高等数学B第十一章

高等数学B第十一章高等数学B第十一章高等数学B第十一章解说内容§11.1对坐标的曲线积分的观点§11.2对坐标的曲线积分的计算教课目标与要求：１、理解对坐标的曲线积分的观点.２、掌握对坐标的曲线积分的性质.３、娴熟掌握对坐标的曲线积分的计算方法.教课重难点：要点—第二类曲线积分的计算方法．难点—第二类曲线积分的反向变号性质.下限对应有向曲线的起点，上限对应终点.教课方法：讲练联合教课法教课建议：１、建议对变力作功问题作认真解说，进而深入学生对第二类曲线积分观点的理解.２、经过大批针对性的例题解说及练习，使学生娴熟掌握其计算.学时：2学时教课过程一、对坐标的曲线积分的观点引例：求变力沿有向曲线所作的功第十一章第1页设在xOy面上有一质点从点A沿圆滑曲线弧L挪动到点B,在挪动过程中,质点遇到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用.此中P(x,y),Q(x,y)在L上连续.求变力F(x,y)作的功.将L用其上的点A=M0(x0,y0),M1(x1,y1),,Mn－1(xn－1,yn－1),Mn(xn,yn)=B区分为n段.在第i个有向小弧段Mi－1Mi任取一点(ξi,ηi),因为有向小弧段Mi－1Mi圆滑且很短,故可用有向线段Mi－1iii取代它,此中M=(x)i+(y)jxi=x－x,y=y－yi－1,ii－1ii所以变力F(x,y)沿有向小弧段Mi－1Mi所作的功可看作常力F(ξi,ηi)沿有向线段Mi－1iiiM=(x)i+(y)j所作的功,即：w≈F(ξ,η)?MM=P(ξ,η)x+Q(ξ,η)y.iiii－1iiiiiii以λ表示n个小弧段的最大长度,则变力F(x,y)沿有向曲线L所作的功为：n=limnW=lim,η)Δx+Q(ξ,η)Δy0ΔwiP(ξiiiiii0i1i1对坐标的曲线积分的定义定义：设L为xOy面上点从A沿点B的一条圆滑有向曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向随意插入一点列A=M(x,y),M(x,y),,Mn－1(xn－1,yn－1),M(x,y)=B000111nnn将L区分为n个有向小弧段Mi－1Mi(i=1,2,n),在第i个有向小弧段Mi－1Mi上任取一第十一章第2页点(ξ,η),设x=xi－x－1,y=y－yi－1,以λ表示n个小弧iiiiiinP(ξ,η)Δx存在,则称此极限为函数P(x,y)段的最大长度,若极限lim0iiii1在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作：LP(x,y)dx.同理,若极限limn,η)Δy存在,则称此极限为函数Q(x,y)在有Q(ξi0iii1向曲线L上对坐标y的曲线积分,记作：LQ(x,y)dy.=limn即：LP(x,y)dxP(ξi,ηi)Δxi；0i1nQ(x,y)dy=limQ(ξi,ηi)ΔyiL0i1此中,P(x,y),Q(x,y)为被积函数；L为积分曲线.上述两个积分称为第二类的曲线积分.在应用上常将上述两个积分合起来写成：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.LLL写成向量形式为：LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=F(x,y)?drLL此中F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j;dr=dxi+dyj同理,当Γ为空间有向曲线,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Γ上有界,则定义：nP(x,y,z)dx=limP(ξ,η,ζ)Δx0iiiii1第十一章第3页nQ(x,y,z)dy=limQ(ξ,η,ζ)Δy0iiiii1nR(x,y,z)dz=limR(ξ,η,ζ)Δz.0iiiii1合起来即为：P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=P(x,y,z)dx+Q(x,yz)dy+R(x,y,z)dz对坐标的曲线积分的性质：1)Pdx+Qdy=Pdx+Qdy+Pdx+QdyL1L2L1L22)P(x,y)dx=-P(x,y)dx；Q(x,y)dy=-Q(x,y)dy；LLLL或许P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-P(x,y)dx+Q(x,y)dy；LL这里-L为L的负方向.注：对坐标的曲线积分与方向相关，故一定注意积分方向.二、对坐标的曲线积分的计算方法定理：设函数P(x,y),Q(x,y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为：x=φ(t),y=ψ(t)，当参数t单一地从α变到β时,点M(x,y)从L的起点A运动到终点B,φ(t)第十一章第4页和ψ(t)在以α及β为端点的闭区间上拥有一阶连续的导数22,且φ′ψ′(t)≠0,则有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[φ(t),ψ(t)]+Q[φ′(t),ψ(t)](t)}dtψ′．