2022年八年级数学下《勾股定理（基础）1》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题:17.3勾股定理(基础篇)(专项练习1)

1、单选题

类型一、用勾股定理理解直角三角形

1.已知口/BC中，Z5=/C=10,如是北边上的高线，。。=2,那么勿等于()

2.如图，长为8M的橡皮筋放置在数轴上，固定两端1和6,然后把中点。向上拉升3c"到

A.3cmB.2cmC.4cmD.2.5cm

类型二、两点距离公式

3.在平面直角坐标系中，已知点/(一2,5),点6(1,1),则线段的长度为()

A.2B.3C.4D.5

4.己知点"(T1)及点BQ*),户是4轴上一动点，连接尸/,尸8,则P/+P8的最小值是()

A.屈B.3八C.5D.4

类型三、勾股数

5.有下列各组数:①3,4,5;②6484UP；③0.5,1.2,1.3;④1,百，夜.其中勾股数有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

6.有下列各组数:①6,8,10；②62,8\IO?；③0.5,1.2,1.3；④12,16,20.其中勾股数有()

A.1组B.2组C.3组D.4组

类型四、勾股树中的面积问题

7.有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方

形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后，变成了如图所示

的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了888次后形

成的图形中所有的正方形的面积和是()

1

第1页共44页

A.445B.887C.888D.889

8.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中邑=匕SB=2

品=1,则s=（）

9.如图，以Rt△48c的三边为直径分别向外作半圆,若斜边力4=3,则图中阴影部分的面积

为（）

A.9亢

10.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正

方形,如果大正方形的面积为16,直角三角形的面积为3,直角三角形的两直角边分别为a

和&那么（”+力2的值为（）

hb

类型五、勾股定理解决网格问题

11.观察图形，每个小正方形的边长均为1,估计阴影正方形的边长的值在哪两个整数之间（）

2

第2页共44页

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

12.如图所示的2X2的小正方形方格中，连接46、AC、AD.则下列结论错误的是()

A./1+/2=N3B./l+N2=2/3

C.Zl+Z2=90°D,Zl+Z2+Z3=135°

类型六、勾股定理与折叠问题

13.如图，一张直角三角形纸片，两直角边AO^cm,B<=8c/n,将△4?。折叠，点6与点/重合,

折痕为应;则/应的长为().

A.2止B.加c.TD.5

14.如图,长方形纸片ABCD中,力庐3cm,4分9cm,将此长方形纸片折叠，使点〃与点8重合,

点C落在点〃的位置,折痕为EF,则1的面积为0

A.6cm2B.8cm2C.10cm2D.12cm2

类型七、用勾股定理与两线段的平方和(差)

15.如图，已知△48C中，//a‘=90°,仍=因三角形的顶点在相互平行的三条直线勺£

%上，且勺4之间的距离为2,勺4之间的距离为3，则/C?的值是()

3

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4

k

A.68B.20C.32D.47

类型八、用勾股定理求最值问题

16.如图，△仍C中，Z/f=45°,仍是△/回的边/C上的高，点尸是做上动点，则

V2

2断。?的最小值是()

A

5&

A.2B.5万C.10D.100

17.如图，在口"C中，AB>4C,/“■L8C于〃"为4〃上异于/的一点，比较与

MB-MC的大小，则AB-AC()MB-MC.

