2022年东北三省高考文科数学一模试卷及答案解析

2022年东北三省高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合尸={x|xWl},集合0={x|x(x-1)>0},则PCQ=()

A.{x|x<0}B.{x|xW1}C.{x|x<0,或x>l}D.{x|x<0}

2.（5分）复数z满足（1+/）2z=2-4i,则复数z=（）

A.-2+zB.-2-zC.1-2iD.2+i

3.(5分)抛物线y=4*的焦点坐标是（)

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,表)D.忌，0）

4.(5分)设机，〃是两条不同的直线,a,P，丫是三个不同的平面，下列四个命题中正确

的是（)

A.若加〃a,n//a,则加〃〃B.若<1_1_丫，PJ-Y1则01〃0

C.若a〃仇〃?ua,〃〃仇则D.若。〃0,B〃Y，m±a»则加-1_丫

5.(5分)等差数列｛an｝的前n项和为S”,已知“6=10，58=44,则55=)

911

A.3B-5C.5D.~2~

%+y>1,

6.(5分)若x,y满足约束条件x-y<4,则z=3x+y的最大值是()

,y-i<0,

A.6B.12C.16D.18

7.(5分)直线/：x+y+m^0与圆C：(x+1)2+(^-1)2=4交于Z,B两点,若|/8|=2,

则m的值为（)

A.±V2B.±2C.±V6D.±2V2

8.（5分）已知a,bER,则“abWO”的一个必要条件是（)

11

A.a+bWOB.次+后羊。C.a3+b3^OD.一+7。0

ab

9.(5分)已知a=log6歹，Z?=log7V6,c=601,则()

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

10.(5分)已知•:;------=—则cos2(字—a)=()

1—tana2，

4331

c

--一-

A.5B.54D.5

第1页共20页

11.（5分）如图是一个简单几何体的三视图，若机+〃=4,则该几何体外接球表面积的最小

值为（）

XV

12.（5分）已知”>b>0,Fi,尸2是双曲线Ci：/一庐=1的两个焦点，若点P为椭圆

C2：葭+金=1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，41尸乃取最小值，则椭圆C2

离心率的取值范围为（）

x/2V2V2V2

A.（0,y]B.[y,1）C.（0,y]D.[y,1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量2=（-3,4）,B=2工点工的坐标为（3,-4）,则点8的坐标为.

14.（5分）对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的

重要的美学因素.著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”.现用随机

模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为24,”的正方

形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，

据此可估计图中对称蝴蝶的面积是dm2.

15.(5分)已知数列也”｝的前“项和为。1=2,02=1.2&+1+S"一i=3S”("22,〃eN*),

第2页共20页

则S6的值为.

16.（5分）已知函数/（x）-|sinx|,xG[O,如），a€R恰有3个零点xi,X2,X3>且xi

<X2<X3>有下列结论：

①2X2=X1+X3；

②"2-sirir2—0；

③2x3-（l+x32）sin2x3=0；

（4）sinx2sirtr3+x2X3COS2x3=0.

其中正确结论的序号为.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:

共60分.，

17.（12分）第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计

“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段.为了

调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人（其中男性20

人，女性20人），进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大

于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如

图：

（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数

相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；

（2）请完成下列2X2列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有

关？

一般幸福非常幸福合计

男性20

女性20

合计40

附：烂=（a+乂器需嬴+d），其中>。+乩

P（X2电）0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

第3页共20页

男性老人女性老人

89751

98234

5973131558

87542412458

721511789

46256

73

18.（12分）在△旃;中，内角4B,C所对的边分别是a,b,c,已知a-6cosC=*sin8,

角C的内角平分线与边Z8交于点。.

（1）求角8的大小；

（2）记△88,/XACD的面积分别为Si，S2,在①c=2,6=V3,②孥"=V7,

/>C这

两个条件中任选一个作为已知，求善的值.

$2

19.（12分）如图，在三棱柱181cl中，侧面4CCM1是矩形，ACLAB,AB=AA\

=2,NC=3,NZM8=120°,E,尸分别为棱小为，BC的中点，G为线段CF的中点.

（1）证明：N1G〃平面/EF；

（2）求三棱锥4-81。尸的体积.

