2022年八年级数学下《正比例函数（知识讲解）》专项练习题-带解析

八年级数学下-专题：19.9正比例函数（知识讲解）

【学习目标】

1.理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y=kx（k#0）的图象；

2.能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题；

3.初步利用“设参求值”解决正比例函数丫=1«<（kwO）中的几何问题；

4.初步掌握待定系数法求正比例函数解析式

【要点梳理】

要点一、正比例函数的定义

1、正比例函数的定义

一般的,形如V="（左为常数，且左W0）的函数,叫做正比例函数.其中左叫做比例系

数.

2、正比例函数的等价形式

（1）丁是x的正比例函数；（2）y=自（左为常数且左#0）;（3）若丁与x成正比例；

（4）上=左（左为常数且k#0）.这些都表示y与x是正比例函数关系.

x

要点二、正比例函数的图象与性质

（1）.图象:正比例函数y=kx（k是常数,kWO））的图象是经过原点的一条直线，我们称它

为直线y=kx.

（2）.性质：当k>0时,直线y=kx经过第三,一象限,从左向右上升，即随着x的增大y也增

大;当k<0时,直线y=kx经过二，四象限,从左向右下降,即随着x的增大y反而减小.

要点三、待定系数法求正比例函数的解析式

由于正比例函数歹="（左为常数，左W0）中只有一个待定系数左，故只要有一对X,

V的值或一个非原点的点，就可以求得左值.

【典型例题】

类型一、正比例函数定义

1.己知函数片（犷3）矛+（游-9）,当勿取何值时，'是x的正比例函数？

【答案】-3

【分析】根据正比例函数定义即可求解.

解：：尸（疗3）x+（勿?-9）是正比例函数，

.,.格9=0且；zr3W0,

:.吁-3.

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义“形如y二.U■为常

数，且AW0）的函数叫正比例函数”是解题关键.

举一反三：

【变式1].已知函数尸（h3）x*2是正比例函数,求代数式F-1的值.

【答案】0

【分析】根据正比例函数支履的定义条件:《为常数且自变量指数为1,得出k

值，代入代数式求解即可.

解：•••函数尸（h3）刘上2是正比例函数，

1

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二衣2=1且斤3#0,

解得:FT,

.,.F-1=(-1)2-1=O.

【点拨】本题考查了正比例函数的定义,熟知正比例函数的定义是解题关键.

【变式2】已知关于x的函数y=(，"+2)x""'+"-5,当〃?，〃为何值时，它是正比例函数？

【答案】当次=2,〃=5时，函数y=(m+2)x"+"5是正比例函数.

【分析】根据正比例函数的定义,形如y=kx,总0是正比例函数即可求解.

解：n=(m+2)卢-'+"5是正比例函数，

「.〃?+2工0目I加IT=1且〃-5=0,

解得加=2,〃=5.

即当加=2,〃=5时，函数广(加+2)”1+"-5是正比例函数.

【点拨】本题考查正比例函数定义,解绝对值方程,解一元一次方程，掌握正比例函数定

义是解题关键.

类型二、正比例函数的解析式

眇

Wr2.已知y与x-2成正比例，当A=3时，尸2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当产-2时，求自变量x的值.

【答案】(1)尸2尸4;(2)产1

【分析】(1)设尸Hx—2),把尸3,尸2代入所设的解析式中，求得4的值，即可得到所

求的结果；

(2)把尸一2代入⑴中的解析式中,解方程即可求得自变量x的值.

解：(1)设尸衣(x—2),其中2。

把产3,y=2代入y=k(x—i)中，得：(3—2)A=2

解得点2

所以尸2(x—2)

即尸2x—4

(2)把尸一2代入尸2*—4中，得2x-4=-2

解得:产1

即自变量x的值为1

【点拨】本题考查了正比例函数的定义，已知函数值求自变量的值,掌握正比例函数的

定义是关键.

举一反三：

【变式1］已知y-2与3x-4成正比例，且当x=2时，尸3.

2

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(1)求出y与x之间的函数解析式；

(2)若点。(a,-3)在这个函数的图象上，求a的值.

3

【答案】(1)尸5⑥(2)-2

【分析】⑴根据正比例的定义设广2=人3『4),然后把x=2时,y=3代入计算求出

在值，再整理即可得解；

(2)将点(a,-3)代入⑴中所求的函数的解析式求a的值.