L证明：在L上任取点列：A=M0,M1,,Mn－1,Mn=B,它们对应一列单一变化的参数值：α=t0<t1<<tn－1<tn=β,n因为P(x,y)dx=limiii.L0i1设点(ξτi即：i,ηi)对应的参数值为ξ=φ(τ),η=ψ(τ),此中：ti－1-τ-t.iiiiii又因为Δxii-xi-1ii-1ii=x=φ(t)-φ(t)积分中值定理φ′)(Δtτ′这里：tiii－1,ti－1Ii=t-t-τ′-t.n于是：LP(x,y)dx=limP[φ(i),τψi( )]τφ′(τ′i)Δti,0i1由φ′(t)在[α,β](或[β,α])上连续(进而一致连续),可将τii′换为τ,即有：nLP(x,y)dx=limP[φ(i),τψi( )]τφ′(τi)0i1因为P[φ(t),ψ(t)](t)连φ′续,,进而定积分存在,且有P(x,y)dx=P[φ(t),ψ(t)]dtφ′L同理：Q(x,y)dy=Q[φ(t),ψ(t)](t)dtψ′L两式相加即有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[φ(t),ψ(t)]+Q[φ′(t),ψ(t)](t)}dtψ′L注1）下限α对应于起点A,上限β对应于终点B.2）对坐标的曲线积分的基本思想也是将其转变为对参变量的定积分.第十一章第5页几种特别情况：曲线L的方程为：y=ψ(x),则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=b{P[x,ψ(x)]+Q[x,ψ(x)](x)}dxψ′La下限a对应于起点A,上限b对应于终点B.设曲线L的方程为：x=φ(y),则dP(x,y)dx+Q(x,y)dy={P[φ(y),y]+Q[φ(y),y](y)}dyφ′Lc下限c对应于起点A,上限d对应于终点B.当Γ为空间曲线时,设其参数方程为：x=φ(t),y=ψ(t),z=ω(t)则：P(x,y)dx+Q(x,y)dy+R(x,y,z)dz={P[φ(t),ψ(t),(t)ω(t)]φ′+Q[φ(t),ψ(t),(t)+R[ω(t)]φψ′(t),ψ(t),ω}dt(t)]ω′(t)下限α对应于起点A,上限β对应于终点B.例1计算：y2dx,此中L为：L1）半径为a,圆心为原点,按逆时针方向绕行的上半圆周；2）从点A(a,0)到点B(-a,0)的直线段.解1)L的参数方程为：x=acosθ,y=asinθ(0<θ<π)θ=0对应于起点A,θ=π对应于终点B.第十一章第6页Ly2dx=a2sin2(asin)d=a3(1cos2)dcos4a3;0032)L的参数方程为：y=0,x从a到-a,y2dx=aL0?dx0a特色：积分值与路径相关.例2计算：2xydxx2dy,此中L为：L1）抛物线y=x2上从点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧；2）抛物线x=y2上从点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧；3）有向折线OAB,O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,0),(1,1).解1)L：y=x2,x从0变到1；2xydx+x2dy=1(2x?x2+2x2?x)dx=1L0L：x=y2,y从0变到1；2xydx+x2dy=1(2y2?y?y2+y4)dy=1L03)2xydx+x2dy=2xydx+x2dy+2xydx+x2dyLOAAB在OA上,L：y=0,x从0变到1；第十一章第7页2xydx+x2dy=1(2x?0+x2?0)dx=0；OA0在AB上,L：x=1,y从0变到1；1AB2xydx+x2dy=(2y?0+1)dy=10所以：2xydx+x2dy=1.L特色：积分与路径没关.例3计算：xyzdz,此中L是用平面y=z截球面x2+y2+z2=1所得的截痕,从zL轴的正向看沿逆时针方向.解L的方程为：y=z,x2+y2+z2=1,它在xOy面上的投影为：x2+2y2=1,进而其参数形式为：2x=cosθ,y=z=2

sinθ,且θ从0变到2π,xyzdz=22sin?2sin?2cosdcos?L02222=4

2sin2d=2cos2π016例4设有一质点在M(x,y)处遇到力F的作用.力F的大小与点M到原点的距离成正比,力F的方向指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆x2y21按逆时针方向a2b2挪动到点B(0,b),求力F所作的功.剖析：依据对坐标曲线积分的物理意义，变力沿曲线L作功即为在L上的对坐第十一章第8页标的曲线积分．解因为OM=xi+yj,|OM|=x2y2,进而F=－k(xi+yj)(k>0为比率系数).所以F所作的功为：W=AB-kxdx-kydy=-ABkxdx+kydy因为弧AB的参数方程为：x=acosθ,y=bsinθ,此中θ=0对应起点A,θ=π/2对应终点B,进而：W=k2[acos?(asin)bsin?(bcos)]d0=k(a2-b2)2cossind=k(a2-b2)/20dxdyA(1,0),B(0,1),C(－1,0)和D(0,－1)例5计算：I,此中L是以点L|x||y|为极点的正方形的正向周界.解(方法一)因为L：|x|+|y|=1,所以,在AB上,有x+y=1；在CD上,有x+y=-1；在BC和DA上,有x+y=0；进而有d(x+y)=0.所以：I=dxdy0L第十一章第9页(方法二)因为：dxdy01(1)dxdy=dx=0；=AB|x||y|1x(1x)BC|x||y|