A.大于B.等于C.小于D.大小关系不确定

类型九、用勾股定理证明两线段的平方关系

18.如图,在AABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的中线,且AD1BE,垂足为点F,设

BC=a,AC=b,AB=c,则下列关系式中成立的是()

4

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A-a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

类型十、勾股定理的证明

19.勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上

的里程碑,2000多年来,人们对它进行了大量的研究,至今已有几百种证法.利用图形中有

关面积的等量关系可以证明勾股定理，利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图

形中，可以证明勾股定理的图形有()

20.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方

形ABCD,正方形EFGH,正方形仍附的面积分别为若&+$+£=45,则£的值是()

类型十一、以弦图为背景的计算题

21.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届

国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定.“弦图”是由

四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边

分别为a、b,大正方形边长为3,小正方形边长为1,那么劭的值为()

5

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22.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该

正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成,在一次游园活动中,数学小组

制作了一面“赵爽弦图锣"，其中//8C=90。，/C=l女m,48=5cm,则阴影部分的面积

是（）而？

A.169B.25C.49D.64

类型十二、用勾股定理构造图形解决问题

23.如图，已知钓鱼竿"C的长为10m,露在水面上的鱼线8c长为6m,某钓鱼者想看看鱼

钩上的情况,把鱼竿AC转动到/C'的位置,此时露在水面上的鱼线8C为8m,则BB'的长

为（）

A.ImB.2mC.3mD.4m

24.如图所示，小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底,竹

竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为（）

6

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A.2mB.2.25mC.2.5mD.3m

类型十三、勾股定理与无理数

25.如图，在数轴上，点46表示的数分别为0,2,比2于点旦且笈=1.连接犯在於

上截取CD=BC,以点［为圆心,/〃的长为半径画弧,交线段4B于点、£则点£表示的实数是()

26.如图所示，以数轴的单位长度为一边长,另一边长为2个单位长度作长方形，以数轴上的

原点。为圆心,长方形的对角线曲的长为半径作弧与数轴交于点A,则点/表示的数为()

A.6B.百C.亚D.20

2、填空题

类型一、用勾股定理理解直角三角形

27.如图,用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形力用》和一个小正方形EFGH,这

就是著名的“赵爽弦图”.在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会

标.若AB=10,AF=8,则小正方形所‘0/的面积为

28.如图,是一个圆柱形饮料罐,若底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条

7

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到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围为

类型二、两点距离公式

29.如图，直角坐标系中，已知4(—2,—1),6(3,-1),6(1,2),请你在y轴上找一点只使

4分和力火全等，则点夕的坐标是—.(写出一个即可)

30.如凰已知。(6,0),环〃x轴且经过点八0,4),点A,6分别是线段OD,施上的两动点，

A区2,点、C为46的中点，点尸为直线前V在第一象限上的动点,连接/€、PD,则小外的最小

类型三、勾股数

31.如果正整数a、b、c满足等式*+^=8那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自

探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知行y的值为.

b

34

8610

15817

241026

xy65

32.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”.观察:

3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就

没有间断过.请你根据上述的规律写出下一组勾股数:；

8

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类型四、勾股树中的面积问题

33.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角

形，如果正方形A、B、C、。的边长分别为3,4,1,2.则最大的正方形E的面积是.

34.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大

的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,〃的面积和是—cm2.

35.如图，在△/用中，N/a-90°,力仁10,/8=8,若两阴影部分都是正方形，D、£在一

条直线上,且它们的面积之比为1:3,则较大的正方形的面积—.

36.如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形

的面积分别为5，邑，£则它们满足的数量关系为________.

类型五、勾股定理解决网格问题

37.如图,△力回的三个顶点均在小方格的格点上，应江4,于点〃若每个小方格的边长为1,则

放的长为.

9

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38.如图，网格中每个小正方形的边长均为1,以4为圆心,4?为半径画弧,交最上方的网格

线于点〃则政的长是

类型六、勾股定理与折叠问题

39.如图，三角形纸片"8C中，/ZC8=90。，BC=3,48=5.。是5c边上一点，连接4),

把相。沿翻折，点B恰好落在4C延长线上的点夕处,则。的长为.

40.如图，在平面直角坐标系中,长方形的边内的分别在x轴、y轴上，点后在边比

上,将该长方形沿四折叠，点6恰好落在边勿上的尸处.若“@8),CF=4＞则点£的坐标

类型七、用勾股定理与两线段的平方和(差)

41.如图,在矩形488中，48=5,4)=3.将矩形月80c绕着点A逆时针旋转一定角度

得到矩形4B'C，D：若点、B的对应点方落在边DC上,则B'D的长为.