20.（12分）己知椭圆C：菅+y2=1,点/>为椭圆c上非顶点的动点，点小，血分别为

椭圆C的左、右顶点，过小，加分别作/」以1，I2-LPA2,直线/1，/2相交于点G,连接

OG（。为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点。.若直线OP,。。的斜率分别为a1，

ki.

（1）求广的值；

（2）求△PO。面积的最大值.

第4页共20页

21.(12分)已知函数/(x)=i-xeX(其中e是自然对数的底数).

(1)写出函数/(x)的定义域，并求。=0时函数/(x)的极值；

(2)若x=0是函数/(x)的极小值点，求实数”的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.［选修4-4：坐标系

与参数方程I

x=1+之3

22.(10分)在平面直角坐标系中，曲线Ci的参数方程为,(f为参数),

J=2+

以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程是p=4sin。-4cos6.

(1)分别写出Ci的普通方程与C2的直角坐标方程;

(2)将曲线Ci绕点尸(1,2)按逆时针方向旋转90°得到曲线C3,若曲线C3与曲线

C2交于/,8两点,求|刑+|PB|的值.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|x-2|+|x+l|.

(1)求不等式/(x)W4的解集；

123

(2)若函数/(x)最小值为机，已知a>0,b>0,c>0,—+—+—=m,求a+2b+3c

abc

的最小值.

第5页共20页

2022年东北三省高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合P={x|xWl},集合。={x|x(x-1)>0},则尸CQ=()

A.{x[x<0}B.{x[xWl}C.{x|x<0,或x>l}D.{x|x<0}

【解答】解：集合0={x|x(x-1)>0}={x|x<0或x>l},

.•.PnQ={x|xV0},

故选：D.

2.(5分)复数z满足(1+i)2z=2-4i,则复数z=()

A.-2+iB.-2-iC.1-2/D.2+i

【解答】解：：(l+力2z=2-43

2—4/

：・2iz=2-4/,即z=-2厂=—2—i.

故选：B.

3.（5分）抛物线y=4f的焦点坐标是（

A.（0,1）B.（1,0）C.（0,壶）D.忌，0）

【解答】解：抛物线夕=4?的标准方程为一=%开口向上，焦点在y轴的正

半轴上，

1

故焦点坐标为（0,77）,

16

故选：C.

4.（5分）设加，〃是两条不同的直线，a,p,丫是三个不同的平面，下列四个命题中正确

的是（）

A.若〃?〃a,〃〃a,则用〃〃B.若a_Ly，pJ-Y»则a〃0

C.若。〃6，〃?ua,〃〃d则加〃〃D.若a〃0,B〃Y，〃?JLa，则加_Ly

【解答】解：加，〃是两条不同的直线，a,p,丫是三个不同的平面，

对于4,若加〃a,n//a,则加与“相交、平行或异面，故4错误；

对于&若a，Y，B，Y，则a与S相交或平行，故8错误；

对于C,若。〃0,〃?ua,〃〃由则加与〃平行或异面，故C错误；

第6页共20页

对于。，若a〃仇0〃丫，团_La,则由线面垂直的判定定理得〃?_Ly，故。正确.

故选：D.

5.（5分）等差数列｛斯｝的前〃项和为S〃，已知“6=10,S8=44,则S5=（）

911

A.3B.-C.5D.—

22

【解答】解法一：等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，期=10,S8=44,

+5d=10

H—2~d=44

解得ai=-5,d=3,

qx4

:.S5=5al+等d=-25+30=5.

解法二：等差数列｛许｝的前〃项和为S〃，〃6=10,58=44,

o

.,.S8=|（a3+«6）>即44=4（的+10），

解得。3=1，

**.S5="IX（%+05）=5〃3=5.

故选：C.

<x+y>1/

6.（5分）若x,歹满足约束条件，%—y<4,则z=3x+y的最大值是（）

、y—1W0,

A.6B.12C.16D.18

【解答】解：作出可行域，如图中阴影部分，

第7页共20页

由《二;一4=0'解得B（5,1），

目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，

其纵截距越大z越大，

结合图形可知当动直线过8（5,1）时，z最大,

所以Z,"ax=3X5+l=16,

故选：C.

7.（5分）直线/：x+y+m=0与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4交于A,8两点，若|48|=2,

则m的值为（）

A.±V2B.±2C.±V6D.+2V2

【解答】解：,直线/：x+尸■加=0与圆C：（x+1）2+（厂1）2=4交于4,8两点，

圆心（-1,1）到直线/的距离d==粤,

v1+1v2

+d2=r2,即1+5=4,解得加=±乃.

