2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷05（解析版）

2022年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试

数学传真模拟试卷05

一、单选题(本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目

要求的，不选、多选、错选均不得分)

1.已知集合4={x|y=lg(2x—},g={x||x-2|<1},则4nB=()

A.(0,2)B.(1,2)

C.(1,3)D.(0,3)

【答案】B

【解析】

【分析】

由定义域得到不等式，解不等式求出力，解绝对值不等式求出B,从而求出交集.

【详解】

由对数函数真数大于0得至lj2x-x2>0,解得：0<x<2,所以4=(0,2),

由比一2|<1,解得：1<x<3,所以8=(1,3),

故4nB=(1,2).

故选：B

2.函数/(£)=Jlogj4x-5)的定义域为()

A•侪+8)B.(羽C.(7)D.(涕

【答案】B

【解析】

【分析】

根据具体函数的定义域的求法，得到fog：""-5)2°,解不等式组即可求出结果.

I4x-5>0

【详解】

,pOgl(4x-5)>053故函数f(x)=Jlogi(4x-5)的定义域为信|卜

由题意可得13,解得；<XW

I4x-5>042

故选：B.

3.设i为虚数单位，复数z满足(l+i)Z=(—l+i)2,则ZN为()

A.y/2B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则可得z=-1-?即得.

【详解】

ale=>a-c=0=>2x—4+2=0=久=1，

|x+y|=1.

故选：A.

6.已知函数y=2ay3(a>0),则此函数是()

A.偶函数且在(-oo,+oo)上单调递减B.偶函数且在(-00,+oo)上单调递增

C.奇函数且在(-00,+00)上单调递减D.奇函数且在(-00,+00)上单调递增

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性的定义和基函数的单调性可得选项.

【详解】

解：令y=/(x)=2ax3,则函数y=/(%)=2a短的定义域为R,且了(一%)=2a(—x)3=-2ax3=-f(x),

所以函数y=/(x)=2a/是奇函数，

又因为a>0,所以函数y=/(x)=2a/在(-co,+oo)上单调递增，

故选：D.

7.已知复数z满足|z+l—i|=1(i为虚数单位)，则团的最大值为()

A.2B.V2+1C.V3+1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

设复数z=x+yi,x,y€R,根据已知，将团转化为圆(x+I)2+(y-I)2=1上点到坐标原点距离最值,

求解即可.

【详解】

解：令2=刀+丫Lx,yGR,则|z+1-i|=+1+(y-l)i|=1,

即(x+1)2+(y—1)2=1,表示点(x,y)与点(—1,1)距离为1的点集，

此时，|2|=|x—yi\—+y2表示圆(x+1)2+(y—1)2=1

上点到原点距离，所以团的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，

而圆心到原点距离为近，且半径为1,

所以圆上点到原点的距离的最大值为a+1.

故选:B.

8.已知x>0,y>0,满足％2+2xy-2=0,则2x+y的最小值是()

A.至B.V6C.3D.V3

22

【答案】B

【解析】

【分析】

由/+2xy—2=0,得到y=分-,化简2x+y=2x+与｝=*3x+j),结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由/+2xy-2=0,可得y=q-,

因为x>0,y>0,可得与且%>°，解得0<x<近，

则2x+y=2x+=3；｝=1(3x+|)>|x2^3x•|=V6,

当且仅当3x=4寸，即工=渔时，等号成立，

X3

所以2x+y的最小值为巡.

故选：B.

9.已知sin-a)=—¥，那么cos2a+V5sin2a=()

A.-B.--C.--D.-

9999

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角函数的诱导公式，求得sin(a-》=当，化简原式=2cos[2(a-》],结合余弦的倍角公式，即可

求解.

【详解】

因为sin(,一支)=­f，可得sin(a一菅)=?，

又由cos2a+V3sin2a=2(|cos2a+ysin2a)=2cos(2a—^)=2cos[2(a-')]

=2x[1-2sin2(a-》]=2•(1-2x|)=/.

故选：A.

10.A4BC的三个内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=l,B=45°,其面积为2,则AABC的外接圆

的直径为()

A.4^2B.5V2C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

先由三角形面积公式求得c=4a,由余弦定理求得b=5,利用正弦定理求外接圆直径.

【详解】

丁

•・•c一1cics•incB=-1x41xcx—^2=2,

S△^AABC"=222

，c=4V2,又力2=02+c?_2accosB,

--b2=l2+(4V2)2-2xlx4V2Xy=25.可得b=5.

设的外接圆半径为R,则-Z=2R,

smB

：.2R=-^—=5>/2.

sm45

故选：B.

