2022届甘肃省甘谷县高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合中含有的元素个数为（）

A.4B.6C.8D.12

2.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）

1234

A.-B.一C.-D.一

5555

3.已知函数f（x）=log“（|x-2|-a）（a＞0,且。工1）,则“/（知在（3,物）上是单调函数”是“0＜、＜1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.如果。＜a＜0,那么下列不等式成立的是（）

A.Iog2\t\<log2\a\

C.b3>a3D.ab<b2

5.E.

5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足?-叫=^lgU，其中星等为

2E,

””的星的亮度为&*=1,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1C.IglO.lD.1O-10-1

6.曲线y无3+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

2tanJC

7.关于函数/•（》）=------+cos2x,下列说法正确的是（）

l+tan~x

A.函数/（x）的定义域为R

3n7t

B.函数/（x）一个递增区间为一h，工

OO_

C.函数/（X）的图像关于直线x=£对称

O

D.将函数y=0sin2x图像向左平移［个单位可得函数y=/U）的图像

O

8.已知M是函数f（x）=lnx图象上的一点，过“作圆/+,2一23；=0的两条切线，切点分别为A,5,则位.福

的最小值为（）

sB

A.20—3B.-1C.0D.——3

2

9.在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若%4=3,贝!jlog34+log3a2+…+1og34o=（）

A.l+log35B.6C.4D.5

22

10.已知双曲线。:=一［=1（。＞0,。＞0）的左、右顶点分别为4、4,点P是双曲线C上与A、4不重合的动点,

ab~

若即AM&=3,则双曲线的离心率为（）

A.0B.6C.4D.2

11.已知i为虚数单位，若复数z=14E-21+l,贝-！lz=

2-1

9

A・g+iB.1—i

C.1+iD.-i

12.已知点A（X［,y）,8（%,%）是函数/（》）=小6+反2的函数图像上的任意两点，且y=/（x）在点

（笠殳，/（土产））处的切线与直线43平行，贝u（）

A.。=0,8为任意非零实数B.b=Q,。为任意非零实数

C.“、6均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知｛%｝为等比数列，S”是它的前〃项和.若%%=2勾，且4与2%的等差中项为彳，贝ijSs=.

14.已知复数zi=l-2i,Z2=a+2,・（其中i是虚数单位，aGR）,若zi・Z2是纯虚数，则a的值为.

15.已知x,y为正实数，且孙+2x+4y=41,则尤+y的最小值为.

16.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的

成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在［250,400）内的学生共有一人.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，四棱锥P—ABCD中，PAl^ABCD,AB=BC=2,CD=AD=@，ZABC=UQ0.

（I）证明：BD上PC；

（II）若"是PZ）中点，与平面Q钻所成的角的正弦值为铤，求Q4的长.

10

18.（12分）已知在二二二二中，角二，二，二的对边分别为二，二，二，且学+学=三等.

（1）求二的值；

（2）若cos二+、3sm二=二求二+二的取值范围.

1

x=—m

2

19.（12分）已知在平面直角坐标系反少中，直线/的参数方程为,（用为参数），以坐标原点为极点，x轴

6

y=——m

2

<2AT2、

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为"2-2〃COS8-2=0,点A的极坐标为——.

（1）求直线/的极坐标方程；

（2）若直线/与曲线C交于8,C两点，求AABC的面积.

20.（12分）已知数列｛为｝的各项均为正数，S”为其前〃项和，对于任意的〃满足关系式2s“=34-3.

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（2）设数列｛%｝的通项公式是2=0j]ogJ，前〃项和为了“，求证：对于任意的正数"，总有（<].

21.（12分）在平面直角坐标系无中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

f.6

x=-2+—t

为0=2sine+2acos6（a>O）；直线/的参数方程为2C为参数）,直线/与曲线C分别交于M,N

Iy=——2t

两点.

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；

（2）若点P的极坐标为（2,%）,|+|PN|=50,求。的值.