10

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42.如图，在Rta/回中，/小=90°,AB=6,则正方形4〃①与正方形比汽;的面积之和为

类型八、用勾股定理证明两线段的平方关系

43.如图,以口ABC的三边分别向外作正方形,其面积分别用Si,S2,S3表示,若Si=S2+S3,则

□ABC的形状是.

44.如图，心0/8C中，/C=7,8C=4,NC=90。，分别以BC"为直径作三个半圆,

那么阴影部分的面积为.（平方单位）

类型九、勾股定理的证明

45.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图.从图中可

以看到:大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积.因而/=+,

化简后即为厂=

II

第11页共44页

46.利用图或图两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理,这

个定理称为_一,该定理的结论其数学表达式是.

类型十、以弦图为背景的计算题

47.如图,面积为3的四个全等的小直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个

面积为1的小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，则组成弦图的每个小直角三角形的

48.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示

的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三

角形较长的直角边长为a,较短的直角边长为b,若a6=8,小正方形的面积为9,则大正方形

的边长为一.

类型十一、用勾股定理构造图形解决问题

49.如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,如果它运

动的路径是最短的,则4。的长为.

12

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B

50.如图，有两棵树,一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢

飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____.

类型十二、勾股定理与无理数

51.在数轴上找表示/后的点:要在数轴上画出表示而的点，只要画出长为如的线段即

可.利用勾股定理，长为行的线段是直角边为正整数_____的直角三角形的斜边.如图，在

数轴上找出表示3的点A,则OA=,过点A作直线1垂直于在1上取点B,使

A4_____连接OB,以原点0为圆心，以如为半径作弧,弧与数轴的交点_____即为表示

52.如图，借助边长为1的正方形,可以准确地将士&表示在数轴上.若在数轴上以点/为

圆心,边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆,该半圆与数轴的右交点为点C,若点C表

示的数是3,则点8表示的数为______.

三、解答题

53.如图,在笔直的公路4?旁有一座山，为方便运输货物现要从公路4?上的〃处开凿隧道

通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为3km,与公路上另一停靠站6的

距离为4km,且ACLBC,CDLAB.

(1)求修建的公路切的长；

(2)若公路制建成后,一辆货车由C处途经〃处到达6处的总路程是多少knf>

13

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54.已知，点4(-2,1)和点8(4,3).

(1)在坐标平面内描出点/和点6的位置.

(2)连接4?并计算的长度.

⑶若点C(a-1,2H3)与点5(4,3)关于x轴对称，求a-6的值.

55.如图,在长方形ABCD中，点£在边ABk,把长方形/况力沿着直线应'折叠，点/落在边

必上的点尸处，若4£=5,跖=3.求：

⑴协的长；

(2)4物的面积.

56.如图,某测量员测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测

得树顶端〃的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端〃的仰角为

6。°.已知1点的高度48为3米，台阶"C的坡度为1：石(即疑：8C=1：石)，且氏c、E三

点在同一条直线上.

(1)求斜坡"C的长；

(2)请根据以上条件求出树。E的高度.(侧倾器的高度忽略不计)

14

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D

57.阅读下列一段文字,然后回答下列问题.

己知在平面内有两点打(须，必)，8(Z,乃)其两点间的距离片乃=J(x「xj+(y「yj,

同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可化

简为|*2-或|%M|.

(1)已知力(1,4)、6(-3,2),试求4、6两点间的距离;

(2)已知一个三角形各顶点坐标为〃(-1,4)、以-2,2)、尸(3,2),你能判定此三角形的形状吗?说

明理由：

(3)在(2)的条件下,平面直角坐标系中,在x轴上找一点P,使得是以加'为底的等腰三

角形，求点P的坐标.