故选：C.

8.（5分）已知a,b&R,则“MW0”的一个必要条件是（）

A.a+b^OB.a2+b2^0C.a3+b3^OD.-+7*0

ab

【解答】解：对于/,令a=l,b=-1,推不出a+6W0,故X错误，

对于8,由“a6K0”得：a#0且故^+庐工。，

第8页共20页

反之，若『+必£0,推不出比如4=1,b=0,

故a2+/?2^0是出?#0的必要不充分条件，故B正确，

对于C,令〃=1,b=-1,推不出〃3+63WO,故C错误，

11

对于。，令a=l,b=-1,推不出一+;工0,故。错误，

ab

故选：B.

9.（5分）已知a=log6Vb=log7遍，c=6°L贝lj（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

【解答】解：•・•〃=/0。6方=，。。67，且1=k）g66Vlog67VlOg636=2,

1122

•*.3-v:3log*jv3；，3即:<a3,

1111

Vb=jlog76<jlog77=jf

又・・7=6°1>6°=1,

:・bVa〈c,

故选：B.

tana+11-037r

2cos2（邙一a）=（）

1-tana

33

4-C-1

A.-B.54D.

5

1

tana+1

【解答】解：：---------=-则tana=-3,

1-tana2

.2,3TT、l+cos（97T—2a）1i11sinacosa1

••c°s2（T—a）=---------2---------=2-2sin2a=2-s,nacosa=2-sl^a+cos^a=2-

tana_1—3_4

l+tan2a—21+9—5,

故选：A.

11.（5分）如图是一个简单几何体的三视图，若加+〃=4,则该几何体外接球表面积的最小

第9页共20页

正视图侧视图

A.4nB.127TC.20nD.24n

【解答】解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接

球与四棱柱的外接球相同，

该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直

径为AD,

则AD-V22+m2+n2>J4+0%")=V12=2V3,当且仅当m—n—2时取等号，

所以该几何体外接球表面积的最小值为：4TI-(V3)2=12TT.

XV

12.(5分)已知Fi，放是双曲线Ci：a一金=1的两个焦点，若点尸为椭圆

x2v2

C2：蓝■+台=1上的动点，当尸为椭圆的短轴端点时，/为尸尸2取最小值，则椭圆C2

离心率的取值范围为()

【解答】解：假设点P在x轴上方，设尸(acosS,bsinO),则(0,n),

22

由已知得尸1(—'a?+炉,o),F2(y/a+b,0),

第10页共20页

设直线的倾斜角为a,直线尸产2的倾斜角为0,

.•・^^=kpv小0+"+浜,由印==…一手骏

tanB-tcina2上九2+上2s讥e______2/7，人2+力2

J.tan/-FPF=tan(。—a)=

l21+tanatan/?b2+®2_b2)sj*e一一缁+(a2—b2)sE8'

由于P为椭圆的短轴端点时，。=今，取最小值，即tan/尸1P/2取最小值,

F

y=sin0+^^（OVs伍1）也取最小值，此时sinO=l,

）,Ja2）炉）上单调递减，

•.•函数在（0

：.1<

即/<262,解得oweW竽.

即椭圆C2离心率的取值范围为（0,孝］，

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知向量Z=（-3,4）,6=2%,点力的坐标为（3,-4）,则点8的坐标为（-

3,4）.

【解答】解：设荒=（x,y）,

由于向量。=(-3,4),AB=2a=(-6,8),

故m二OB-OA=（x,j）-（3,-4）=（-6,8）,

整理得x=-3,y=4.

故答案为：（-3,4）.

14.（5分）对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的

重要的美学因素.著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”.现用随机

模拟的方法来估算对称蝴蝶（如图中阴影区域所示）的面积，做一个边长为2而7的正方

形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，

据此可估计图中对称蝴蝶的面积是1.58dm2.

第11页共20页

【解答】解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为$力层，正方形的边长为2而，则正方

形的面积S'=4而2,

向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，

S395

则有I~而？解可得S七L58加2,

故答案为：1.58.

15.（5分）已知数列｛“”｝的前〃项和为S”ai=2,a2=l,2S”+1+S"J=3S"（〃22,〃eN*）,

63

则S6的值为—77—.