解：⑴设尸2=4(3x4),

将x=2、尸3代入，得:2Q1,解得4=2,

12

.•.尸2=2(3k4),即y=2x;

33

(2)将点"(a,-3)代入y=2*,得：2a=-3,

解得:a=-2.

【点拨】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函

数图象上点的坐标特征.一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式.

【变式2】列式表示下列问题中的y与x的函数关系,并指出哪些是正比例函数.

(1)正方形的边长为xcm,周长为ycm；

(2)某人一年内的月平均收入为x元,他这年(12个月)的总收入为y元；

(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm,高为xcm,体积为ycm1

【答案】(1)'=4x,是正比例函数；9)V=12,是正比例函数；(3)V=3x,是正比例函数.

【分析】(1)根据正方形的周长等于边长的4倍,即可求解；

(2)根据总收入等于月平均收入乘以时间，即可求解；

(3)根据长方体的体积等于长乘以宽乘以高，即可求解.

解：(l)y与x的函数关系式为夕=4x,是正比例函数；

(2)y与x的函数关系式为^二口工，是正比例函数；

(3)y与x的函数关系式为N=3X,是正比例函数.

【点拨】本题主要考查了列函数关系式,正比例函数的定义，根据题意列出函数美系式是解

题的关键.

类型三、正比例函数的图象

3.画出下列正比例函数的图象：

c1

y=2x,y=-x,c.

⑴.3；(2)^=-1.5X,^=-4X.

【分析】根据列表-描点-连线的方法画图，函数图象经过原点.

3

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解：（D函数y=2x中自变量＞可为任意实数.表中是y与'的几组对应值.

如图，在直角坐标系中描出以表

中的值为

坐标的点.将这些点连接起来，得到一

条经过原点和第三、第一象限的直线它

就是函数y=2x的图象.

1

y=—x

用同样的方法，可以得到函数3的图象（如图）.它也是一条经过原点和第三、第

一象限的直线.

（2）函数y=中自变量x可为任意实数.表中是y与x的几组对应值.

如图,在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点.将这些点连接起来,得到一条经过

原点和第二、第四象限的直线，它就是函数V=的图象.

用同样的方法，可以得到函数^二-4'的图象（如图）.它也是一条经过原点和第二、第

四象限的直线.

_y=-x

以上4个函数的图象都是经过原点的直线，其中函数V=2x和3的图象经过第三、

第一象限，从左向右上升;函数N=-L5X和歹二-4'的图象经过第二、第四象限，从左向右下

降.

【点拨】本题考查J'函数的图象的作法，理解作函数图象的作法,列表、描点、连

线.解答此题的关键是画出函数的图象.

4

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如图，正方形"BCD的边长为4,P为边DC上的一点，设。尸=x，求fPD的

面积夕与x之间的函数关系式,并画出这个函数的图象.

A

B

【答案】y=2x,图见解析

【分析】根据SAAI)P=2-DP-AD,然后代入数计算即可，由于P为DC上一点.故

OVPDWDC,得到函数关系式后再画出图象,画图象时注意自变量取值范围.

解：SA\DP=5・DP・AD=5XX4=2X,

，y=2x(0<xW4);

故此函数是正比例函数，图象经过(0,0)(1,2),

因为自变量有取值范围,所以图象是一条线段.

【点拨】此题主要考查了三角形的面枳的求法以及画正比例函数的图象,画图象不注意

自变量取值范围是同学们容易出错的地方.

举一反三：

【变式】如图，在平面直角坐标系中，正方形/8CO的边长为2,/8//x轴，点A的坐标

为(L1),若直线'="与正方形"88有两个公共点，%的取值范围是.(写出一

个即可)

5

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-<k<3

【答案】3

【分析】根据，正比例函数必定经过原点，利用数形结合代入口,B的坐标求出

%值即可求解.

解：因为ABCD为正方形,A。』)

...B(3,1),D(1,3)

若直线N=区经过D时，3=k

解得：上=3

若直线y=.经过B时，1=3%

k=-

解得：3

.,-<k<3

.•.若直线y=kx与正方形有两个公共点,则k的取值范围为3

-<A:<3

故答案为：3

【点拨】本题主要考查了正比例函数的图形性质，正方形的性质,利用待定系数法和数

形结合求出k的取值是解题的关键.