11.若函数/(x)=ax+acosx(a>0),则下列图象不可能是()

【答案】B

【解析】

【分析】

分别在a=l,。>1和0<。<1的情况下，借助余弦函数图象、/(兀)/(—兀),/(2兀)的正负可确定图象.

【详解】

当a=l时，/(%)=cosx+1,与选项C相符；

当a>1时，/(TT)=a"+acoszr=a"-a>0；/(—TT)=a~n+acos(—TT)=a~n—a<0,与选项D相符；

当0<a<1时,f(n)=a"-a<0：=a2n+acos27i=a2n+a>0,与A相符；

••./(x)图象不可能是B中图象.

故选：B.

12.如图，在四面体ABCD中，E、F分别是48、的中点，过EF的平面a分别交棱BC于G、H(不

同于4、B、C、D),P、Q分别是棱BC、CD上的动点，则下列命题错误的是()

D

A.存在平面a和点P,使得4P〃平面a

B.存在平面a和点Q,使得力Q〃平面a

C.对任意的平面a,线段EF平分线段GH

D.对任意的平面a,线段GH平分线段EF

【答案】D

【解析】

【分析】

利用线面平行的判定定理可判断AB选项；取4C的中点。，GH的中点为“，设前=2而，CH=nCB,利

用空空间向量的线性运算可得出两=；1而，可判断C选项；利用反证法结合C选项可判断D选项.

【详解】

对于A选项，当4P〃EH时，因为4PC平面a,EHu平面a,此时4P〃平面a,A对；

对于B选项，当4Q〃尸G时，因为AQC平面a,尸Gu平面a,此时ZQ〃平面a,B对；

时于C选项，取4c的中点。，GH的中点为M,设而=4而，CH=^CB，

则有荏=OA+AE=OA+^AB=OA+^（OB-OA）=^（OA+OB）,

同理可得次=（（而+而）（-a+而），OM=i（OG+OW）,

OG=OA+AG=0A+AAD=0A+2WF,

OH^OC+CH=0C+nCB=0C+2/zOF=2〃丽-OA，

所以无+而=24而+2/z画，所以，0G=-OH+2WF+2nOE，

因为E、F、G、H四点共面，则24+2〃-1=1,所以，4+〃=1,

所以，2丽=砺+丽=22次+2〃诋，则两=4而+〃赤=4赤+(1—2)赤，

所以，OM-OE=A(OF-OE),可得丽=2而，

即M、E、F三点共线，即GH的中点在E尸上，即线段EF平分线段GH,C对；

对于D选项，若线段GH平分线段EF,又因为线段EF平分线段GH,则四边形EGFH为平行四边形，

事实上，四边形EGFH不一定为平行四边形，故假设不成立，D错.

故选：D.

13.已知a,beR,设函数方(x)=cos2x,f2(x)=a-bcosx,若当光(x)W&(x)对x6<n)恒成

立时，n—m的最大值为要则()

A.a>V2-1B.a<V2-1C.6>2-V2D.<2-V2

【答案】A

【解析】

【分析】

设《=cosx,结合余弦函数图象性质分析要使n-m的最大值为3时t的取法，再结合韦达定理求a,b取值范

围.

【详解】

设£=cosx,xG因为〃-m的最大值为争>皿=g所以x6[m,汨时，t=cosx必取到最值，

当n-m=§时，根据余弦函数对称性得cos1詈=1n3岂=2kwk6Z,止匕时cosm=cos(^^-=

COS(2/CK-?)=cos*=-亨

m4-nn-m37T31rV2

cosn=cos(--------1--------)=cos(2kn+--)=cos才=——

或者此时-^1)=一

cos=-1=>=n+2klpk6Z,cosm=cos(2y^-=COS(2/CH+TTcos?=

V2

2

m+nn-m37T31T/

cosn=cos(-y-+-y­)=cos(2%+1T+才)=一cos才=—

由/i(x)</2(x)=>2cos2%-1<a-hcosx=2cos2x+bcosx-(1+a)<0,

2

设t=cosx,xG时2t+ht—(1+a)<0对应解为“<t<t29

由上分析可知

当匕=一号，tzNl或hW-Lt2=当时，满足n-ni的最大值为不

所以-争即一詈W-圣所以02e一1.

-^=+t2>1或一q=tj+t2<-1+y.即b<V2-2或b>2-V2,

故选：A.

