2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷03（解析版）

2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试

数学传真模拟试卷03

一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)

1.已知集合4={-2,—1,0,2},集合8=卜蚪<2},则ADB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】

解绝对值不等式化简B,根据交集运算可得结果.

【详解】

B={x\-2<x<2},

A[^\B={-1,0,1).

故选：B

2.函数y=lg(l-x)+：的定义域是()

A.(-oo,l]B.(0,1)

C.(-oo,0)u(0,l)D.(YO,0)U(0，1]

【答案】c

【解析】

【分析】

根据对数的真数大于0且分母不为0可得到结果

【详解】

由17>0可得X<1又因为XW0,所以y=lg(l-x)+g的定义域为(f,0)u(0,l)

故选：C

3.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为。，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记

为b,且a,be{I,2,3,4},若|a-咐,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵

犀”的概率为()

【答案】B

【详解】

B两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,共有16个样本点,为：(I,1),(1,2),(I,3),(1,4),(2,

1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2)(4,3),(4,4),这16个

样本点发生的可能性是相等的.

其中满足I。一勿41的样本点有(1,1),(1,2),(2,I),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),

(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率为尸=整=J.

故选：B

4.若复数z满足白=i-1(i为虚数单位)，则z的虚部为()

2+1

A.iB.-iC.-1D.1

【答案】D

【详解】

由5=i-l得z=(i—l)(2+i)=-3+i,故z的虚部为1.

故选：D.

5.已知向量)=仅一3,2%+2)，1=(4,0),若力5，贝必=()

A.1B.3C.—3D.—

3

【答案】B

【详解】

解:因为向量Z=("3,2%+2)，力=(4,0),且

所以(03)x4=0,

解得％=3,

故选：B

6.已知某5个数据的平均数为5,方差为3,现加入3、7两个数，此时这7个数据的平均数为无，方差

为$2,则()

A.x=5,s2-3B.x=5,s2<3C.X=5,J2>3D.下<5,s2>3

【答案】C

【详解】

由题意可得：

-=5x^+3+7=5,S2=_[[5x3+(3-5)2+(7-5)2]=受>3,

777

故选：C

7.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是()

侧视

【答案】c

【解析】

【分析】

根据侧视图（左视图）的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虚

线.

【详解】

将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对•角线03（E）被几何体左侧

面遮挡，应当为虚线，

故选：C.

8.已知x>1,则x-I-------的最小值是（）

X-1

A.3B.8C.12D.20

【答案】A

【解析】

【分析】

利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为X>1,

所以X+—J—=x-l+」一+122，一1>」一+1=3,当且仅当x-l=」7时取等号，即当X=2时取等号,

故选：A

9.aABC的内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,已知3=60。，Q=5,C=4,则6=()

A.2乖)B.2A/5C.y/2\D.屈

【答案】C

【解析】

【分析】

在A4?C中，由余弦定理从=q2+c2-2accos8,即可求解.

【详解】

由题意，在AA6C中，B=60.a=5,c=4,

根据余弦定理得b2=a2+c2-2accos8=25+16-2x5x4xg=21,

所以人=5/21.

故选：C.

4'_4T

10.函数/")=7+恸_2的图象大致为()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数解析式求得函数定义域，判断函数奇偶性，再取几个特殊值运用排除法得到答案.

【详解】

由题意知，X2+|^-2^0,解得XH±1,所以f(x)定义域(f-1)"-1,1)(1,4<0)关于原点对称，又因为

4T-4A

〃-x)=-/W,所以此函数为奇函数，图像关于原点对•称，排除A.

(-x)'+|-x|-2x2+|%|-2

2——

2-1<0,排除B.

当X.时，f

/(x)=O=>x=O,函数只有1个零点，排除C.

故选：D

11.从分别标有1,2.....9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片

上的数奇偶性相同的概率是()

5457

A.—B.-C.—D.一

18999

【答案】B

【详解】

解:从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，基本事件总数〃=9x8=72,

而其中抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的基本事件个数m=4x3+5*4=32,

则抽到的2张卡片上的数奇偶性相同的概率尸='=3与2=4?,

n729

故选：B

12.“正>。是"x>。的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

判断两个命题的真假，即pnq和4np的真假，可得结论.

【详解】

x>0时，一定有正'>0,但正'>()时x<0或x>0，因此#7>0推不出x>0,

所以，历>0是》>0的必要不充分条件•

故选：B.