58.2000多年来,人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣,古往今来,下至平民

百姓,上至帝王总统都愿意探究它,研究它的证明,新的证法不断出现下面给出几种探究方法

(由若干个全等的直角三角形拼成以下图形).

试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a,右。之间的数量关系.

(1)三边a,6,c之间的数量关系为.

(2)理由：

59.如图所示，已知某学校点A到直线河流劭的距离为600米,且与该河流上一个取水站点

〃相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C,使之与学校点4及取水站点〃的距离相等,

15

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则学校点力与取水站点。的距离是多少米?

60.(1)用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示旧的点4(要求;不写作法,保留作

图痕迹)

(2)若数轴上的另一点6与点/关于1所在的点对称,则点6对应的数是______.

-5-4-3-2-1012345

参考答案

1.C

【分析】由题意根据已知可求得力〃的长,再根据勾股定理即可求得阳的长.

解：•心”M0,屐2,

：.AD-AC-DOS,

.•.8。="洒-仞2=川02-82=6.故选：(：.

【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形勾股定理是解题的关键.

2.B

【分析】根据勾股定理，可求出/〃、切的长，则•如力8即为橡皮筋拉长的距恩.

解；中"0=3止4cm,CD=3cm;

根据勾股定理,得：/LC°+CD2=5(渝;

.•.仍册/庐2心仍10-8=2例

故橡皮筋被拉长了2cm.

故选:B.

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关健是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

3.D

【分析】根据题意画出点"I的位置，然后根据勾股定理计算即可.

解：48的位置如图所示：

16

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y

过点8作X轴的平行线8C,过点A作y轴的平行线AC,

ZC和8c交于点C,

•BC=1-(-2)=3zc=57=4

,,,,

•AB=y)AC2+BC2-5

,•，

故选:D.

【点拨】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理,根据题意构建直角三角形，运

用勾股定理解题是关键.

4.C

［分析］根据题意作出平面直角坐标系，作A关于x轴的对称点A',连接A'B,进而根据勾股

定理求得H8两点的距离即可

解:如图，作A关于x轴的对称点H,连接A'B,

4(T-1)

-：AP+BP=A'P+BP>A'B8(2,3)

，，

.A'B=1(-1-2)2+(-1-3)2=5

，P4+P8的最小值是5

17

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故选c

【点拨】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短,勾股定理，作A关于X轴的对称点

是解题的关键.

5.A

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方.

解:①32+42=51三边是整数，同时能构成直角三角形,故为勾股数；

②(62)2+(82)2£(102)2,不能构成直角三角形，故不为勾股数；

③0.5,1.2,1.3三边不是正整数，故不为勾股数；

④1,百，夜，三边不是正整数,故不为勾股数；

故其中勾股数有1组.

故选:儿

【点拨】本题考查了勾股数的定义,及勾股定理的逆定理：已知比的三边满足〃+勿=/,

则△49C是直角三角形.

6.B

【分析】欲判断是否为勾股数,必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方,从而得出

答案.

解:①62+82=102,是勾股数；

②(62)2+(82)2W(102)2,不是勾股数；

③0.5,1.2,1.3不是整数,不是勾股数；

④122+162=202,是勾股数；其中勾股数有①④,故选

【点拨】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知

的三边满足〃+外则是直角三角形.

7.D

【分析】根据勾股定理,发现:经过一次生长后,两个小正方形的面积和等于第一个正方形的

面积,故经过一次生长后,所有正方形的积和等于2;依此类推,经过n次生长后,所有正方形

的面积和等于第一个正方形的面积的(〃+1)倍.

解:根据勾股定理以及正方形的面积公式,可以发现:经过«次生长后,所有正方形的面积和

等于第一个正方形的面积的(〃+1)倍，

••・生长〃次后,变成的图中所有正方形的面积s”="+、

,生长了888次后形成的图形中所有的正方形的面积和是888+1=889,

故选:。

【点拨】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边分别是斜边是J那么

18

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a2+b2=c\

8.C

【分析】根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可.