14.设a,bER,ab0,函数f(x)=Q/一比t+i,若f(|%|)+f(%)22恒成立，则()

A.a>0,b>0B.a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

【答案】B

【解析】

【分析】

首先表示出f(|x|)+/(x),依题意可得a(|%|3+/)—b(优|+行之0恒成立,再对x分类讨论，即可判断;

【详解】

解：因为/(x)=ax3-bx+1,所以f(|x|)+f(x)=a|x|3-b\x\+1+ax3-bx+1,因为/'(|x|)+/(x)>

2恒成立，

即a|x|3—b\x\+1+ax3—bx+1>2恒成立，

所以a(|x|3+x3)—b(|x|+x)>0恒成立，

即a(|x|3+x3)>h(|x|+x)恒成立,即a(|x|+x)(|x|2—x|x|+x2)>h(|x|+x)恒成立,

当X=。时显然恒成立，

当x>0时，，|x|+x>0,则ax22b恒成立，因为a,beR且abH0,所以a>0,b<0

当x<0时，|x|+x=0.显然恒成立，

综上可得a>0,h<0

故选：B

15.已知点P在ABC所在平面内，NB4C=90。,NC4P为锐角，且|而|=2,而•前=2,AP-AB=1，

当|而+冠+而|取得最小值时，tan"4P=()

A.它B.匹C.立D.V2

432

【答案】c

【解析】

【分析】

设“AP=a，利用数量积的定义可得|后|=高』而|=熹,进而可得|荏+而+而|=卓+呜+

利用基本不等式即得.

【详解】

设“4P=a,则484P=9(T-a,

由|而|=2,而.前=2,APAB=1，

而|M|cosa=2,府||画sina=1,即国I=意,1画=短

因为|而+AC+而(=|南『+।前『।而『+2而而+2通,AP+2AC-AP

_sin2a+cos2。+sin2a+cos2a十］0—cos2。+sin%+史

“sin?。cos2。4si/。cos?。4

>2后上.会+竺=竺，

_N4sin2acos2a44

当且仅当心”=®卓，即tan。=立时，|而+於+而|取得最小值g，

47in戊me12乙

...当|荏+无+而|取得最小值时，tan^CAP=y.

故选：C.

16.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原

因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（）

甲乙

A.180,40B.180,20C.180,10D.100,10

【答案】B

【解析】

【分析】

利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率从而估计抽取的高中生近视人数

【详解】

所有学生数为3000+4000+2000=9000,故样本容量为9000x2%=180,

根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000X2%=40,

根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40X50%=20,

故选：B.

17.古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文

化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》

（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生

活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字

左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有9个（11,22，…,99）,

则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（）

费

”菩

卷

胪,

幺Z.1

漆

A用

丈4

,

、

区

色

.式A

及

茶壶回文诗洋

求-•.*

［清］黄伯权（Wit］伯

落雷飞芳树.花艳舞风凉.

幽门不淡蠹。喜香迷月尊。

薄月迷古雾.短淡雨红修.

流风身艳花.树芳飞雪落。

99

【答案】C

【解析】

【分析】

列出所有三位数的回文数即可求得结果.

【详解】

三位数的回文数有：

101III121131141151161171181191

202212222232242252262272282292

303313323333343353363373383393

404414424434444454464474484494

505515525535545555565575585595

606616626636646656666676686696

707717727737747757767777787797

808818828838848858868878888898

909919929939949959969979989999

共有90个，其中奇数有50个，故出现奇数的概率为：

故选：C

18.平面内不同的三点。，A,B满足|耐|=|四|=4,若小€[0,1],|加砺-方|+|(1-7^1)丽-；瓦电勺

最小值为内，则|函=()

A.V6B.2>/3C.2V6D.4V3

【答案】C

【解析】

【分析】

设沆=m^(0WmW1)，BD=^BA,N4B。=。(0<9<^，作。关于OB的对称点5，如图根据向量

的线性运算化简题中的等式|而|+|反利用点关于直线的对•称性可得|砧|=V19,结合余弦定理可得

出cos28,利用二倍角的余弦公式求出cos。，最后根据|而|=2|荏|cos。即可求解.

