2021-2022学年甘肃省白银市高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年甘肃省白银市会宁三中高三（上）第三次

月考数学试卷（理科）

1.设集合4=[0,2,4,6,8,10},B={x\2x-3<4},则4nB=()

A.{4,8}B.{0,2,6}C.[0,2}D.{2,4,6}

2.复数z=l-2i,则"：=()

A.2iB.-2C.-2iD.2

3.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当尤20时，f(%)=log2(x+l),则/(-3)=()

A.—2B.—1C.2D.1

4.已知等比数列｛〃｝中，有展3%i=4a7,数列｛%｝是等差数列，其前"项和为打，且

b7=a7,则S】3=()

A.26B.52C.78D.104

5.如图，在△力BC中，AN=^NC,P是8V上一点，若而=£荏+

1AC，则实数，的值为（）

A.|

2

B.

5

C.1

6

D.3

4

%—y+3<0

6.已知实数x,y满足3x+y+5W0,则z=久+2y的最大值为（）

U4-3>0

A.4B.5C.6D.7

7.设a,£为两个平面，则a〃。的充要条件是（）

A.a内有无数条直线与0平行B.a内有两条相交直线与0平行

C.a,夕平行于同一条直线D.%。垂直于同一平面

8.已知函数/（%）=sin（2x+§,^（x）=sinx,要得到函数y=g（x）的图象，只需将

函数y=/（%）的图象上的所有点（）

A.横坐标缩短为原来的;，再向右平移g个单位得到

26

B.横坐标缩短为原来的土再向右平移半个单位得到

C.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移£个单位得到

D.横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移g个单位得到

9.函数y=loga（x+2）-l（a>0,aH1）的图象恒过定点A,若点A在直线+九y+

1=0上，其中?n>0,n>0,则三+三的最小值为（）

mn

A.3+2V2B.3+2V3C.7D.11

10.已知△ABC是面积为竽的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表

4

面积为16兀，则O到平面ABC的距离为()

A.V3B.-C.1D.-

22

11.若2%—2、V3r—3-y,则()

A.ln(y—x+1)>0B.ln(y—%+1)<0

C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

12.设函数/(x)=等，若关于x的不等式/(x)>ax有且只有一个整数解，则实数。的

取值范围为()

A(吟阴B.呼,竽)C.(哈言D.

13.正弦函数y=sinx在［0身上的图象与x轴所围成曲边梯形的面积为.

14.设S”是数列｛an｝的前〃项和,点(n,0n)(n€N*)在直线y=2”上,则an+

Sn=______

15.已知五=(2sinl3°,2sin77°),\a-b\=1,五与豆一区的夹角为多则五工=.

16.已知锐角AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,〃,c,若c=V5,a2+/)2一品=3,

则△ABC面积的取值范围是.

17.在△ABC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=6,cosA=2

8

(1)若匕=5,求sinC的值；

(2)△ABC的面积为苧，求b+c的值.

18.已知函数f(%)=(2cos2x—l)sin2x+|cos4x.

(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；

(2)若a6(0,兀)，且/'常一g)=冬求tan(a+g)的值.

19.已知数列｛。工是公差不为0的等差数列，首项4=1,且％,a2,成等比数列.

(团)求数列｛即｝的通项公式；

(团)设数列｛%｝满足%=an+2",求数列｛与｝的前n项和

20.已知直三棱柱ABC-ABiG中，侧面44道道为正方形，AB=BC=2,E,F分别

为AC和CQ的中点，BF1AXBX.

(1)求三棱锥F-EBC的体积；

(2)已知。为棱4Bi上的点，证明：BF1DE.

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21.已知函数f(%)=Inx一土.

(1)讨论/(%)的单调性，并证明/(%)有且仅有两个零点；

(2)设X。是/(%)的一个零点，证明曲线y=Inx在点AQo/nXo)处的切线也是曲线y=

蜻的切线.

22.已知函数/(%)=ae*-为常数)，点A的横坐标为0,曲线y=f(x)在点4

处的切线方程为y=-x+l.

(回)求小b的值及函数/(%)的极值；

(回)证明：当％>0时，ex>x2.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：：B=(x\2x-3<4}=(x\x<4nB={0,2}.

故选：C.

求解一元一次不等式化简集合B,然后直接利用交集运算得答案.