类型四、正比例函数的性质

5.己知函数,尸4x(4为常数且20);

(1)当y—2时，则函数解析式为；

(2)当函数图象过第一、三象限时，上

(3)左y随x的增大而减小；

(4)如图，在(1)的条件下,点力在图象上，点A的横坐标为1,点夙2,0),求△勿6的面

积.

6

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【答案】(l)y=2%;(2)>0;(3)<0;(4)2.

【分析】(1)将》=1,歹=2代入y=Ax即可求人的值，进而确定函数解析式；

(2)根据正比例函数的图象特点与％的关系,可得左>°;

(3)根据正比例函数的图象特点可确定，N随x的增大而减小时;

(4)求出4L2),08=2,则AQ48的面积一2".

解：⑴当x=l,夕=2时，2=衣，

/.y=2x

故答案为》=2x；

(2广・函数图象过笫一、三象限，

二.%>0

故答案为>0;

(3广y随x的增大而减小，

，函数图象经过第二、四象限，

../<0

故答案为<0；

(4)；y=2x,点A的横坐标为1,

.../(1,2)

•・•8(2,0)

:.OB=2

的面积=5乂2'2=2

【点拨】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握女的取值与函数图象的关系是解

题的关键.

举一反三：

【变式1].已知点(2,-4)在正比例函数尸取的图象上.

(1)求4的值；

7

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(2)若点(-1,ni)也在此函数尸在才的图象上,试求必的值.

【答案】(1)-2：(2)2

【分析】(1)结合点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,根据正比例函数的性质，列方

程并求解,即可得到答案；

(2)根据(1)的结论，得到正比例函数的解析式;结合题意，通过计算即可得到答案.

解：(1)•.•点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上

•*.-4=2k

解得:k=-2;

(2)结合(1)的结论得:正比例函数的解析式为y=-2x

:点(T,m)在函数y=-2x的图象上

...当x=T时,m=-2X(-1)—2.

【点拨】本题考查了正比例函数的知识;解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性

质，从而完成求解.

【变式2】已知正比例函数N=G%-1)》经过点6-2).

(D求女的值；

(2)判断点'(工2)是否在这个函数图象上.

【答案】(D-3;(2)点,(3,2)不在这个函数图象上.

【分析】⑴把点°，-2)代入正比例函数V=G无-A中，得-2=3"1,解方程，求解.即

可得到答案；

(2)由由(1)得，y=-2x,再把》=3代入y=-2x得：y=-6,从而可得答案.

解：(D因为点a")在正比例函数y=0%-i)x的图象上，

所以-2=3"1,

所以女=-1,

kJ

解得3

⑵由⑴知,"一2》,

将》=3代入歹=-2》得：尸-6*2

所以点/(*2)不在这个函数图象上.

【点拨】本题考查的是一次函数中的正比例函数的性质，利用待定系数法求解正比例函

数的解析式,掌握以上知识是解题的关键.

类型五、正比例函数中的设参求值问题

8

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▼6.如图,在平面直角坐标系中，点M是直线V=T上的动点，过点"作“NJ.x轴，交

直线V=X于点N,当MVV8时，设点M的横坐标为〃?，求加的取值范围.

【答案】-4<w<4

【分析】先确定点M，N的坐标,从而可得MN的值,然后根据MN<8建立不等式,解不

等式即可得.

解:对于直线夕=—x,

当X=，"时，y=-m,即M,

轴,交直线N=x于点N,

，点N的横坐标为"?，

对于直线夕=，

当工=加时，y="\即N(m,加)，

/.MN=|-wz—w|=2\m\

•；MN48

2|w|<8

9

解得-44n?44.

【点拨】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、解不等式,表示出血的值是解

题关键.

举一反三：

【变式1］已知:正比例函数y=kx的图象经过点A,点A在第四象限,过A作AHlx垂

足为H,点A的横坐标为3,SAAOH=3.

(1)求点A坐标及此正比例函数解析式；

(2)在x轴上能否找到一点P使SAAOP=5,若存在,求点P坐标;若不存在,说明理由.

2

【答案】(1)A(3,-2),y=-§x;(2)存在,P点坐标为(5,0)或(-5,0)

【分析】⑴结合题意,得°”=3；再结合^AOH的面积为3,通过计算得AH的值以及点

A的坐标,将点A坐标代入y=kx,经计算即可得到答案；

9

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⑵设P(t,0),结合SAAOP=5,列方程并求解,即可得到答案.