22.（10分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米〃卜时、120千米

/小时、600千米/小时，每千年的运费分别为20元、1（）元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为，〃元（相>0）,

运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为y（元）、

%（元”为（元）•

（1）请分别写出%、%、%的表达式；

（2）试确定使用哪种运输工具总费用最省.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

解：因为｛¥6乂=1€21集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B

2.C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为C；=1(),再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为C；=1(),

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数+C；=4,

10-43

...6和28不在同一组的概率P=-----

105

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

3.C

【解析】

先求出复合函数f(x)在(3,+0。)上是单调函数的充要条件，再看其和0<。<1的包含关系，利用集合间包含关系与充

要条件之间的关系，判断正确答案.

【详解】

y(x)=logfl(IX-21-«)(«>0,且aHl),

由1x—2]—ci>0得x<2—ci或无>2+a,

即/(x)的定义域为｛x|x<2-。或x>2+a｝,(a>0,且awl)

令f=|x-2|—a,其在(7,2-a)单调递减，(2+a,+a))单调递增，

2+。<3

/*)在(3,+8)上是单调函数，其充要条件为a>0

a。1

即0<a<1.

故选：c.

【点睛】

本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.

4.D

【解析】

利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.

【详解】

1

'''b<a<0)***log2网>log2|tz|,[5)>(耳)，b，<a，,ah<h•

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题.

5.A

【解析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足加2-叫=九寸,令e=-1.45,^=-26.7,

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.

6.A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率％23,即可得出答案.

【详解】

解：由于>=5炉+2此》,根据导数的几何意义得：

A:=/,(x)=x24--=x2+—+—>3d/•—=3(x>0),

XXXjXX

即切线斜率A23,

当且仅当x=l等号成立，

所以y=g/+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

7.B

【解析】

化简到/(x)=3sin(2x+?1,根据定义域排除AC。，计算单调性知3正确，得到答案.

【详解】

/(x)=+cos2x=sin2x+cos2x=\flsin|2x+—\,

-12+ta:n2xI4J

7T

故函数的定义域为+,故A错误；

2

JTJTTCTC

当XE时，2x+—G,函数单调递增，故3正确；

ooJ4|_22_

当犬=一TT:，关于x=7Tg的对称的直线为x=TTg不在定义域内，故c错误.

482

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(x),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

8.C

【解析】

先画出函数图像和圆，可知若设=贝”砺(卜|砺卜弓万，所以

21

MA-MB=\MA^cos2^=2sin^+-T-77；-3,而要求而•福的最小值，只要sin。取得最大值，若设圆

snre

无2+y2-2y=0的圆心为C,贝!!$拘6=而，所以只要|MC|取得最小值，若设M(x,lnx),贝！J

|MC|2=x2+(lnx-l)\然后构造函数g(x)=r+(lnx—境，利用导数求其最小值即可.

【详解】

记圆/+丁一2》=0的圆心为C,设NAMC=8,贝极卜1初回=+^皿。=而，设

M(x,In%),|MC|2=x2+(Inx-1)2,记g(x)=Y+(ln九一1)?,则

12)

g'(x)=2x+2(lnx-l)・一=—(x?+Inx-1),令/?(x)=V+lnx-1,

xx

因为//。)=/+111%-1在(0,+8)上单调递增，且/?⑴=0,所以当0<x<l时，丸(幻〈力⑴=0,g'(x)<0；当%>1

时，/?(x)>/z(l)=0,g'(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,内))上单调递增，所以g(x)mm=g6=2,即

昱,所以荻•砺=|褥12cos26=2sin2e+——-3>0(当sin。=立时等号成立).

|MC|S/2,0<sin^

2sin*2

此题考查的是两个向量的数量积的最小值，利用了导数求解，考查了转化思想和运算能力，属于难题.