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题.

根据复数代数形式的运算法则，化简计算即可.

【解答】

解：复数z=1-2i,

yiljZ2+3(1-2i)2+31—4i-4+3-4i?

、Jz-1-(l-2i)-l-1-21-1~~-2i~~・

故选D.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性的性质及应用，对数的运算，关键是掌握函数奇偶性的定义，属

于基础题.

根据题意，由函数的解析式可得f(3)的值，结合函数的奇偶性分析可得，(-3)=-f(3),

即可得答案.

【解答】

解：根据题意，当x20时，/(x)=log2(x+1),

则/(3)=log24=2,

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以/(-3)=-/(3)=-2,

故选：A.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

由等比数列的中项性质可得。7=4,再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和.

本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，考查方程思想和运算能力,

属于基础题.

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【解答】

解：等比数列｛。九｝中，a3ali=4的，

可得=4a7，解得劭=4,

数列｛%｝是等差数列,且厉=%=4,

则S13=：x13（瓦+瓦3）=13b7=13x4=52.

故选B.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键,

属于中档题.

由题意，可根据向量运算法则得到方=|m而+（l-m）荏，从而由向量分解的唯一

性得出关于f的方程，求出f的值.

【解答】

解：设而=771前，

由题意及图，AP^AB+BP^AB+mBN

=AB+m(AN-AB)=mAN+(1-m)AB,

又前=：而，所以丽=|前，

*Q■■♦■>

•.AP=jmAC-k(l-m)AB,

又Q=t南+7，

(1—m=tr1

所以2切_1,解得m=：,t=i,

m66

(s-3

故选c.

6.【答案】B

x-y+3W0

【解析】解：先根据实数x,y满足3x+y+5WO

,x+3>0

画出可行域，由。-0解得“（一3,4）

“r_yT0-U

设z=x+2y,

将z的值转化为直线z=x+2y在y轴上的截距的

一半，

当直线z=%+2y经过点4（一3,4）时，z最大,

最大值为：5.

故选：B.

先根据约束条件画出可行域，由z=%+2y,再利用z的几何意义求最值，只需求出直

线z=2%+y过可行域内的点5时，从而得到z=%+2y的最大值即可.

本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想,

属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出

可行域、求出关键点、定出最优解.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基础题.

由充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论.

【解答】

解：对于A,a内有无数条直线与£平行，a与0相交或a〃夕；

对于8,a内有两条相交直线与£平行，则a〃色

对于C,a,夕平行于同一条直线，a与£相交或a〃八

对于。，a,/?垂直于同一平面，a与0相交或a〃八

故选B.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换和伸缩

变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.

直接利用三角函数关系式的恒等变换和关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.

【解答】

解：函数/'(x)=sin(2x+》

把函数的横坐标伸长为原来的2倍，得到：y=sin(x+9,

再向右平移g个单位得到g(x)=sinx,

故选D.

9.【答案】A

【解析】解：函数y=loga(x+2)-l(a>0,a1)的图象恒过定点4(一1,一1),

•••点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0,n>0,—m—n+1=0,即m+n=1.

则工+2=(6+n)(l+^)=3+-+—>3+2—=3+2V2,当且仅当n=

mnmnmny/mn

V2m=2-a时取等号.

故选：A.

函数y=loga(x+2)-l(a>0,aK1)的图象恒过定点A(-1,-1),可得m+n=1.于是

-+-=(m+n)(-+-)=3+-+—,再利用基本不等式的性质即可得出.

mnKynzmn

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本题考查了对数函数的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形，利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径，然后求解。。1即可.

本题考查球的内接体问题，求解球的半径，以及三角形的外接圆的半径是解题的关键.

【解答】

解：由题意可知图形如图：A4BC是面积为乎的等边三角形，可得¥?182=苧，

444

AB=BC=AC=3,

可得：40]=|xx3=V3,

球。的表面积为16兀，

外接球的半径为：4TTR2=16兀，解得R=2,

所以O到平面ABC的距离为：V4^3=1.

故选：C.,----------、

11.【答案】4/\

【解析】1

【分析】\/：c/

本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的\，一二二21'、、/

应用，属于中档题.一一3，

由2m-2、<3-x-3-y,可得2X-3-X<2旷一3力，'/

令/(x)=2乂-3-X,则/(%)在R上单调递增，且/(x)</(y),结合函数的单调性可得X,

y的大小关系，结合选项即可判断.