解:根据勾股定理的几何意义,可知：

S=£+S

=4+2+2+1=9

【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握直角三角形的两直角

边的平方和等于斜边的平方.

9.C

【分析】根据直角三角形勾股定理可得出：=482,根据圆的面积公式，写出三个

半圆的面积求和进行化简即可.

解：根据勾股定理可得：+BC'="2=9,

由图形可得,计算各个半圆面积之和为：

=-^x-x（AC2+BC2+

241

=-^x（9+9）

9

-—7C

4

故选：C.

【点拨】题目主要考查勾股定理的应用、整式的化简（提公因式），根据图形列出阴影面积的

代数式进行化简是解题关键.

10.C

19

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【分析】根据所求问题,利用勾股定理得到排+〃的值，由已知条件得到a8的值,根据完全

平方公式即可求解.

解:大正方形的面积为16,得到它的边长为4,根据勾股定理*+^=42=16,由题意5a於3即

2!

ab=6,所以a+Zz+2XaZ>=16+12=28>故选C.

【点拨】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形:发

现各个图形的面积和a,。的关系.

11.C

【分析】由勾股定理求出阴影正方形的边长,然后利用无理数的定义进行估算即可.

解:根据题意，

•.•每个小正方形的边长均为1,

.•.图中阴影部分的正方形的面积=12+32=10；

...阴影正方形的边长为所，

••V9<Vio<V16

*>

-3<Vio<4.

,•I

故选：C.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，无理数的估算，解题的关键是正确的求出正方形的边

长.

12.A

【分析】根据图形以及勾股定理可以得到边之间关系,从而得到口

UACF^BAE,QAED为等腰直角三角形,对选项逐个判断即可求解.

22

解.如图，AH=AE=CF,CH=AF=BE,AC=AB=Vl+2=x/5AE=DEy

4HCF=/E=90°

.aACH^\ABE(SSS)nACF^BAE(SSS)tDAED为等腰直角三角形

.'.Z4=Z2,N1=N5,N3=45°

A、Z1+Z2=Z1+Z4=9O°>N3,故符合题意

B、/l+/2=2N3=90°，故不符合题意

C、N1+N2=N1+N4=9O°,故不符合题意

D、Z1+Z2+Z3=Z1+Z4+Z3=9O°+45°=135°,故不符合题意

20

第20页共44页

故选:A.

【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理,熟练掌握相关基本性质找到角之

间的关系是解题的关键.

13.B

【分析】由翻折易得DB-AD,根据勾股定理即可求得如长,再在RtABDE中,利用勾股定理

即可求解.

解:解析：由折叠可知,AD-BD,DELAB,

\_

AB

设劭为x,则CD=8-x,

,/Z^90o,AC=4,BC=8,

.•.9=42+82=80,

.,.仍4石，

：.BE=2^,

在1/△/切中，AG+C%协,

42+（8-x）2=^,解得1=5,

在Rt/\BDE中,BR+DR=B%

即（2石）2+应8=52,

：.DE=^>,

故选:B.

【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关

键.

14.A

【分析】根据折叠的条件可得：=在A/OB/E中，利用勾股定理就可以求解.

解：•••将此长方形折叠，使点B与点、D重合，AD=9cm,

:.BE=9-AE

根据勾股定理得：力6+9=（9-W,

解得：花=%cm）.

•••S布=；x4x3=6（cn?）

故选:A.

【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形,掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜

边的平方是解题的关键.

21

第21页共44页

15.A

【分析】过4、0点作A的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出班'=1片3,再由勾

股定理求出於的长,再利用勾股定理即可求出4C的长,最后得到力网

解:如图所示,过力作力〃1/3于〃，过C作小工，3于£；

•・・/力叱90°,

又NZM*NAB/J=9O0,

：・4BA2/CBE,

在△力劭和△皈中，

/ADB=/BEC

<ZBAD=ZEBC

AB=BC

:.△ABgXBCE'AA。

・・・庞兰4介3,

在RtlXBCE中,根据勾股定理,得—种，3）南

在心中，根据勾股定理，得“。三碑毋包343468.