9.D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log3al+log3a2+•••+log3aw=log3(a1a2…q。)

5

=log3(a5a6)=51og3(a5a6)=51og33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

10.D

【解析】

22

设p（x。,%），A（-a，O），4（。，0），根据射/"=3可得罪=3片一3/①，再根据又卫一年=1②，由①②可

a~b

得仅2-3a2）片=/伍2—3/）,化简可得c=2a,即可求出离心率.

【详解】

解：设。（毛,%），4（一。，°），4（。,。），

----=3,即此=3片一3a2,①

由①②可得92—3a2)x：=/仅2-3a?),

Vx0手±a,

：.b2-3a2=O,

b2=3a2=c2—a2>

c-2a>

即e=2,

【点睛】

本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题.

11.B

【解析】

e汇l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2,,..但

因为z=丁一+1=c.、+1=------------+1=1+1,所以z=l-i，故选B.

2-1(2-1)(2+1)5

12.A

【解析】

求得了（力的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得a=0,〃为任意非零实数.

【详解】

玉+*2

依题意/'（X）+2bx,y=/(x)在点处的切线与直线A8平行，即有

22

+bxj——bx；

x2-\

+/％+/)，所以">+%)=毒+日，由于对任意与々上式都成立，可得4=0,匕为非

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-11

【解析】

设等比数列｛。“｝的公比为q,根据题意求出小和%的值，进而可求得q和夕的值，利用等比数列求和公式可求得S5的

值.

【详解】

由等比数列的性质可得2%=。2a3=4%，=2,

由于为与2%的等差中项为彳3，则%+2%=/3，则2%=53-%=-/1，...%=—]1，

<73=-=4=*=_]6,

%8”2/

故答案为：一11.

【点睛】

本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.

14.-1

【解析】

。+4=0

由题意z/Z2=a+4+(2-2a)i,令°八即可得解.

2—2。H0

【详解】

"：zi=l-2i,zi=a+2i,

:.zt-z2-(1-2i)(a+2z)=a+4+(2-2a)i,

a+4=0

又Z/Z2是纯虚数,解得:

2—2a*0

故答案为：-L

【点睛】

本题考查了复数的概念和运算，属于基础题.

15.8

【解析】

—2x+41

由X,y为正实数，且肛+2x+4y=41,可知于是y=----------,可得

x+4

-2x+4149

x+y=x+———=(x+4)+---6,再利用基本不等式即可得出结果.

x+4''x+4

【详解】

解：＞为正实数，且冲+2x+4y=41,可知xw-4,

-2x+41

y=

x+4

x+…+Z^=(J+4)+462—一6=8.

-x+4'7x+4V)尤+4

当且仅当x=3时取等号.

x+y的最小值为8.

故答案为：8.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质应用，恰当变形是解题的关键，属于中档题.

16.750

【解析】因为(0.0G+0.001+0.004+二+0.005+0,003)x50=1,得二=0,006,

所以1000X[(0.004+0.006+0,005)X50]=750.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析；(n)卡

【解析】

(I)取AC的中点。，连接由AB=BC,4。=8,得8,0,。三点共线，且AC_LBD,又B£>_LQ4,

再利用线面垂直的判定定理证明.

(II)设B4=x,则依=6+4,PD=dW+7,在底面ABC。中，BD=3,在△「瓶中，由余弦定理得：

PB1=BM2+一2•酬•PM.cos"MB，在ADBM中，由余弦定理得

DB?=+DM2-2-BM-DM-cosN〃啰，两式相加求得8"=f"，再过。作，54,则。〃，

DH

平面2钻，即点。到平面Q46的距离，由"是PO中点，得到M到平面的距离一，然后根据与平面

2

RW所成的角的正弦值为速求解.

10

【详解】

(I)取AC的中点O,连接。8,0。，

由AB=BC,AD=CD,得三点共线，

且ACLBZ),又BD工PA,AC^PA=A,

所以30,平面PAC,

所以BD上PC.

