2.3隐函数的导数和高阶导数

3576yx612x2xy高等数学教3576yx612x2xy§隐数导由数程确的数求§高阶导一隐数导1.隐数概念显函数如y)的函数称为显函如x

隐函数方F(所定函数称为隐函数定隐函数为yy1如果在方程(x)中x取区间内的任一值应地总有满足这方程的唯一的值么就说方程(x在区间内确定了一个隐函把一个隐函数化成显函数做函数的显化函数的显化有时是有困难的至不可能的在实际问题中时要计算隐函数的导数们望有一种方法管隐函数能否显能接由方程算出它所确定的隐函数的导数2.隐数求导则在方程F中，将y看的函数，方程两边对x求，到个含有变量y，解出即是所求隐函数的导数例1．求由方程确定的隐函数y的数解方两边的每一项对求导数得(e)即

e

从而

y

yx

(

例2．求由方程所定的隐函数y解方程两边分别对x求数得y

(在x处的导数y由此得

5因为当x原方程得y

15y4

例3求椭圆(2,处切线方程16解椭圆方程的两边分别对x求导从而

9

()yxxy1sinsinsinxx1()yxxy1sinsinsinxx1y1111yy111x时y当x时y3入式得所求切线的斜率k

x

所求的切线方程为y3(x333.对求法步骤）函数x)的两边取自然对（2运用隐函数求导法则求出的数对数求导法适用于求幂指函数y()]的数及多因子之积和商的导例4．求

sin

(x的数解法一边对lnxx上式两边对x求1y于是

x)sinx(cos)x解法二种指函数的导数也按下面的方法yy

(sinx)

)x例5求函数

(x(x

的导数解在边取对(假定xlnx2上式两边对x求)y2xx于是

)2xx当x<1时

)((3)(3)

用同样方法可得与上面相同的结注格说题分x结果都是一样的二由数程确的数导设y与的函数关系是由参数方程

xy

确定的称此函数关系所表达函数为由参数方程所确

或t)costby0或t)costby01定的函数在实际问题要算由参数方程所确定的函数的导从参数方程中消去参数t有时会有困因此们望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导设x有单调连续反函数t()此反函数能与函数y构成复合函数x)]x和y可dtdydxdtdxdy

dt即dxdt若x可导

例6求椭圆

xcostyt

在相应于t点的切线方程解

tt)t所求切线的斜率为

dydx

t

4

切点的坐标为x0

22切线方程为y(x)2aba2例7．抛射体运动轨的参数方程为

xtytgt22

抛体在时刻t的动速度的大小和方解求速度的大速度的水平分量与垂直分量分别为x12所以抛射体在时刻的动速度的大小为[22v)2再求速度的方向设线倾轨的切线方向为

dyy2dxxv1

三高导1.高导的概一般地数y)的导数y的们做函数)的二阶导数

()(4)(4)(n(()()xy()(4)(4)(n(()()xy)i)ix)i记作y

d2

即

y

d2yddxdx相应地y)的导数f做函数x的一阶导数类似地阶导数的导数做阶导阶导数的导数叫做四阶导导数叫做阶数别作y

(n)

或

dydny3

函数fx)具有阶数常说成函数f为n阶可导果函数f(x)在点x处有阶数么数fx)点x的一邻域内必定具有一切低于n阶导阶二阶以上的数统称高阶导y导2.高导的计例8．y解例9．t

解

t

2

sin

t例10求函数的n阶数解一般地得y

即

(e)例11．求正弦函数与余弦函数的阶数解yix)2)i