故答案是68.

【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距

离，构造直角三角形,运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.

16.B

叵

PE=—BP

【分析】过点尸作尸石,刘，由勾股定理得，2，继而证明当C、PE在同一条直

—_8P+PC=PE+PC=CE

线上,且CE,48时，2的值最小，由等腰三角形两腰上的高相等

CE=BD,在Rt△力友）中，由勾股定理解得BD的长即可解题.

22

第22页共44页

解：://=45°,仍是△{8c的边”•上的高,

480=45°

过点P作PE1/8,

PE=—BP

由勾股定理得，2

6

:.—BP+PC=PE+PC

2

当C、PE在同一条直线上，且CEL48时,

—BP+PC=PE+PC

△胸中,仍心10,例空衲％1AB

由等腰三角形两腰上的高相等

CE=BD

Rt/\4BD中，

及BD=AB=\。

10

BD==5y/2

正

:.CE=5&

—BP+PC=PE+PC

2的值最小为5后,

故选:B.

【点拨】本题考查垂线段最短问题，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识,是重要考点,

难度较易，掌握相关知识是解题关键.

17.C

【分析】由题意得,人接=B#,AG=HG,则Aa-AG=Bff-HG,同理有

，»-，必=*-叱,则A#-AG=mG.再根据平方差公式即可求解.

解：•.3〃_1_阳有/*+我,AG=Aff+HG,

:.AAAG=BH%

又•：MH1BC,同理有

23

第23页共44页

即(47+/。［AB-AC)-(肪+此),

又F点、在△械'内，,.36+40奶+旅；

则AB-AC<MR-MC.

故选C.

【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用.

18.A

解：设EF=x,DF=y,根据三角形重心的性质得AF=2y,BF=2EF=2x,利用勾股定理得到

_1_1

4x2+4y2=c2,4x2+y2=4b2,x2+4y2=4a2,然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关

系.

【解答】解：设EF=x,DF=y,

VAD,BE分别是BC,AC边上的中线，

_111

.•.点F为AABC的重心,AF=2AC=2b,BD=2a,

；.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

VAD±BE,.,.ZAFB=ZAFE=ZBFD=90",

在RtAAFB中,4x2+4y2=c2,①

2

在RtAAEF中，4x2+y2=4b2,②

在RtABED中，x2+4y2=4a2,③

1_1

②+③得5x?+5y2=4(a2+b2),.*.4x2+4y2：=5(a2+b2),④

X

①-④得c2-5(a2+b2)=0,即a2+b2=5c2.

故选:A.

【点评】本题考查了三角形的重心:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为

2:1.也考查了勾股定理.

19.C

【分析】利用面积与恒等式,②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和,都为ab,无法证

明勾股定理；③中梯形面积等于两个直角边分别为a,。的直角三角形与一个直角边为c的

等腰直角三角形面积之和;④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形

面积之和;⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面枳与一个小正方形面枳之和，即可

求解.

解:根据题意得:②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和,都为ab,无法证明勾股定理；

③中梯形面积等于两个直角边分别为a,6的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角

24

第24页共44页

形面积之和，即

+处2+产

整理得：Y+〃=c2,可以证得勾股定理；

④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即

c2=4x；＜7b+(b-a)2

整理得：=。2,可以证得勾股定理;

⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即

(a+b'f=—abx4+c2

整理得-.a2+b2=c\可以证得勾股定理;

所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个.

故选:C

【点拨】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握梯形，正方形的面积的不同求法是解题

的关键.