10

11dx=-2x(1x)dxdy011dxdy111dx=0；dx=2CD|x||y|==1x(1x)DA|x||y|0x(x1)所以,I=0.注：将积分曲线的方程直接代入被积表达式有时可使被积函数化简，使计算简易.作业：3(1)(3)(4)(5)P4(3)(4)(5)202P201教课后记：复习思虑题：第十一章第10页计算:xyzdz,此中L是用平面y=z截球面x2y2z21所得的截痕,从z轴?L的正向看沿逆时针方向.解说内容§113曲线积分与路径没关的条件教课目标与要求：1、掌握格林公式;2、掌握平面上的曲线积分与路径没关的条件;3、掌握二元函数的全微分求积教课重难点：要点—经过本节的教课，使学生掌握格林公式，并能应用格林公式计算第二类曲线积分，掌握平面曲线积分与路径没关的条件，会求二元函数的全微分的原函数.难点—1.平面曲线积分与路径没关的条件二元函数的全微分求积第十一章第11页教课方法：解说法教课建议：建议向学生重申格林公式使用的条件并举例说明.学时：4学时教课过程一、格林公式单连通与复连通地区设D为平面地区假如D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通地区不然称为复连通地区对平面地区D的界限曲线L我们规定L的正向以下当察看者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边地区D的界限曲线L的方向定理1设闭地区D由分段圆滑的曲线L围成函数P(xy)及Q(xy)在D上拥有一阶连续偏导数则有(QP)dxdyPdxQdyDxyL此中L是D的取正向的界限曲线简要证明仅就D即是X－型的又是Y－型的地区情况进行证明设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为p连续所以由二重积分的计算法有yPdxdyb2(x){1(x)yaD

P(x,y)dy}dxb2(x)]P[x,1(x)]}dx{P[x,ya第十一章第12页另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有PdxPdxPdxb1(x)]dxa2(x)]dxP[x,P[x,LL1L2abb1(x)]P[x,2(x)]}dx{P[x,a所以PdxdyPdxyLD设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}近似地可证QdxdyQdxxLD因为D即是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时建立两式归并即得QPdxdyPdxQdyxyLD应注意的问题对复连通地区D格林公式右端应包含沿地区D的所有界限的曲线积分且界限的方向对地区D来说都是正向设地区D的界限曲线为L取PyQx则由格林公式得2dxdyxdyydxAdxdy1xdyydxDL或D2L第十一章第13页例1求椭圆x=acosθ,y=bsinθ的面积A.1xdy-ydx=12解A=2[acos(bsin)bsin(asin)]dθ=πab2L0例2计算ey2d,此中D是以O(0,0)、A(1,1)、B(0,1)为极点的三角形闭D地区.解令P=0,Q=xey2,则Q-P=ey2,所以xyey2dxey2dy=xey2dy=1xex2dx=(1-e-1)/2DOAABBOOA0特色：应用格林公式将二重积分化为曲线积分．例3计算-2x3ydx+x2y2dy,此中L为x2+y2≥1与x2+y2≤2y所围地区D的正L向界限.解因为Q-Pxy

2332223=2xy+2x，所以-2xydx+xydy=(2xy+2x)dσ=0LD第十一章第14页特色：应用格林公式将对坐标的曲线积分化为二重积分，这也是格林公式主要应用．xy3y3xdxyx2y2dy例4计算x，此中L为抛物线(2cos)(12sin3)L2xy2上的由点（0，0）到（,1）的一段弧.2剖析：从被积函数以及积分曲线的方程来看，化为对参变量的定积分来作不易，进而考虑用格林公式．又因为曲线L不是关闭曲线，所以要想使用格林公式，一定先补线，使其关闭．解设L1为在y1上从（,1）到（0，0）的一段，L2为在x0上从点（0,1）2到（0，0）的一段，并记L+L1+L2为L0.因为P2xy3y2cosx，Q12ysinx3x2y2，Q=2ycosx6xy2=Pxy由格林公式有：(2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy=0，则有L0(2xy3y3cosx)dx(12ysinx3x2y2)dyL=-(2xy3y2cosx)dx(12ysinx3x2y2)dy1L2002=(2xcosx)dxdy=412例5计算I=xdyydx,此中L为一条无要点、分段圆滑且不经过原点的连Lx2y2第十一章第15页续曲线,L的方向为逆时针方向.