【解答】

解：由2*-2"<3--3力，可得2'-3-*<2>-3-丫，

令f(x)=2、-3-“，则汽乃在R上单调递增,且f(x)</(y),

所以％<y,即y-%>0,

由于y-%+1>1,故ln(y-%4-1)>Ini=0,

因为不确定|x-y|与1的大小，故C。错误，

故选：A.

12.【答案】B

【解析】解：•."(%)>ax只有一个整数解，即。<詈只有一个整数解,

本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题

13.【答案】i

TT2E

【解析】解：S=sinxdx=-cos%=一(cosg-cosO)=-(|-1)=

故答案为：1

由定积分的几何意义知，S=jfsinxdx,再根据定积分的运算法则求解即可.

本题考查利用定积分求曲多边形的面积，理解定积分的几何意义是解题的关键，属于基

础题.

14.【答案】n2+3n

【解析】解：点(n,%i)(nGN*)在直线y=2x上，

可得an=2n,即数列｛an｝为首项和公差均为2的等差数列，

贝|JS“=|n(2+2n)=n2+n,

2

可得a”+Sn=n+3n,

故答案为：n2+3n.

由题意可得数列｛a“｝为首项和公差均为2的等差数列，运用等差数列的求和公式，计算

可得所求和.

本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】3

【解析】解：a2=4sin213°+4sin277°=4siM13°+4cos213°=4,

|a|=2.

•••\a-b\=1,五与Z-3的夹角为今

a-(a-K)=|a||a-K|cos^=1,

.-.a2-ab=l,

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Aa-h=a2—1=3.

故答案为：3.

求出|五I，得出方•(a—h)=\a\\a-b|cosg=1,于是2-h=a2-1=3.

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

16.【答案】谓,乎］

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，以及学生对三角函数基础知识的综合运用,

属于较难题目.

根据已知条件，运用余弦定理，可得C=p再结合正弦定理，可得ab=2sin42sinB=

2sin(24-刍，根据A的取值范围，可得仍值得取值范围，即可求解.

6

【解答】

解：•・•c=V3,a2+b2—ab=3,

・•・a2b2—ab=c2,

又丁由余弦定理,可得上+坟一c2=2ab•cosC,

:.2cosC=1,HPcosC=p

•・•CE(0,7T),

C=p

••・4+B=7T—Z=—,

33

•••△ABC为锐角三角形，

■■■-Ae

由正弦定理，可得=—r~r—~~~―—2,即a=2sin7l,b—2sinB,

Sin4sinBsinC里2

27rV31

ab=2sinA-2sinB=2sin4-2sin(———』)=4sin4•(—cosA4--sin/l)

=2v5sinAcosA+2sin2i4

=V3sin24+1-cos2A=2亭in2A-|cos2/l)+1=2sin(24-J)+1,

A-7T</2°AA——兀<，——5兀,

666

:.二%Vsin(2/l—W1,

•，.2<ab<3,

43C面积SMBC=1absinC=1aft-=

v2<ah<3,

近/c,3旧

・••y<4ABe0

故4ABC面积的取值范围是(4,手].

故答案为：弓，噜.

17.【答案】解：(1)由cosA=；,

O

则OV/<g,且sin/=乎，

28

由正弦定理可得：sinB=2sinA="，

a16

因为b<a,

所以0<B<4<]

所以cosB=—,

16

可得：sinC=sin(4+8)=sinAcosB+cosAsinB=，，

(2)SMBC=--besinA=-bcx—=

・•・be=20,

22

可得：Q2=炉+c?-2bccosA=b+c-2x20x-=36,

8

-b2+c2=41,可得：(b4-c)2=b2+c2+2bc=414-40=81,

••・b+c=9.

【解析】(1)由已知及同角三角函数基本关系式可求sin4的值，由正弦定理可得sin8=

±sinA="，进而由0<B<4<],可求cosB=S利用三角形内角和定理，诱导公

a16216

式，两角和的正弦函数公式可求sinC的值；

(2)利用三角形的面积公式可求尻=20,利用余弦定理可得坟+°2=41,联立可求b+c

的值.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，

两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查

了计算能力和转化思想，属于中档题.