解：⑴如图，

•.•过A作AH±x垂足为H,点A的横坐标为3

OH-3

VAAOH的面积为3

-xOHxAH=3

：.2

.\AH=2

•点A在第四象限

.,.A(3,-2),

把A(3,-2)代入y=kx,得3k=-2

k=--

解得：3

2

...正比例函数解析式为y=-3x；

⑵设P(t,O),即=M

♦.•△A0P的面积为5

...-2xOPxAH=-2x\t1\1x2=5

•*.t=5或t=-5

,能找到一点P使$&OP=5,P点坐标为⑸0)或(-5,0).

【点拨】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识;解题的关键是

熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解.

类型六、待定系数法求正比例函数的解析式

C7.写出图中直线/所对应的函数表达式.

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3：(1,3)

y

-i/to12

【答案】V=3x

【分析】由函数图象知,y与x成正比例函数关系且过(1,3),待定系数法可求得直线1

对应的函数表达式.

解:设直线/的解析式为y=kx(kWO),将(1,3)代入，得4=3,

故直线,所对应的函数表达式是尸3x.

【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，熟悉一次函数解析式的求法是解题的关

键.

举一反三：

【变式1】已知正比例函数

(1)若函数图象经过一、三象限，求”的取值范围；

(2)若点(一2,T)在函数图象上.求该函数的表达式.

【答案】(1)左>1⑵夕=2x

【分析】(1)根据正比例函数图象的性质，得k-l>0,解不等式即可求得k的取值范围；

(2)只需把点的坐标代入即可计算.

解：(1)：函数的图象经过第一、三象限

.,.k—1>0,

:.k>l-

(2)..•点(一2，一4)在函数图象上

.-.-2(^-1)=-4

:・k=3

故函数解析式：y=2x

【点拨】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式,正比例函数y=kx(k#0)的图

象的性质：k>0时，图象经过第一、三象限;k<0时，图象经过二、四象限.若一点在图象上,

则其坐标满足直线解析式.

【变式2］在平面直角坐标系中,有点4(a+l,-6),3(2k3,-a-5);

(1)当点6在第二、四象限角平分线上时,求6点坐标.

(2)若线段轴，求4、占两点坐标.

11

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(3)在(2)的条件下,求经过点占和坐标原点0的函数解析式.

【答案】(1)6(13,T3);(2)4(2,-6),6(T,-6);(3)片6x

【分析】(1)由题意易得243-卅5=0,然后求解即可；

(2)由题意易得-6=-z5,进而求解即可；

(3)设函数解析式为尸kx,然后把点B的坐标代入进行求解即可.

解：(1广.•点8在二、四象限角平分线上，

.,.2a-3-a-5=0,解得a=8,

.•.5(13,-13);

⑵•.•线段轴，

.,.-6=-a~5,解得a=l,

."(2,-6),6(-1,-6);

(3)设函数解析式为y=kx,

把6(-1,-6)代入y=kx中，得公6,

过点6和坐标原点。的函数解析式y=6x.

【点拨】本题主要考查待定系数法求正比例函数,熟练掌握正比例函数的性质是解题的

关键.

类型七、正比例函数的应用

C8.小球从离地面为方(单位:加的高处自由下落，落到地面所用的时间为“单位：

s).经过实验，发现力与『成正比例关系，而且当方=20时，1=2.试用/，表示并分别求

当7=10和%=25时，小球落地所用的时间.

【答案】函数的解析式为左54左10时，夕亚;加25时伉亚.

【分析】根据待定系数法，可得函数解析式,根据自变量的值,可得函数值.

解：设h^kt2,由ZF=20时，t=2,得

20=22人解得心5.

函数的解析式为加5%

当/F10时，曲2,解得t=&;

当加25时，^5,解得广行.

【点拨】本题考查/函数关系式，利用了待定系数法求解析式.

举一反三：

【变式11已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为21cm的蜡烛点

燃6分钟后,蜡烛变短了3.6cm,设蜡烛点燃x分钟后变短了*m.

(1)求函数y关于自变量x的解析式,并写出自变量的取值范围；

(2)画出此函数的图象.

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