标，由此计算出直线AQ和F2s的斜率,

可计算出砥。•即2s的值，进而可求得NSPQ的值，即可得出结论.

【详解】

（1）由题意可知，椭圆的上焦点为耳（0』）、6（。,一1）,

由椭圆的定义可得2a=J（|j+2?+J]|J+°?=4，可得。=2，.•2=C^i=&，

22

因此，所求椭圆的方程为二+土=1;

43

2242

（2）设点。的坐标为（Xo,%）（玉尸0），则v£+申=1,得y；=4-十,

所以，kh,二，。一23（%+2）3（/_4）一飞"X3二],-.AQ1F.S,

AQ雁飞4/4x；4片

TT

因此，4SPQ气.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中定值问题的求解，考查计算能力，属于中等题.

18.（1）（一00，，（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导函数，依题意可得/'（x）＜0在xe[2,+。。）上恒成立，参变分离得。42x-±在xe[2,+。。）上

恒成立.设〃（x）=2x-——,求出A（x）即可得到参数的取值范围；

x+1min

（\2^121

xxx

⑵不妨设一1＜玉4工2，=f\-+-2\--fM--f（2^XG（-1,X2],

利用导数说明函数b(x)在xe(-1,々］上是减函数，即可得证;

【详解】

解：(1)V/(x)=ln(x+V)-X1+ax+2

：.f'(x)=-^-2x+a,且函数f(x)在［2,”)上为减函数，即f(x)WO在xw［2,yo)上恒成立,

/.a<2x---彳在xe［2,+00)上恒成立.设/?(%)=2x------,

•.•函数/2(外在［2,+8)上单调递增，.・.〃(幻,向=〃(2)=4-；=?,

二.•.实数。的取值范围为I-8,日.

(12)12

(2)不妨设一1<玉5，F(x)=f\-x+-x2\-^f(x)-^fM>X«T闯,

则尸(w)=/(w)-〃％)=0,

"⑴f’(**>*)*停+河5幻

12222、八12

；_XH—X-X=—XH—x1=一Z(-x)N0,一x-\—x、Nx,

333-33-3、J33-

又小)=+-2/，令g(m.g'吁，-2<0,

.../'(X)在xe(-1,+00)上为减函数，二/'(gx+gw]V/'(x)，

1「门2、~|,

**•-fr~X+~X2一/'(天)40，即歹⑶4。，

J\D3)

.•.?(%)在%€(—1,々]上是减函数，，尸。)之尸(々)=0,即尸(x)N0,

二/(gx+'|x2)_g/(X)__|/(x2)N0，

.•.当xe(-l闻时，/序+产卜尸⑶+丁/⑸.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

e2—Je4-8ee~+Je4-8e

19.(1)证明见解析；(2)

~~4'4

【解析】

2

⑴先求出/'(x),又由旧一口＞1可判断出了(X)在1,-上单调递减，故王)一=吗一1,令

/=|＞2,记〃(。=/一2"nf—1,利用导数求出〃(f)的最小值即可；

(2)由g(x)在［l,e］上不单调转化为g'(x)=O在(l,e)上有解，可得劝=+",令

X

F(x)=3x+竺詈+：,分类讨论求尸(x)的最大值，再求解外耳皿W4e即可.

【详解】

2

(1)已知〃=。+2(。＞0),/(x)=X-bx-\-a\nx9

f'(x)=2x-b+-=d)(2・"),

XX

由r(x)=o可得芭=1,%2=p

又由后一到＞1,知|"〉2

・•・/(x)在1,-|上单调递减,

令1='|'>2,记/?«)="-2Hnr-l,则〃'«)=2r-21nr-2

.•/"«)=2-7=”/>07/(f)在(2,+8)上单调递增；

.•.”«)>〃'(2)=2(l-ln2)>0,〃⑺在(2,+oo)上单调递增；

/z(0>/?(2)=3-41n2>0,

.•"a)-/a)|>3-41n2

(2)(x)=x3-bx2+oxInx,gr(x)=3x2-2bx-^a］nx+a,

・・・g(x)在［Le］上不单调,

g'(x)在(l,e)上有正有负，g'(x)=0在(1,e)上有解,

2

〜3x+a\nx+aZ1、

・•・2b=------------------,xG(1,e),

X

•・•2。+—44e恒成立,

a

2

记/(4)=30+如+4如*+2,,贝=3x-a\nx3Inx

2

xaXax

、Inx.,、l-21nx

记G(x)=―2~9..G(x)=-----—f

，G(x)在(1,4)上单调增，在(五,e)上单调减.

GOOmax=G(〃)=}

2e

于是知

31

(i)当即aW6e时，F(x)2O恒成立，尸(x)在(l,e)上单调增,

。1

:.F(e}=3e+-+-<4e,

ea

c22/八-Je4—8e/+Je4-8e

2a--e2a+e<0>---------------<a<---------------

44

(n)当。＞6e时,

3。]36e

/(五)=3&+1厂H—>3\[e+=12>fe>4e,故不满足题意.

e-Je-8ee+Je-8e

综上所述，ae---------------,----------------

44

【点睛】

本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.

W-1

|⑵(=6—(2“+3)]£|

20.(1)an

【解析】

(1)判断公比q不为1,运用等比数列的求和公式，解方程可得公比必进而得到所求通项公式;

(2)求得勿=红产仝=(2〃-,运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所

求和.

【详解】

7

解：⑴设公比夕为正数的等比数列{叫的前〃项和为s“，且囚=2,邑=万，

7

可得4=1时，S3=3a]=6^-,不成立；

当时，邑=2(j)=工,即/+q+i=二，

3\-q24

13

解得4(-77舍去)，

22

(\丫t2

则…QJ=(Q1JY-5

⑵%=(2〃[I*.

前"项和7；=，+3.-J+5--J+・・・+(2〃-1).-J

+3.出+5,出+...+(2„-1).^,

两式相减可中,=1+20+出+出+…+({)

/[\w->

化简可得北=6—(2〃+3〉--

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档

题.

,4

21.(1)x2=4y；(2)y.

【解析】

(1)在已知极坐标方程两边同时