18.【答案】解：(1).••函数/(%)=(2cos2x-l)sin2x+|cos4x.

1

=cos2xsin2x4--cos4x

11

=-sin4x4--cos4x

22

=ysin(4x+^),

•••f(x)=ysin(4x+^),

.r=£Z=Z

42

令5+2/CTTW4%+1W+2/CTT,kWZ,

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・•・-4-2kn<4%<—+2kn,

44

n.kn..5n.kn._„

•••/+三工工工痴+3'k-,

・,・单调减区间邑+等，噂+”),(fc€Z),

16Z162.

(2)根据(1),

fW=ySin(4x+^),

any/2ann

•■1/(4-8)=TSin[4(4-8)+4]

V2.,7T.V2

一~sin(a-1)--2-，

・•・sin(a—$=1,

aE(0,7T),

7T_/7137r、

nn

Aa--=一,

42

:，a=一37T,

4

n3nn

・・・tan(a+§)=tan(彳+§)

3n,n

tan-^-4-tan-1+V3

ix.37rAn

1—tan不tan91-(-1)xV3

V3-1L

n=2一百.

二tan（a+的值2-低

【解析】本题重点考查了三角公式、辅助角公式、两角和的正切公式、三角函数的图象

与性质等知识，属于中档题.

（1）首先，化简函数解析式，然后利用辅助角公式进行化简，然后，根据三角函数的周

期公式和单调性进行求解即可：

（2）根据（1）,得到/》=¥sin[4（；—得到相应的a的值，然后，利用两角

和的正切公式进行求解即可.

19.【答案】解：（团）设数列｛斯｝的公差为4，由题设，谩=①。4，…（2分）

即（1+d/=1+3d,解得d=0或d=1…（4分）

又；d力0,二d=1,可以求得即=n…（6分）

（助由（回）得九=几+2”，

%=（1+2】）+（2+22）4-（3+23）+…+（九+2=）=（1+2+3+…+n）+（2+

22+—+2n）="罗+2n+1-2…（12分）

【解析】（/）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.

（〃）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出.

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力,

属于中档题.

201答案】解:(1)在直三棱柱4BC-中，1必当

又BFl&Bi，BB[CBF=B,BFu平面BCCi'i，

•••ArBr_L平面BCGBi，

yABHA、B\,

AB1平面BCGBi，又BCu平面BCG

•.AB1BC,

______c

又48=BC,故AC=+22=2y/2,

■■CE=V2=BE,

而侧面441&B为正方形，

11

・・・CF=-CC=-AB=1,

2r12

V=三SbEBC.CF=三乂卜版x近即三棱锥F-EBC的体积为M

(2)证明：如图，取BC中点G,连接EG,BiG,设&GnBF=H,

・・•点E是AC的中点，点G时BC的中点，

•••EG//AB,

：.EG//AB//BXD,

:•E、G、B]、。四点共面，

由(1)可得4BJL平面BCG/,

二EG平面BCGBi，又BFu平面BCCiBi，

BF±EG,

・・・tanZ-CBF=^=itanZ^FjG=瞿=；，且这两个角都是锐角，

BC2B2

乙CBF=乙BB]G,

•••Z-BHB1=乙BGB]+Z.CBF=Z-BGB1+Z-BBrG=90°,

BF_LB】G,

又EGnB】G=G,EG,8道u平面EGBQ

­••BF，平面EGBW，

又DEu平面EGBi。，

BF1DE.

【解析】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解

能力及逻辑推理能力，属于中档题.

(1)先证明48,平面BCG/,即可得到4B1BC,再根据直角三角形的性质可知CE=

V2=BE,最后根据三棱锥的体积公式计算即可；

(2)取BC中点G,连接EG,BiG,先证明EG〃4B〃B]。，从而得到E、G、当、力四

点共面，再由(1)及线面垂直的性质定理可得BF1EG,通过角的正切值判断出NCBF=

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NBBiG,再通过角的代换可得，BF1&G,再根据线面垂直的判定定理可得BF1平面

EGB\D,进而得证.

21.【答案】解析：(1)函数f(x)=lnx—=,定义域为：(O,1)U(l,+oo)

x-l,

+。>°且久力1),

••./(X)在(0,1