20.B

【分析】设每个小直角三角形的面积为见则回=4加题£=星-4网依据区+$+£=60,可

得4研$+$+国-4勿=60,进而得出星的值.

解:设每个小直角三角形的面积为应则$=4码$,£=$-4例

•.,£+£+£=45,

二4/均+$+$-4m=45,

即3质=45,

解得口=15.

故选B.

【点拨】本题主要考查J'勾股定理和正方形、全等三角形的性质的运用，证明勾股定理时，

用儿个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面

积和化简整理得到勾股定理.

21.B

【分析】根据大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,可得直角三角形的面积,即可求得

劭的值.

解：•••大正方形边长为3,小正方形边长为1,

二大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,

一个直角三角形的面积是(9T)+4=2,

25

第25页共44页

乂・・••个直角三角形的面积是2a会2,

/.数=4.

故选:B.

【点拨】本题考查/与弦图有关的计算,还要注意图形的面积和刘,人之间的关系.

22.C

【分析】先利用勾股定理求出8c=12,再利用大正方形的面积减去四个全等直角三角形的

面积即可得.

解：，；NABC=90°，/C=13cm,”=5cm,

BC=y]AC2-AB2=12(cm)

»

13x13-4x—x5x12=49(cm2)

则阴影部分的面积是2,

故选:C.

【点拨】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题关键.

23.B

【分析】根据勾股定理分别求出4?和15',再根据掰'即可得出答案.

解：小6m,陷90°,

...小J/C2-8C~102-6J8m,

'：AC=10m,/C=8m,NAB'C=90°,

：.AB'7心-B'dQOjm,

:.BB'=/比那'=2m;故选:8.

【点拨】此题考查了勾股定理的应用，根据已知条件求出4?和力夕是解题的关键.

24.A

【分析】根据河水的深度、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形,根据勾

股定理即可求解.

解:根据如图画简图

在直角△四C中，然=1.5米.46-6C=0.5米.

设河水的深度BC=x长,则AB=O.5+x(米).

根据勾股定理得出：

26

第26页共44页

：.1.52+A2=(A+0.5)2

解得：x=2.

即河水的深度为2米，

故选:A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，解一元一次方程，根据勾股定理可

以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决.

25.D

【分析】由题意可知，a>CB=\,AD=AE,利用勾股定理求出然的长，即可得到熊的长.

解：由题意可得。毋1,AD-AE,

•.•点46表示的数分别为0,2,

：.AB=2,

'：BCVAB,

二/4叱90°,

2

,•,AC={AB、BC=也，

,•,AD=AE=4C-CD=芯-I，

."表示的数为：石-1.

故选:D.

【点拨】本题主要考查了勾股定理和数轴,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

26.C

【分析】由已知可求吩於逐，即可求解.

解：由已知可求密退，

•/OA=OB,

：.OA=W

，点力表示的数为石，

故选C.

【点拨】本题考查实数与数轴;熟练运用勾股定理,掌握数轴点的特点是解题的关键.

27.4

【分析】观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得跖的长,从

而得结论.

解:应跖中，71^10,/片8,由勾股定理得：上JU-G=6,

.,.除8-6=2,

27

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...小正方形必!阳的面积=22=4,故答案为:4.

【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键.

28.12<«<13

【分析】当吸管底部在。点时吸管在罐内部分时,a最短,此时a就是圆柱的高,可得年12,

当吸管底部在/点时吸管在罐内部分时,a最长，即线段的长,根据勾股定理即可求出AB

的长，即可得.

解:如图所示，

当吸管底部在。点时吸管在罐内部分时,a最短,此时a就是圆柱的高，

即a=12,

当吸管底部在4点时吸管在罐内部分时,a最长，

在Rt\ABO中，根据勾股定理得，

AB=-JAO2+BO2=VF+1F=13

即a=13,

综上,12VE3,

故答案为：12VaV13.

【点拨】本题考查了勾股定理,解题的关键是构造直角三角形.