16

【解答】解：由2s〃+i+S〃_i=3S〃，得2（S〃+i-S〃）=Sn-Sn_i,2an+\—cin,勿22,

又01=2，a2=1^a2=所以｛斯｝是等比数列，

所以%=2（分”-1，S6==1|.

63

故答案为：—.

1O

16.（5分）已知函数/（X）=ax-|sinx|,xG[0,2n）,oER恰有3个零点xi,X2,13，且xi

<X2<%3»有下列结论：

①2X2=X1+X3；

（2）ax2-sinx2=0;

③2x3-（1+X32）sin2x3=0；

（4）sinx2sinx3+x2x3cos2x3=0.

其中正确结论的序号为②⑶⑷.（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：如下图所示：

第12页共20页

7T

因为/(O)=0,则巾=0,由图可知5Vr2Vn，H<X3<2TT,贝ijsin%2>0,

且直线y=or与曲线g(x)=|sinx|相切于点(由，-sig),

ax2=sinx2

ax3=—sin%3，所以-sin2x2=2sinx2,

a=-cosx

I3

即-2sinx2cosx2=2sinx2,

解得C0SX2=-1，因为］<X2<Tl,则C0SX2=-1不成立，故①错误；

对于②：因为5Vv2Vm则ax2=|sinx2|=sig,故②正确；

对于③：当7TVXV2TT时，则g(x)=卜底|=-sinx,gr(x)=-cosx,

由题意可得，普=二打，可得X3=ta3

(Q——COSX3

2

所以sin2x3==/丁？=,所以2刈-(1+%3)sin2x3=0,故③

zzz

smx3+cosx3tan^x3+lx3+l

正确：

ax2=sinx2

2

ax3=-sinx3,所以ax2X3=-sinx2sinr3，

a=—cosx

I3

因此，siru"2sinx3+a2X2X3=sinx2sinx3+x2X3Cos2%3—0>故④正确.

故答案为：②③④.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:

共60分.，

17.(12分)第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达2.64亿，预计

“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段.为了

调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人(其中男性20

人，女性20人)，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大

于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福.调查所得数据的茎叶图如

图：

第13页共20页

（1）依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数

相对更高，并说明理由（可以不计算说明）；

（2）请完成下列2X2列联表，并判断能否有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有

关？

一般幸福非常幸福合计

男性20

女性20

合计40

附：片二回）舞崎万司，其中〃="红。+力

P（火22例）0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

男性老人女性老人

89751

98234

5973131558

87542412458

721511789

46256

73

【解答】解：（1）由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在40〜60之间,

男性老人的幸福指数主要集中在30〜50之间，

故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值,

故女性老人幸福指数更高.

（2）2X2列联表如图所示:

一般幸福非常幸福合计

男性16420

女性11920

合计271340

40x(16x9-llx4)2

'：K2«2.849>2.706,

-20x20x27x13-

第14页共20页

.••有90%的把握认为老年人幸福指数与性别有关.

/O

18.(12分)在△ABC中，内角Z,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a-bcosC=?csin8,

角C的内角平分线与边交于点£».

(1)求角B的大小；

(2)记ABCD,AACD的面积分别为Si,Sa,在①c=2,b=V3,②S/sc=孥，b=V7,

/>C这

两个条件中任选一个作为己知，求善的值.

【解答】解：(1)因为〃-hcosC=*csinB,由正弦定理可得siM-sin5cosC=苧sinCsinB,

由sinJ=sin(8+C)=sin^cosC+sinCcosB可得cos8sinC=守'SinCsin^,

因为Ce(0,TT),可得sinOO,所以cos8=苧sin5,即tanB=遍，

因为8W(0,n),所以8=*

(2)选①：因为c=2,b=V3,由余弦定理可得〃=/+/-2QCCOSB,代入可得Q?-

2a+l=0,解得a=l,

因为CD平方N4CB,令/ACD=/BCD=8,

则S=1BCSsine=jcOsinQ,出=%CSsin8=空CZJsin。，

则1=套=当

选②：因为S^ABC=%csin8=4x与ac=与之，解得ac=3,

由6=夕，再由余弦定理可得〃="+，-2accos8,即7="+c2-3,可得/+。2=10,

联立r;X=]0'解得〃=3,。=1,

由CZ）平方N4C8,令NACD=NBCD=。,

则则Si=^SUCOsinOn|c£>sin0,S?=%C-C£>sinO=孝CDsin。，

噜7=孚

52v77

19.（12分）如图，在三棱柱N8C-Z/1C1中，侧面NCCi/i是矩形，ACLAB,AB=M

=2,AC=3,ZAiAB=\20a,E,尸分别为棱小8i，8c的中点，G为线段C尸的中点.