13.为了得到函数y=3sin(2x+?)的图像，只需把函数y=3sinx图像上所有点()

A.向左平行移动2个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的g

B.向左平行移动?个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

c.向左平行移动？个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的;

D.向右平行移动?个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的g

【答案】A

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换规律求解即可

【详解】

将y=3sinx向左平移q长度单位，得到y=3sin[x+?｝再把所得的各点的横坐标缩短到原来的g,可

得y=3sin（2x+g）的图象，

故选：A

14.如图，ABC。—ASCQ为正方体，则以下结论：口8。〃平面CBQ；DAGJ_8C;□4G，平面C4R,

其中正确结论的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

由BD//BQ,利用线面平行的判定可知口正确；利用线面垂直的性质和判定可证得8,_L平面4OG，B°1

平面441G,由此可得B.D,1AC,,由线面垂直的判定和性质可知□□正确

【详解】

对于，■.■BBJ/DD,,8月=。口，.•.四边形88QQ为平行四边形，.•.BD//8Q,

又BDa平面CBR,BQu平面C4q,.•.B£）〃平面CBa，正确；

对于，连接AG，ctD,

PiG

4

••・四边形CDD©为正方形，：.CR1C,D；

•.•/1£)_1平面<^>。6，。。1<=平面8£>6，，4。，<^>]；

又C|OcA£>=。，CQ,A£>u平面ADG，..CR_L平面，

QA£u平面A£)G，.-.CD,±ACt；

同理可得：BQ_L平面MG，又4Gu平面44G，.•.8QJ.AG；

•;CD、CBQ\=D\,CDI，BRU平面CBR,AC,±平面CBR,

又B,Cu平面CA2，.•.AG，4C,□正确，正确.

故选：D.

15.若函数/(尤)=1-/nr+10在(-2,1)上是增函数，则实数机的取值范围是()

A.[2,+oo)B.[-4,+°0)

C.(-00,2]D.(-oo,-4]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；

【详解】

解：函数/。)=》2_如；+10的对称轴为，开口向上，

依题意可得工=晟4-2,解得即相e(-8,-4]；

故选：D

X<0

16.已知函数〃x)='；，若VxeR,/(〃犹2)+9〃4-3月40恒成立,则实数机的取值范围为()

—X,X之。

「27A

A.[21,+oo)B.[13,4<»)C.—,+℃ID.[15,+oo)

【答案】C

【详解】

x2,x<0

解：因为/(%)=<所以函数图象如下所示:

-x2,x>0

由函数图象可知函数为定义域R上单调递减的奇函数，当时f(x)=-V,则

f(3x)=—(3x)2=J/=9(%),当％<0时/(X)=/,则/(3x)=(3x)2=9x2=9f(x),所以f(3x)=9/(x),

因为VxeR,/(如2)+9f(4-3x)40恒成立，即VxeR,/(座2)〈一9/(4-3犬)=9/(3犬-4)=/(9尢-12)恒

成立，所以皿？29x72恒成立，即的2一”+1220恒成立，当加=0,显然不成立，当mwO时，贝ij

{.门「/解得机是，即〃zeg,同；

故选：C

17.已知函数，(x)是定义域为R的偶函数，且/(l-2x)为奇函数，则()

A./(-^)=OB./(0)=0

C.")=0D./⑶=0

【答案】D

【详解】

因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，且/(」2x)为奇函数，

所以/(-x)=/(x),/(l+2x)=-/(I-2x),

即/(l+2x)=-/(2x-l),

故令x=0,则/⑴=-/(T)=-/(D,

所以阿=0,

令x=l,则f(3)=—/⑴=0,故D正确；

TTTT

取函数f(x)=cos,x,则/(I-2x)=cos[—(1-2x)=sinnx,

故/(x)=cos]x满足是定义域为R的偶函数，且〃l-2x)为奇函数，

而/'(―g)=cos(—H。，/(0)=cosO=1H0J(2)=cos%=-1*0,

说明A,B,C错误，

故选：D.

18.等边三角形ABC边长为4,M,N为AB,AC的中点，沿将AAMN折起，当直线A8与平面8cMN

所成的角最大时，线段A8的长度为()

D.2G

【答案】B

【解析】

以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设设A（x,O,z）,其中x2+z2=AE?=3，xe[-6,K],

利用向量法可得sin。=Icos<AB,〃>|=---,利用导数可求出最大值，得到点4坐标，即可求出/A

11710-2瓜

【详解】

在AABC中，取3c中点。，连接//）交于E,连接8E,

则在AABC中，AD=2g,AE=DE=6,

以E为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,

则网行,-2,0）,设A（x,0,z）,其中d+z2=AE2=3,

.­.AB=（V3-x,-2,-z）,可知平面BCNM的一个法向量7=（0,0,1）,

1T

设直线A8与平面8cWN所成的角为，，9e0,-,

令/⑴=会卜百'6],

2。2201+662(61)1一3@

则/"(x)=

10-273%)10-2底)

当xe一点牛时，/(力＞0,/(x)单调递增,

当XW,6时，r(x)＜0,〃x)单调递减,

2

/.f(x)

J\/max3,

即当x=3El寸，sin。最大，即。最大,

3

2⑥y/7、2

此时AT°n'亍＞则|阴=-73+(0+2)*2+*--0=2-^2.