【详解】

解：由题意得：

如图所示：

A

设方=小而(0WmS1),则点C在线段。8上运动

故梅丽-0A\=\0C-0A\=I无I

设丽=三片彳

4

|(1-m)B0-\BA\=|(m-1)05-BD\=\mOB-OB-BD\=\mOB-(0B+BD)|=\0C-0D\=

\DC\.­.\mOB-o7|+|(1-m)的-:而|=|而|+|反|,g|J(|^C|+|0C|)min=V19

作。关于08的对称点Di，设乙4B。=0(0<0<》

•••\AC\+\DC\=国|+\D^\>|而I,即(由I+I西)mm=|M|=V19

在MBCi中，|西=|画=4,|而|=|西|=：网|=1,|石|=g

由余弦定理可得：COS29=2cos2。-1=9=-i解得：cos。=—

：2X+1二X444

\0B\=2画cos。=2x4x[=2连

故选：C

二、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分)

19.设函数/(x)=G)一&”<°,则f[/(l)]=,若/(a)>1,则实数。的取值范围是

Igx,%>0

【答案】—7(-8,—2)U(10,+8)

【解析】

【分析】

依据分段函数定义去求/[7(I)]的值；分类讨论列关于a的不等式组去求a的取值范围

【详解】

/[/(I)]=/(0)=(1)-8=-7

了⑷>1等价于①宸设或②1

由①得a>10；由②得a<—2,则实数。的取值范围是(—8,—2)U(10,+8)

故答案为：—7；(—co,-2)U(10,+oo)

20.2022年北京冬奥会闭幕式上，呈现了大雪花(火炬)被中国结紧紧包裹的画面，体现了中国“世界大

同，天下一家'’的理念，数学中也有类似“包裹”的图形.如图，双圆四边形即不仅有内切圆而且有外接圆的

四边形，20世纪80年代末，国内许多学者对双圆四边形进行了大量研究，如：边长分别为a,b,c,"的

双圆四边形，则其内切圆半径r=上晅，外接圆半径R2=±.(ab+cd)(acyd)(ad+bc)现有边长均为1的双

a+b+c+d16abed

圆四边形，则R-r=.

【答案】旦

2

【解析】

【分析】

直接由题目所给公式计算外接圆和内切圆半径即可求解.

【详解】

由题意知：a=b=c=d=l,故r=^K.=2=2,R2=上.M+Cd)(ac+—(ad+bc)=工X8一,R=它,

a+b+c+d4216abed1622

故R-r=旦

2

故答案为：立二.

2

21.已知正实数a,b,c,a+b=3,则黑+9+三的最小值为______________.

babc+1

【答案】2V6-2##-2+2V6

【解析】

【分析】

利用a+b=3变形为3=色学，再将手+4+2变形为

3babc+1

ex/+¥+$+利用基本不等式整理为r+M+222(c+l)+W-2,进而再用基本不等式求

3b3a3c+1babc+1c+1

得答案.

【详解】

由正实数a,b,a+b=3,可得3=生针，

3

2,(a+b)2

所以竺+至+3=cxd+2)+&=cxtM+3

babc+1babc+1abc+1

22

=cx-4a--+-2a-b——+b+,—3=cx(-A-a4-,—+b+.-)4.--3

3abc+13a3/c+1

而端+222弱*=£当且仅当£即a=|,b=g时取等号，

故学+号+总之痔+1)+高=2(C+1)+.-2

>2V6-2,

当且仅当2(c+l)=.时，即c=?-l时取等号，

故答案为：2n-2

22.已知矩形=2,BC=3,设E是边4。上的一点，且4E=2DE.现将△4BE沿着直线BE翻折

至XA'BE,设二面角4一CD-B的大小为。(0<0<Q,则sin。的最大值是.

【答案】逗#布旧

55

【解析】

【分析】

作4F1BE交BE于点尸，连接AF,作AH_L4F交4产于点H,作HK1CD,垂足为K,连接AK,延长KH

交AB与G.则即为二面角4-CD-B的平面角，求tan。=包的最大值即可得sin®的最大值.

HK

【详解】

方法一：如图，

作4F1BE交BE于点凡连接4F,作力'H_L4尸交4F于点”，作HK1CD,垂足为K,连接AK,延长KH

交48与G.

,：AF1BE,：.A'F1BE,平面AF4,：.BELA'H,

JLA'HLAF,AFCBE=F,.•.4//L平面力BCD,：.A'H1CD,

又HKLCD,HKHA'H=H,工。。_L平面4HK,：.CD1A'K,

4KH即为二面角4一CD-B的平面角,即有乙TKH=6,

设4次尸修=a,A'F=AF=甯=赣=应，

•'•HF=V2cosa-AH=V2-V2cosa»A'H=V2sina>

易知△ABE是等腰直角三角形，尸为BE中点，BF=y/2,

易知，G_LA8,则RS4GH-RtAAFB,

rniiGWAH\/2-\[2.anzx/2-V2cosa1

则一=—nGH=-------c9nv一•V2-------——=1-COSQ,

FBAB2V2

:.HK=3-(1—cosa)=2+cosa,则有tan。=—=-S1—>

HK2+cosa

,•,焉=庶色表示单位圆上一点(cosa,sina)(0<a<冗)与(一2,0)连线的斜率，

川

(-2,0)Ox

如图，斜率最大为直线和圆相切时，直线倾斜角为。则用〜三在,

62+cosa3

则由”出叩若，.守叱府二甘.