(H)设PA=x,PB=G+4,/7)=&+7,

在底面ABC。中，BD=3,

在APBM中，由余弦定理得：PB2=BM2+PM2-2-BM-PM-cosAPMB，

在ADBM中，由余弦定理得如2=BM2+DM2_2.BM-DM-cos/DMB，

两式相加得：DB2+PB2=2BM2+2DM"，

BM=

过。作E>”_L84,则。〃_L平面Q48,

即点。到平面PAB的距离DH=BD-sin60。=巫

2

因为加是「。中点，所以为M到平面Q46的距离”=也=3叵

24

因为BM与平面245所成的角的正弦值为处,

10

解得x-^6.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，线面角的应用，还考查了转化化归的思想和空间想象运算求解的能力，属于中档

题.

18.(1)二=E(2)二+二e(4，W]

【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求二的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cos二,cos二

分别用边表示，再根据正弦定理可以将痣转化运，于是可以求出二的值；⑵首先根据sm二+仃3二=二求出角二的

值，根据第（1）问得到的二值，可以运用正弦定理求出二二二二外接圆半径二于是可以将二+二转化为二sm二+2ZsinZ,

又因为角二的值已经得到，所以将二二sm二+2二sm二转化为关于二的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外

本问也可以在求出角二的值后，应用余弦定理及重要不等式二：+二：22二二，求出二+二的最大值，当然，此时还要注

意到三角形两边之和大于第三边这一条件.

试题解析：（1）由兰三+苧=话”，

u□5sm-

应用余弦定理，可得

—__—+-__—=一

化简得二二则二=三

（2）vcosZ4-yJsinZ=2

・•・"os二4--rsmZ=，即sin（1+Z）=7

v二二）・・・二十m二,所以二=1

法一・•・・2二=三二，，

则二+二=sin二+sm二

=sinZ+sin（亍一二）

3-r?仃l

=7Sin_+।-TCOS-

=v'Isin（E+今

又<0<二<〒，］―<二+二<V3

法二

因为二=2由余弦定理二：=二；+二：一？二二cos二

得:=（匚+二）一二二,

又因为二二<(二>);,当且仅当二=二时“=”成立.

所以;=(匚+二)；一3二匚2(匚+二)；-3(言)；=写]

Z+Z<b又由三边关系定理可知二+二〉二=三

综上二+二e("r，V?]

考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.

19.(1)6»=y(pe7?)(2)半

【解析】

(1)先消去参数加，化为直角坐标方程y="c,再利用、=夕5由。,％=夕以》。求解.

p1-20cos，-2=0

(2)直线与曲线方程联立｛—万，得P2一0一2=0,求得弦长

忸C|=|8—阂=J([+.)2-4pg和点A|邛5,学到直线I的距离d=具叵Sinf—--1再求AABC的

面积.

【详解】

(1)由已知消去〃得y=则夕sin6=J^pcos。，

所以。=?,所以直线/的极坐标方程为。=26H).

p1-2pcos^-2=0

(2)由<JI9得—2=0,

设8,C两点对应的极分别为P\,p2,则01+02=1,P\P?=-2,

所以忸C|=|P1-词=J(P|+22『-4月「2=3，

又点A5,?]到直线/的距离d=2空sinj红—2)=石

I33J3I33J

所以

【点睛】

本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运

算求解的能力，属于中档题.

20.(1)an=T(2)证明见解析

【解析】

(1)根据公式an=一S'-得到an=3q-(〃22),计算得到答案.

(2)-一二］,根据裂项求和法计算得到方=:1|+:-一二一一二］,得到证明.

2\nn+2J2n+in+2)

【详解】

(1)由已知得(〃22)时,2(S„-5„_1)=3an-?>an_x,故q=3a,i(〃之2).

故数列｛4｝为等比数列，且公比4=3.

又当〃=1时，26=34-3,q=3.：.a“=3".

]=]__{_、

log3a„-log3a,l+2〃(〃+2)n+2,

【点睛】

本题考查了数列通项公式和证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

21.⑴曲线C的直角坐标方程为即(x-4+()，-1)2=片+1,直线/的普通方程为y=x+2；(2)a-2.

【解析】

(