解因为P=-y;Q=-x，且当x2+y2≠0时,x2y2x2y2Q=y2x2=Pxy2x2y当(0,0)D时,由格林公式有：I=0；当(0,0)D时,以(0,0)为中心,以充分小的半径r作一圆,使整个圆含于L所围的地区中,则由格林公式有：xdyydx-xdyydx=0Lx2y2lx2y2即：xdyydxxdyydxlxdyydx=2r2Lx2y2=y2r2r2=2πlx2注：若积分曲线内含有奇点时，不可以直策应用格林公式，一定先用一条适当的曲线挖掉奇点后方可应用格林公式．二、平面上曲线积分与路径没关的条件1、定义：设G为平面开地区,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内拥有一阶连续的偏导数,若对G内随意两点A和B及G内从点A到点B的随意两条曲线L1和L2,建立等式：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dyL1L2第十一章第16页则称曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径没关.L明显,当曲线积分在G内与路径没关时,对G内随意的关闭曲线L,有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0；L2、平面上曲线积分与路径没关的条件定理：设G为平面开地区,函数P(x,y)及Q(x,y)在G内拥有一阶连续的偏导数,则曲线积分P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径没关的充分必需条件：LQ=P(x,y)G.xy证明：(充分性)设L为G内的随意关闭曲线.因为G是单连通的,进而有：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=(Q-P)dσ=0LDxy(必需性)设对G内的随意曲线L建立：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0.L现证Q=P(x,y)G.xy假定在G内存在一点M0,使(Q-PM0≠0,)xy不如设(Q-P)M=η>0xy0第十一章第17页因为Py,Qx在G内连续,由保号性定理知：存在U(M0)D,(x,y)∈U(M0),有Q-P≥η/2>0,xy于是在U(M0)内取一个以M0园心,以r＞0为半经的园K,记K的正向界限曲线为γ,圆K的面积为σ,在K上,有P(x,y)dx+Q(x,y)dy=(Q-PKxy

)dσ≥σ?η/2>0QP进而与已知条件矛盾.即=在G内恒建立.奇点：在G内函数P(x,y)、Q(x,y)、Py(x,y)或Qx(x,y)不连续的点称为奇点.三、二元函数的全微分求积议论P(x,y)及Q(x,y)知足什么条件时,Pdx+Qdy是某个二元函数的全微分.定理：设开域G是单连通域,函数P(x,y)、Q(x,y)在G内拥有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为二元函数u(x,y)的全微分的充要条件是：Q=P(x,y)G.xy证明(必需性)假定存在着某一函数u(x,y),使得du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,则必有：u=P(x,y);u=Q(x,y)xy第十一章第18页进而2u=P;2u=Qxyyyxx由Py(x,y)和Qx(x,y)连续有Q=P(x,y)Gxy(充分性)若等式QP在G内恒建立,则以M(x,y)为起点,M(x,y)为终点xy000的曲线积分与路径没关,进而此积分可表示为：(x,y)Pdx+Qdy,(x0,y0)当M0(x0,y0)固准时,它是一个二元函数,记为：(x,y)u(x,y)=Pdx+Qdy.(x0,y0)下面证明u(x,y)知足du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy.因为(x,y(xx,y)Pdx+Qdy)=ux+(x0,y0)(x,y)(xx,y)=Pdx+Qdy+Pdx+Qdy(x0,y0)(x,y)所以：u(x+x,y)-u(x,y)=(xx,y)Pdx+Qdy(x,y)第十一章第19页xx=P(x,y)dx=P(x+θΔx,y)Δx(0≤θ≤1)x由P(x,y)连续,有u=limu(xx,y)u(x,y)=limP(x+θΔx,y)=P(x,y)xx0xx0同理有：u=Q(x,y)y因为u(x,y)=(x,y)Pdx+Qdy积分与路径没关,应选用平行于坐标轴的直线段(x0,y0)连成的折线M0RM或许M0SM作为积分路径,则有：u(x,y)=xyP(x,y0)dx+Q(x,y)dyx0y0yQ(x0,y)dy+x或u(x,y)=P(x,y)dxy0x0例6.考证：xdyydx在右半平面内(x>0)是某个二元函数的全微分,并求此函x2y2数.第十一章第20页解令P=y;Q=x2222xyxy则有：P=y2x2=Q在右半平面内恒建立,进而xdyydx是某个二元y(x2y2)2xx2y2函数的全微分.取右半平面的点(1,0)作为起点,则有：(x,y)xdyydxu(x,y)=x2y2(1,0)=xdyydx+xdyydxABx2y2BCx2y2yxdyy=0+x2y2=arctan0x注：点(x0,y0)可在相应知足条件的地区内随意选用，求出的u(x,y)可能相差一个常数．例7.考证：(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy是某二元函数的全微分,并求此函数.解令P=3x2y+8xy2,Q=x3+8x2y+12yey；P2Q在全平面内建立,则=3x+16xy=yx取积分起点为(0,0),路径如图：第十一章第21页(,y)=+=0+yx3+82+12y)dy(uxOAAB0xyye=[x3y+4x2y2+12(y-1)ey]0y=x3y+4x2y2+12(y-1)ey+12.下面介绍求u(x,y)的另一方法：因为=3x2+16xy=Qyx所以u(x,y)=(3x2y+8xy2)dx+φ(y)=x3y+4x2y2+φ(y)又u=x3+8x2y+φ′(y)=Q=x3+8x2y+12yey；y所以φ′(y)=12yey,即：φ()=12y=12(y-1)y+Cyyedye进而u(x,y)=x3y+4x2y2+12(y—1)ey+C.作业：P2027(1)(2)(3),8(1)P9(1)(2),10(1),11203教课后记：第十一章第22页复习思虑题：1在单连通地区G内假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数QP且恒有那么xy(1)在G内的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否与路径没关?L(2)在G内的闭曲线积分?LP(x,y)dxQ(x,y)dy能否为零?(3)在G内P(xy)dxQ(xy)dy是不是某一函数u(xy)的全微分?2在地区G内除M0点外假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数且恒有QP那么xG1是G内不含M0的单连通地区y(1)在G1内的曲线积分P(x,y)dxQ(x,y)dy能否与路径没关?L(2)在G1内的闭曲线积分?P(x,y)dxQ(x,y)dy能否为零?L(3)在G1内P(xy)dxQ(xy)dy是不是某一函数u(xy)的全微分?QP3在单连通地区G内假如P(xy)和Q(xy)拥有一阶连续偏导数但xy第十一章第23页P特别简单那么xy(1)怎样计算G内的闭曲线积分?(2)怎样计算G内的非闭曲线积分?(3)计算(exsiny2y)dx(excosy2)dy此中L为逆时针方向的上半圆周L(xa)2y2a2,y0(解说内容§114对坐标的曲面积分的观点§115对坐标的曲面积分的计算第十一章第24页教课目标与要求：1、掌握对坐标的曲面积分的观点与性质;2、掌握对坐标的曲面积分的计算方法;3、掌握两类曲面积分之间的关系教课重难点：要点—对坐标的曲面积分的观点、计算方法.难点—１.计算曲面积分时，怎样依据曲面的侧确立积分所带正负号．２．对坐标的曲面积分的物理意义：流体流量问题的理解教法方法：启迪式教课法，以解说法为主教课建议：学时：2学时教课过程一、对坐标的曲面积分的观点1、曲面的侧双侧曲面：若圆滑曲面Σ是非关闭的,其边缘逐段圆滑曲线为L.在Σ上任取一点M0,过点M0作法线,这法线有两个方向,认定此中一个作为M0点出发方向,当动点M从M0出发,沿完整落在Σ上的关闭曲线Γ(Γ不超出Σ的边缘曲线L)运动,再次回到点M0时：若法线的方向与本来的方向一致时,则称曲面Σ是双侧的;若法线的方向与本来的方向相反时,则称曲面Σ是单侧的.第十一章第25页一般曲面都是双侧的.(此后总议论双侧曲面).对关闭曲面Σ而言,其双侧是指内侧和外侧；此中法线方向指向朝外的一侧规定为外侧,另一侧为内侧.对非关闭曲面z=z(x,y)而言,其双侧是指上侧和下侧.此中法向量与z轴正向的夹角小于π/2的一侧为上侧.另一侧为下侧.相同,曲面有左边、右边;前侧、后侧.有向曲面：取定了法向量也即规定了侧的曲面称为有向曲面.1、有向曲面的投影：设Σ是圆滑有向曲面.在Σ上取一小曲面S,(Δσ)xy为S在xoy面上的投影地区的面积.假定S上各点处的法向量与z轴正向的夹角γ的余弦cosγ有相同的符号(即cosγ都是正的或都是负的)规定：S在xoy面上的投影为：()xy,cos0;(S)xy=()xy,cos0;0,cos0即上侧曲面S的投影为正,下侧曲面的投影为负,cosγ≡0即(Δσ)xy=0.同理可定义S在xoz面及yoz面上的投影为：()xz,cos0;()yz,cos0;(S)xz=()xz,cos0;(S)yz=()yz,cos0;0,cos00,cos0此中α,β分别为法向量与x轴正向和y轴正向的夹角.2、流向曲面一侧的流量设稳固流动(流速v与时间t没关)的不行压缩流体(设密度为1)的速度场为：第十一章第26页v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在Σ上连续.流量：即单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量.1）若Σ为平面上面积为A的一块闭地区,且流体在该闭地区上各点处的流速为常向量v,设n为该平面的单位法向量,则单位时间内流过这闭地区的流体质量为：|A|v|cosθ|=|A·|.此中θ=(＾)vnvn流向n侧的流体的质量,即流量Φ规定为：Φ=Av?n.明显当(v＾n)<π/2时,流量为正；当(v＾n)=π/2时,流量为0；当(v＾n)>π/2时,流量为负,此时流体实质上流向-n侧,且流向-n的流量为-Av?n.2）若Σ为有向曲面,流体流向指定侧的流速为v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.现求流体流向指定侧的流量.第十一章第27页将Σ区分为n个小片Si(Si也表示第i个小片的面积),在Si上任取一点(ξi,ηi,ζi),以该点处的流速v(ξi,ηi,ζi)=P(ξi,ηi,ζi)i+Q(ξi,ηi,ζi)j+R(ξi,ηi,ζi)k取代S上各点处的流速,以该点处曲面Σ的单位法向量niiiii取代各点处的单位法向量,则流体流向S指定侧的流量的近似值为：ivi?niΔSi(i=1,2,,n)于是流体流向指定侧的流量为：nΦ≈vi?iSini1n=[P(ξi,ηi,ζi)cosαi+Q(ξi,ηi,ζi)cosβi+R(ξi,ηi,ζi)cosγi]Sii1n=[P(ξi,ηi,ζi)(Si)yz+Q(ξi,ηi,ζi)(Si)xz+R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy]i1令λ→0(λ为各小曲面的最大直径)则得流量Φ的精准值.3、对坐标的曲面积分的定义定义：设Σ为圆滑有向曲面.R(x,y,z)在Σ上有界,把Σ随意分红n次,Si(其面积也记作Si)在xoy面上的投影为(Si)xy,(ξi,ηi,ζi)为Si上的随意一第十一章第28页点,λ为各小曲面的最大直径,若limn,η,ζ)(S)存在,R(ξixy0iiii1则称此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面Σ上对坐标x,y的曲面积分,n记作R(x,y,z)dxdy=limR(ξ,η,ζ)(S)xy0iiiii1此中R(x,y,z)为被积函数,Σ为积分曲面.同理P(x,y,z)在曲面Σ上的对坐标y,z的曲面积分为：nP(x,y,z)dydz=limP(ξi,ηi,ζi)(Si)xz；0i1Q(x,y,z)在曲面Σ上的对坐标x,z的曲面积分为：Q(x,y,z)dxdz=limnQ(ξi,ηi,ζi)(Si)xz；0i1合起来可写成：P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy5、对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分拥有相像的性质,如：第十一章第29页1）Pdydz+Qdxdz+Rdxdy12=Pdydz+Qdxdz+Rdxdy+Pdydz+Qdxdz+Rdxdy122）Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=-Pdydz+Qdxdz+Rdxdy；所以对坐标的曲面积分一定注意曲面的所取的侧.二、对坐标的曲面积分的计算方法定理：设曲面Σ方程为z=z(x,y),取曲面Σ的侧为上侧,Σ在xoy面上的投影地区为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上拥有一阶连续的偏导数,R(x,y,z)在Σ上连续,则有：R(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdyDxyn证明：因为R(x,y,z)dxdy=limR(ξi,ηi,ζi)(Si)xy0i1因为所取曲面为上侧,所以cosγ>0,(Si)xy=(Δσi)xy又因(ξi,ηi,ζi)在曲面上,进而ζi=z(ξi,ηi)于是有：n,η,ζ)(S)=n,η,z(ξ,η)](Δσ)R(ξxyR[ξxyiiiiiiiiii1i1令λ→0,则有：第十一章第30页R(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdyDxy当所取曲面为下侧时,因为cosγ<0,(Si)xy=-(Δσi)xy所以R(x,y,z)dxdy=-R[x,y,z(x,y)]dxdyxy注：对坐标的曲面积分的计算分两步：1）将曲面方程=(,y)代入R(,,z)中,在D上作二重积分；xy2）定号：上侧取+,下侧取-同理若曲面Σ方程为：x=x(y,z),则有：P(x,y,z)dydz=±P[x(y,z),y,z]dydz；yz此中“+”对应曲面的前侧(cosα>0),“-”对应曲面的后侧(cosα<0)；若曲面Σ方程为：=(,z),则有：yyxQ(x,y,z)dxdz=Q[x,y(x,z),z]dxdzxz此中“+”对应曲面的右边(cosβ>0),“-”对应曲面的左边(cosβ<0).例1计算Ix2y2z2dxdy；此中Σ是柱面x2+y2=4介于0≤z≤1之间的部分,法向量指向oz轴.第十一章第31页解因为Σ在xoy面上的投影地区的面积为0,即：(S)xy=0,所以I=0.例2计算I=xyzdxdy,此中Σ是球面222的外侧在x≥0和y≥0x+y+z=1=1的部分.解将Σ分为Σ1和Σ2两部分,此中Σ1：z=-1x2y2,取下侧；Σ2：z=1x2y2,取上侧.12在xoy面上的投影地区均为xy：22Σ和ΣDx+y≤1,x≥0,y≥0.I=xyzdxdy=xyzdxdy+xyzdxdy12=-xy(-1x2y2)dxdy+xy1x2y2dxdyDxyDxy=2xy1x2y2dxdyxy第十一章第32页=22d12rdrrcosrsin1r00=22sincosd131r2dr=2/15r00例3计算：I=22≤z≤1),其法向量与z(2x+z)dydz+zdxdy此中Σ：z=x+y(0轴正向的夹角为锐角.解将Σ分为Σ1和Σ2两部分，此中Σ1：x=zy2,取后侧；Σ2：x=-zy2,取前侧.Σ和Σ2在yoz面上的投影地区均为D：y≤z≤1.1yz2(2x+z)dydz=(2x+z)dydz+(2x+z)dydz12=(2zy2+z)dydz+(-2zy2+z)dydzDyzDyzzy2dydz=-4112dz=-41dyy2zyyz122318123[(zy)2dy=-)2dy=-4]y23(1y131第十一章第33页=-16(13dy=-162cos4d13030=-16?3?1?=-π3422Σ在xoy面上的投影地区均为Dxy：x2+y2≤1.Σ取上侧212rdr=π/2zdxdy=(x2+y2)dxdy=dr00xy所以I=(2x+z)dydz+zdxdy=(2x+z)dydz+zdxdy=-π+(π/2)=-π/2注：对坐标的曲面积分的计算,当为组合型时,依照“一投、二代、三定号”的法例,先将单一型的曲面积分划为二重积分,而后再组合.这里：“一投”：将积分曲面Σ投向单一型曲面积分中指定的坐标面；“二代”：将Σ的方程化为投影面上两变量的显函数,再用此函数取代被积函数中的另一变量；“三定号”：依照Σ所取的侧,确立二重积分前面的所要取的“+”或“-”.此中“+”对应于Σ的上侧或前侧或右边；“-”对应于Σ的下侧或后侧或左边.作业：P20314(1)(2)(4)(5)教课后记：第十一章第34页复习思虑题：计算Ix2y2z2dxdy；此中Σ是柱面x2y24介于0≤z≤1之间的部分,法向量指向oz轴.解说内容§16高斯公式与斯托克斯公式教课目标与要求：1、理解并掌握高斯公式;2、掌握通量与散度的观点;会利用高斯公式计算曲面积分.3、理解并掌握斯托克斯公式及其证明;4、掌握向量场的环流量与旋度;会利用斯托克斯计算闭曲线上的曲线分.教课重难点：要点—会用高斯公式，斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.第十一章第35页难点—高斯公式,散度.高斯公式的证明.斯托克斯公式,斯托克斯公式的证明.教法方法：讲练联合教课法教课建议：学时：2学时教课过程一、高斯公式定理1设空间闭地区是由分片圆滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上拥有一阶连续偏导数则有(P+Q+R)dv=Pdydz+Qdxdz+Rdxdyxyz或(P+Q+R)dv=(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dSxyz简要证明设是一柱体上界限曲面为1zz2(x,y)下界限曲面为2zz1(x,y)侧面为柱面31取下侧2取上侧3取外侧依据三重积分的计算法有Rdvz2(x,y)dxdyzz1(x,y)Dxy

dzz{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdyxy第十一章第36页另一方面有R(x,y,z)dxdyR[x,y,z1(x,y)]dxdy1DxyR(x,y,z)dxdyR[x,y,z2(x,y)]dxdy2DxyR(x,y,z)dxdy03以上三式相加得R(x,y,z)dxdy{R[x,y,z2(x,y)]R[x,y,z1(x,y)]}dxdyxyRzdvR(x,y,z)dxdy所以近似地有PdvP(x,y,z)dydzxQdvQ(x,y,z)dzdxy把以上三式两头分别相加即得高斯公式例1利用高斯公式计算曲面积分ò(xy)dxdy(yz)xdydz此中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭地区的整个界限曲面的外侧解这里P(yz)xQ0Rxy第十一章第37页PyzQ0R0xyz由高斯公式有(xy)dxdy(yz)dydz(yz)dxdydz(sinz)dddz2139dd(sinz)dz2000例2设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭地区Ω上拥有一阶和二阶连续偏导数,证明：uvdxdydz=uvdS-(uv+uv+uv)dxdydznxxyyzz或许uvdxdydz=uvdS-(gradu?gradv)dxdydzn此中Σ是闭地区Ω的整个界限曲面,v为函数v(x,y,z)沿Σ的为法线方向的方n222导游数,符号：Δ=x2+y2+z2称为Laplace算子.