故答案沏f.

方法二：在方法一的基础上，如图，延长2F、DC交于点、I,

易知△ABE是等腰直角三角形，N/^E=45o,，K〃A£>,则/3/=45。,则4"K/是等腰直角三角形，

FI=AI-AF=V2AD-AF=2加，

设乙4'/H=£,由方法一知tan。=箸=蟹=&tan£.

V2

「△ABE是等腰直角三角形，则易知点4的轨迹是以尸为圆心，什•为半径的半圆，

当4/与该圆相切时，口最大，

AF

此时AF=V2,F/=2VL.”的最大值为30。,

•5。=可印若，•♦河”干片土.

故答案为：等.

三、解答题(本大题共3小题，共31分)

23.(10分)已知函数f(x)=sinx(cosx—日sinx)

⑴求区数y=/(x)在区间[o用上的值域；

(2)若a€[0,兀],且/'(])=一去求cos仁―2a).

【答案】⑴卜L］

⑵-巫

8

【解析】

【分析】

(1)根据二倍角公式和三角恒等变化，可得/(X)的解析式，再根据三角函数的性质，即可求出结果；

(2)由(1)可得sin(a+》=：,再根据角的范围，和正弦的二倍角公式可得sin(2a+9的值，再根据诱

导公式可得COS©-2a)=sin(2a+勺，由此即可求出结果.

o5

(1)

解：/(%)=sinx(cosx—ysinx)=|sin2x—，(1—cos2x),

所以f(%)=|sin2x+^cos2x-彳=ysin(2x+》一？，

当［叫时，牌2x+三手

故一;Ssin(2x+与41

26

从而誉W/(x)4浮

所以函数y=/⑺在区间［0,4上的值域为：［一今用；

(2)

解:=fsin(a+.)一?=一噂

所以sin(a+£)=i,

o4

因工工a+工工1

ooo

若牌Q+浮以则sin(a+?)>g矛盾！

故］<a4-^<7T,cos(a+?)=—手

从而sin(2a+g)=一半

所以cos(*-2a)=sin(2a+1)=一半.

24.(10分)如图，在四棱锥P—4BCD中，AD//BCfZ.ADC=90°,^ABC=60°,AB=BC=2fPA=PB=

6,PC=3,M是PC中点.

(1)证明：DM〃平面P4B；

(2)求二面角P-AB-C的余弦值.

【答案】⑴证明见解析；

⑵-匹

3

【解析】

【分析】

(1)取PB中点N,连接MN,4N,易证四边形MM4D为平行四边形，则DM〃/1N,根据线面平行的判定即

可证结论.

(2)取4B中点Q,连接PQ,CQ,易证CQL4B、PQ1AB,根据二面角的定义找到二面角平面角，再应用

余弦定理求其余弦值.

(1)

取PB中点N,连接MN,AN,由已知有AD〃BC,/1D=

M,N分别为PC,PB中点，

MN//BC,MN=^BC.

MN//AD,MN=AD,即四边形MNAD为平行四边形.

DM//AN.又。MC平面P48,4Nu平面P48,

DM〃平面P4B.

⑵

取48中点Q,连接PQ,CQ.

•••AB=BC=2.Z.ABC=60",

CQ=V3，且CQ1AB.

,:PA=PB=y[3,AB=2,

PQ=鱼，且PQ1AB.

"QC为二面角P-4B-C的平面角，

PQ2+QC2-PC2V6

CC=-^Q-QC-=-r

所以，二面角P-48-C的平面角的余弦值为—遗.

3

25.(11分)已知Q>0,设函数f(%)=2asin2x+(a-l)(sin%+COSK)+2a—1,%GpOj,g(%)=

—2asin2x4-(1—a)sinx,%6R,

(1)当a=2时，求函数f(x)的值域；

(2)记|/(%)|的最大值为M,

①求M；

②求证：|^(x)|<2M.

【答案】⑴[-三4]

1O

2—3a,0<QW，

(2)①M="+6Q+1工vQ41；②证明见解析

8a*5—

3a—2,a>1

【解析】

【分析】

(1)令1=sinx+cos%=&sin(%+?)(%