(1)证明：4iG〃平面ZEF；

第15页共20页

(2)求三棱锥小-BCiF的体积.

【解答】(1)证明：连接出8,交ZE于点0,连接0F,由题意，四边形488伪1为平行

四边形，所以

因为E为小81中点，.•.4E=/B,...△小。£与△204相似，且相似比为之

乙Z

11

.•.41。=/08,又二尸，G为BC,CF中点，：.GF^^BF,

所以OF〃/1G,又OFu平面ZEF,小GC平面/EF,

所以N1G〃平面4EK

⑵解：由%1_BIQF=/-4避“

平面/8C〃平面小81C1,则平面/BC内的点AF到平面A\B\C\的距离相等.

所以V&-B1C1F=="4-4181J=^Cj

由侧面NCCMi是矩形，则NC_L441，又ZC_L/5且441n48=4

所以/C_L平面在三棱柱/8C-/向Ci中，ZC〃/iCi，即出。J_平面/88M,

又N44B=12O°,则NBi/M=60°,

所以，Ci-4418]=可x4C1xSA44[B]=可*3*2、2*2*sin60°=y/3,

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所以三棱锥小-B1GF的体积为百.

20.（12分）已知椭圆C：4+y2：=1,点尸为椭圆C上非顶点的动点，点4,a分别为

椭圆C的左、右顶点，过小，4分别作/2，以2,直线/i，/2相交于点G,连接

0G（。为坐标原点），线段0G与椭圆C交于点0.若直线OP,O0的斜率分别为左I,

3

⑴唠的值；

（2）求△P。。面积的最大值.

【解答】解：（1）A\（-2,0）,加（2,0）,设尸（xo,外），（xoW±2,yo#O），

由题意直线八的方程为尸一空（x+2）,①,

Z0

直线/2的方程为G-2）,②，

y。

由①②得点G（ro,-4yo）,

可得ki=要，⑥=等,

%ok.24

（2）由（1）知，设直线OP的方程为^=%次，直线。。的方程为y=4Aix,

UL得…j

由

由对称性，不妨设布＞0,

2p+1

22k1〜y一，一

；.尸（j,（）.\OP\=.,

4kl?+14kl2+1'4/cf+l

由⑴知XP,XQ异号,.'.XP，X0异号,

2

•-Q（:=

64kl2+1

16kli

点。到直线》=帖的距离公22，

Jfc1+lj64fc1+l

=二2史+1

116kli

•'SAPOQ=1-\0P\■d

2JZfcT+lJ/cJ+lxJ64kl2+1

2

61”=6xfci]

（4k/+i）（64ki2+i）-*

2256kl2+68+W

+lxj64fc1+l

ki

11

"：256ki7+与232,当且仅当％i=土;，取等号,

kJ4

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，△尸。。面积的最大值为SAPOQ=6x^32+6^=V，

21.(12分)已知函数/(x)=吟竽”(其中e是自然对数的底数).

(1)写出函数/(x)的定义域，并求。=0时函数/(x)的极值；

(2)若x=0是函数/(x)的极小值点，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)由1-xWO,所以xWl,所以/(x)的定义域为(-8,1)u(1,+

8),

当。=0时，，则f(x)=含^-ex,则f(x)=(xT)(2x：l)；：［(2x-l)/=好广-；器,

冗-LQX-JLj(X-JLj

令/(X)=0,则X1=O或X2=|>

因为，当x<0时，，(x)>0,当0Vx<l或1Vxv|时，/(x)<0,当x>|时,

f(x)>0,

所以，当x=0时，/(X)有极小值/(0)=1,

当x=|时，/(%)有极大值得)=4或；

(2)/口)=_海上产三浮3)里,

(%一)1

设g(x)=ax2-2x-(2a-3),因为/(x)在x=0处有极小值，

所以存在〃?>0,使得当xE(-加，0)时，f(x)V0,即g