29.(0

【分析】根据在y轴上找一点A使U｛即和UABC全等,分两种情况点2在y轴正半轴上,

UABP^BAC,可得AP=BC,即处1=2+1,点〃在y轴负半轴时,〃与点(0,2)关于尸T对称即

可求解，

解:设点尸的坐标为(0,必)，

在y轴上找一点K使U/协和U/6C全等，

点。在y轴正半轴上,U45侬LIBAC,

：.AP=BC,即ml=2+1,

：.HF2,

点户(0,2),

点。在y轴负半轴时,。与点(0,2)关于*T对称，

2+1=-1-/»

m=-4

28

第28页共44页

AO,-4).

点。的坐标为(0,2)或(0,-4).

故答案为(0,2)或(0,-4).

【点拨】本题考查图形与坐标,三角形全等的性质，两点间距离,掌握图形与坐标特征,三角

形全等的性质，两点间距离运用是解题关键.

30.9

【分析】作点〃关于直线物V的对称点〃，连接如'，如'，6C.判断出点。'坐标，求出

如'，根据勿'W3%•如'，可以推出小外'29,可得结论.

解:作点〃关于直线批的对称点。'，连接如'，阳'，公

£(0,4),〃(6,0),MN//x轴,〃关于"对称，

(6,8),

AOD'=«2+82=io,

VZ^60=9O°,AB=2,AOCB,

_1_

：.0(=2AB=l,

'：PD=PD',

：.PC+PD=PC+PD'，

VOD'^OC+PC+PD',

：.PC+PD'29,

3如的最小值为9,

故答案为9.

【点拨】本题考查轴对称-最短问题,坐标与图形的性质，勾股定理,两点之间线段最短等知

识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.

31.79

【分析】根据给出的数据找出规律：a=/T,6=2",。=/+1,由此求出”的值,即可求出

答案.

2

解：由题可得：3=2?-1,4=2x2,5=2+11

8=32-1,6=2x3,10=32+1,

29

第29页共44页

2

15=42-1，8=2x4，17=4+1，

>

:.a=〃2-l,b=2"c=〃？+l,

...当c=〃2+1=65时，〃=8,

2

,,,x=8—1=63»y=2x8=16,

•x+y=63+16=79

故答案为：79.

【点拨】本题考查勾股定理,根据题目给出的数据找出规律是解题的关键.

32.11、60、61

—勾2-1—勾2+1

【分析】根据所提供的数据发现股2，弦—一厂，即可解答.

解:根据已知可得，下一组勾股数为：11、60、61.

故答案为：11、60>61.

【点拨】本题考查勾股数之间的关系，属于规律性题.根据题意找出所给勾股数之间的关系

是解答本题的关键.

33.30

【分析】根据勾股定理可得:正方形尸的面积=正方形A的面积+正方形8的面积,正方形

G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积,从而得到正方形E的面积=正方形厂的面积

+正方形G的面积,即可求解.

由勾股定理得,正方形厂的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=3?+4?=25,

22

同理,正方形G的面积=正方形C的面积+正方形。的面积=2+1=5)

正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=30.

故答案为：30

【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理:直角三角形的两直角边的平

方和等于斜边的平方是解题的关犍.

34.49

【分析】如图，正方形A,6的面积和等于鸟，正方形C,〃的面积和等于$3,工+S3=邑=49,

30

第30页共44页

解:如图，设正方形44C〃的边长分别为°力，c，"，设标有工㈤的两个正方形的边长为x,y,

22222

根据勾股定理可得/+b=Si=x,c+d=S3=y

则x2+V=S2=7-=49

a2+Z>2+c2+(/2=49

故答案为：49

【点拨】此题考查勾股定理,解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用.

35.27

【分析】设两个正方形的面积分别为a和3a,根据勾股定理求出BG,再利用勾股定理

9+5=的,由正方形的面积公式可得a+3a=36,即可求解.

解: