2019-2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：二次函数的图像与性质

11/112019-2021北京重点校初三（上）期中数学汇编二次函数的图像与性质一、单选题1．（2019·北京八中九年级期中）抛物线的对称轴是（）A． B．C． D．2．（2019·北京八中九年级期中）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣33．（2019·北京八十中九年级期中）函数y＝x²＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（）A．4和－3 B．－3和－4 C．5和－4 D．－1和－44．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）二次函数图象的顶点坐标是（）A． B． C． D．5．（2019·北京四中九年级期中）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）6．（2020·北京四中九年级期中）已知A(，y1），B(1，y2），C(4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y17．（2021·北京师大附中九年级期中）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）8．（2021·北京四中九年级期中）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣29．（2021·北京八中九年级期中）抛物线的对称轴为（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线10．（2020·北京四中九年级期中）函数y=(x+1)2-2的最小值是（）A．1 B．－1 C．2 D．－211．（2020·北京师大附中九年级期中）抛物线的顶点坐标是（）A．（1，3） B．（－1，3） C．（－1，－3） D．（1，－3）12．（2021·北京八十中九年级期中）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（）A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）二、填空题13．（2019·北京八中九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：抛物线开口向下；已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____．14．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．15．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式_____．16．（2021·北京师大附中九年级期中）已知A（，），B（1，），C（4，）三点都在二次函数的图象上，则、、的大小关系为_______．三、解答题17．（2019·北京八中九年级期中）已知是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．18．（2019·北京市陈经纶中学九年级期中）吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整（1）该函数的自变量x的取值范围是．（2）列表：x…﹣2﹣10123456…y…m﹣1﹣5n﹣1…表中m＝，n＝．（3）描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：（4）观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．19．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+2ax（0＜a＜3）上，其中x1＜x2．（1）求抛物线的对称轴；（2）若A（﹣2，y1），B（0，y2），直接写出y1，y2的大小关系；（3）若x1+x2＝1﹣a，比较y1，y2的大小，并说明理由．20．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．(1)当x＝50时，总利润为元；(2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是；(3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？

参考答案1．C【分析】根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．【详解】抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．C【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．3．C【详解】解：将二次函数y＝x²＋2x－3(－2≤x≤2)配方可得：根据二次函数图像性质：该二次函数开口方向向上，当时，函数有最小值，最小值是，再将和分别代入二次函数求函数值进行比较可以求出当，函数有最大值，最大值是5，故选：C4．A【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵，∴二次函数图像顶点坐标为：.故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5．D【详解】试题分析：∵抛物线y=﹣（x+2）2﹣3为抛物线解析式的顶点式，∴抛物线顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选D．考点：二次函数的性质．6．B【分析】由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出y1、y2、y3的大小关系．【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2的图象开口向下，对称轴为x＝2，在对称轴左侧，y随x的增大而增大∴C（4，y3）关于对称轴的对称点为（0，y3），∵﹣＜0＜1＜2，∴y1＜y3＜y2，故选：B．【点睛】本题考查比较函数值的大小．解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越大．7．D【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．8．B【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝h可得答案．【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，熟知二次函数顶点式为，顶点坐标为，对称轴为直线．9．D【分析】由y=a（x-h）2+k的对称轴是直线x=h可得答案．【详解】解：抛物线y=-（x+1）2+2的对称轴是直线x=-1，故选：D．【点睛】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h．10．D【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.11．A【分析】根据次函数y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0）的性质求解即可.【详解】抛物线的顶点坐标是（1，3）.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k

（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下，其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h.12．D【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．13．y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）【分析】根据顶点在x轴上，开口方向向下，可以确定该函数的形式为y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），即可确定答案.【详解】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：y＝﹣a（x﹣b）2（a＞），写出一个满足该形式的解析式即可，如y＝﹣（x﹣1）2,答案不唯一.故答案为y＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于熟记并灵活运用二次函数解析式——顶点式.14．【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解得，∴抛物线解析式为，设CD、EF分别与轴交于点M和点N，当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中，得到：，解得，(负值舍去)，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．15．y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【分析】因为开口向上，所以a＞0；根据对称轴为x＝3，可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．【详解】依题意取a＝1，顶点坐标（3，﹣3），由顶点式得y＝（x﹣3）2﹣3．即y＝x2﹣6x+6．故答案为：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式，顶点坐标是，对称轴是时，开口向上，时，开口向下．16．y1＜y3＜y2【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数的图像开口方向向下，对称轴是x=2，∴A（，）距对称轴的距离是，B（1，）距对称轴的距离是1，C（4，）距对称轴的距离是2，∵，∴故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．17．m=-1，开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.【分析】利用二次函数的定义：x的最高项的次数为2，二次项系数不为0求得m的值，再利用配方法求出二次函数的顶点坐标及对称轴即可.【详解】由题意得，解得m=-1，∴开口向下，顶点坐标（），对称轴：直线.18．（1）一切实数（2）-，-（3）见解析（4）该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称【分析】（1）分式的分母不等于零；（2）把自变量的值代入即可求解；（3）根据题意描点、连线即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【详解】（1）由y＝知，x2﹣4x+5≠0，所以变量x的取值范围是一切实数．故答案为一切实数；（2）m＝，n＝，故答案为-，-；（3）建立适当的直角坐标系，描点画出图形，如下图所示：（4）观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数有最小值没有最大值；②该函数图象关于直线x＝2对称．故答案为该函数有最小值没有最大值；该函数图象关于直线x＝2对称【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．19．（1）x=-1；（2）=；（3）<．【分析】（1）根据对称轴与系数的关系可以直接求得对称轴为：x==-1；（2）利用对称轴到点的距离进行判定y值即可；（3）利用作差法，将表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可．【详解】解：（1）由题意得：对称轴x==-1；（2）∵0＜a＜3，∴抛物线开口向上，又∵对称轴x=-1，∴，∴A、B两点到对称轴的距离相等，即：=（3）由题意得：====∵0＜a＜3，x1＜x2∴<0，即：<．【点睛】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．20．(1)（元）；(2)；(3)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得；（2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w