\777

故选：B.

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

2r,x<0

19.已知函数/(')=■1,贝IJ/(O)=,/(/(-5))=

5

log2x,x>0

5

【答案】1

3

【解析】

【分析】

根据分段函数的定义域分别代入计算即可.

【详解】

2r,x<0

函数/(*)=，i,f(0)=20=1；

5

log2x,x>0

f(-5)=2-sq,J。八」

3-323

5

故答案为:

3

20.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形

就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.

一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧AB的长度

为2万，则该勒洛三角形的面积是.

【答案】18TT-18A/3

【解析】

【分析】

计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和

正三角形的面积可求得结果.

【详解】

由弧长公式可得2万，可得|4。=6,

所以，由AB和线段A8所围成的弓形的面积为1x6x2乃-3x6?=6*9月，

24

而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，

因此，该勒洛三角形的面积为5=3、仅%-9百)+9出=18万-186.

故答案为：18%-184.

21.函数f(x)=x2sinx—2,贝lJ/(2021)+/(-2021)=.

【答案】-4

【解析】

【分析】

分析函数Ax),是由奇函数g(x)=/sinx和常函数构成，利用奇函数性质可知g(2021)+g(-2021)=0,计

算答案即可.

【详解】

设/(x)=g(x)-2,其中g(x)=x2sinx,

因为8(-%)=/如(-工)=-/$也%=-8(幻，所以g(x)为奇函数，利用奇函数性质可知

/(2021)+/(-2021)=^(2021)-2+g(-2021)-2=g(2021)+g(-2021)-4=T.

故答案为：—4.

22.锐角△回€：的内角所对边分别是。，b,c且a=l,6cosA-cosB=l,若4,8变化时，sinB-2sin2A

存在最大值，则正数丸的取值范围.

【答案】

【详解】

a=l,bcosA-cosB=l,由正弦定理得:

sinBcosA-cos5sinA=sinA,即：sin（3-4）=sinA,

:.H-A=A<^.B-A=n-A（舍）:.B=2A

ZX4兀

0<A<—

2

n,it

•••AABC是锐角三角形，・•・〈0<2A<|,解得:—<A<一

64

A+2A>-

2

sinB-A,sin2A=sin2A一；4（1-cos2A）

l+ysin（2A+^）--1

=sin2A+-cos2A--=（其中tan）

22

-：—兀<2cA,<—兀

32

7T

「•使sinB—2sin2A存在最大值，只需存在8，满足24+9=万

八71八27T

:C<(p<一tan0<—=tan°<tan—

626

解得：0<2<殛.

3

故答案为：(°，半)

三、解答题(本大题共3小题，共31分)

JT

23(10分).已知函数f(x)=sin(x+§).

⑴求函数的最小正周期；

⑵当xe[0与时，求y=/(xJ)+/(x+[)的取值范围.

266

【答案】⑴2

Q吟，向

【解析】

【分析】

(1)利用周期公式即可得到结果；

(2)利用恒等变换公式化简公式，借助正弦型函数的性质得到结果.

(1)

/(x)=sin(x+y),

=sin7CX+—

T=—=2,

n

故函数/(c)的最小正周期为2；

(2)

>=.f(x-*+/(x+a=sin(x+2)+sin(x+/

=gsinx+±cosx=6sin

22

xe[O,g,nT7l

故-W)的取值范围是空向

24(10分).已知四棱锥P-ABCD,CD//AB,CDLAD,2AB=2AD=CD=4,口必。为等腰直角三

角形，面P8CJ■面ABC。，且3PLCP,F为8中点.

(1)求证：PFA.BC；

(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵手.

6

【分析】

(1)取8C中点E,连接EF,PE,BD，山等腰三角形性质、勾股定理、中位线等可得PEL8C、所_L8C,

利用线面垂直的判定及性质证明线线垂直；

(2)利用直线与平面所成角的定义找到R4与平面P8c所成角，结合已知条件求解即可.

(1)

取2c中点E,连接EF,PE,BD,

P3C为等腰直角三角形，即PB=PC,

PELBC,

由CQ〃A8,CDLAD,2AB=2AD=CD^4,可得BD=BC=2g，

CD2=BD2+BC"则BD±BC,

又尸为CD中点，则£F〃即，故EFL3C,而PEcEF=E,

8CJ•面PEF,P尸u面尸£尸，

BC1PF.

(2)

过点A作C8延长线的垂线，垂足为“，连PH,

面2台^面人次笫，面PBCfl面AB8=8C,A/7J_BC,AHu面A6C。，

m/_1_面尸3(7,

NAP”为线R4与面P8C所成的线面角，

A"5

由/。&4=135。,43=2知：sinZABH=——M/7=—x2=72,