此公式称为格林(Green)第一公式证明因为v=vcosα+vcosβ+vcosγnxyz此中cosα,cosβ,cosγ是Σ上点(x,y,z)处的单位法向量的方向余弦,所以：第十一章第38页uvdS=u(vcosα+vcosβ+vcosγ)dSnxyzgauss[(uv)+(uv)+(uv)]dxdydzxxyyzz=uvdxdydz+(uv+uv+uv)dxdydzxxyyzz移项即得所需等式.例3设Σ为圆滑关闭曲面,n是Σ的外法线向量,l为一固定向量,θ为n与l的夹角,证明：cosθdS=0.解可设：n=(cosα,cosβ,cosγ),l=(a,b,c),且都是单位向量.Σ所围地区为,则cosθ=n?l=acosα+bcosβ+ccosγ|n||l|所以：cosθdS=(acosα+bcosβ+ccosγ)dS=0dv=0二、通量与散度高斯公式的物理意义将高斯公式第十一章第39页(PQR)dv(PcosQcosRcos)dSxyz改写成(PQR)dvvndSxyz此中vnvnPcosQcosRcosn{coscoscos}是在点(xyz)处的单位法向量公式的右端可解说为单位时间内走开闭地区的流体的总质量左端可解说为散布在内的源泉在单位时间内所产生的流体的总质量散度设的体积为V由高斯公式得1(PQR)dv1vndSyVxzV其左端表示内源泉在单位时间单位体积内所产生的流体质量的均匀值由积分中值定理得(PQR)|1vdSxyz(,,)Vn令缩向一点M(xyz)得PQRlim1vndSxyzMV上式左端称为v在点M的散度记为divv即PQRdivvxyz第十一章第40页其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量一般地设某向量场由A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k给出此中PQR拥有一阶连续偏导数是场内的一片有向曲面n是上点(xyz)处的单位法向量则AndS叫做向量场A经过曲面向着指定侧的通量(或流量)而PQR叫做向量场A的散度记作divA即xyzdivAPQRxyz高斯公式的另一形式divAdvòAndS或divAdvòAndS此中是空间闭地区的界限曲面而AnAnPcosQcosRcos是向量A在曲面的外侧法向量上的投影三、斯托克斯公式定理1设为分段圆滑的空间有向闭曲线是以为界限的分片圆滑的有向曲面的正向与的侧切合右手规则函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同界限)上拥有一阶连续偏导数则有(RQ)dydz(PR)dzdx(QP)dxdyPdxQdyRdzyzzxxy记忆方式第十一章第41页dydzdzdxdxdyxyPdxQdyRdzzPQR或coscoscosxydSPdxQdyRdzzPQR此中n(coscoscos)为有向曲面的单位法向量议论假如是xOy面上的一块平面闭地区斯托克斯公式将变为什么?例1利用斯托克斯公式计算曲线积分?zdxxdyydz此中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个界限它的正向与这个三角形上侧的法向量之间切合右手规则解设为闭曲线所围成的三角形平面在yOz面、zOx面和xOy面上的投影地区分别为Dyz、Dzx和Dxy按斯托克斯公式有dydzdzdxdxdy?zdxxdyydzxyzzxydydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy3dxdy3DyzDzxDxy2Dxy例2利用斯托克斯公式计算曲线积分I(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz第十一章第42页此中是用平面xyz30x10y10z1的表面所得的截痕若截立方体2从x轴的正向看去取逆时针方向3解取为平面xyz的上侧被所围成的部分的单位法向量2n1(1,1,1)即coscoscos1按斯托克斯公式有331113334IydS(xyz)dS3xzy2x2z2x2x2y243dS233dxdy32Dxy此中Dxy为在xOy平面上的投影地区于是I6dxdy63942DxydydzdzdxdxdyIy2(yz)dydz(xz)dzdx(xy)dxdyxzy2z2z2x2x2y2提示第十一章第43页coscoscos4(xyz)xyzx2x23y2x2z2y2dS121212dxdyI4(xyz)dS43dS233dxdy6dxdy92332DxyDxy四、环流量与旋度旋度向量场A(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))所确立的向量场(RQ)i(PR)j(QP)kyzzxxy称为向量场A的旋度记为rotA即rotA(RQ)i(PR)j(QP)kyzzxxyijkrotAyzxPQR旋度的记忆法斯托克斯公式的另一形式rotAndSAds或(rotA)ndSAds此中n是曲面上点(xyz)处的单位法向量是的正向界限曲线上点(xyz)处的第十一章第