2021-2022学年河北省保定市莲池区八年级（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年河北省保定市莲池区八年级（下）期末数

学试卷

1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.如果小>71,那么下列结论中正确的是（）

A.m2>n2B.—m<—nC.—<-D.->1

mn

3.下列多项式中，能进行因式分解的是（）

A.x2+x+1B.-x'z—2x+1C.-x2y2

4.如图，41,Z2,N3是五边形ABCDE的三个外角,

边CD,AE的延长线交于点F,如果41+42+N3=

225。，那么NDFE的度数是（）

A.45°B.55。C.65°D.75°

5.下列式子从左到右的变形一定正确的是（）

Ab+2bn匕匕

A.—=一B.—=----

Q+2Q2—QCL—2

C心=些D.4=-

aacaza

6.不等式3。-2）<5的正整数解的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF,正确的

变换是（）

A.把△ABC绕点C逆时针方向旋转90。，再向下平移2格

B.把△力BC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180。

C.把△力BC绕点C顺时针方向旋转90。，再向下平移5格

D.把44BC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180。

如图，函数y=4%+”卜+40）的图象经过点8（2,0）,与函

数y=2%的图象相交于点A,则关于x的不等式2x<kx+

b的解集为（）

A.%<0

B.%<1

C.%>1

D.x>2

9.小颖乘公交车去离家20千米的展览馆看画展，出发15分钟后，爸爸发现小颖忘带

门票了，于是立即开车给她送门票，结果两人同时到达展览馆，若开车的平均速度

是公交车的平均速度的1.5倍.若设公交车的平均速度为x千米/时，根据题意，可

列方程为（）

「2020y八20201n20201

A.---=15D.------=15C.------=-D.-----------------=-

1.5xxxl.Sxl.Sxx4x1.5x4

10.下列平行四边形中,其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（）

B.

11.

A.xH—1B.x力1x力-1或x力1D.x#—1且x丰1

12.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=8,A£＞平分

484c交BC于点。，点E为AC的中点，连结OE,

则ACOE的周长等于（）

A.13

B.14

C.15

D.16

13.0ABe。中，E,尸为对角线4c上不同的两点，下列

条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的

是（）

A.BE=DFB.AE=CF

C.DE//BFD.AADE=乙CBF

14,若—=2,则芸的值为()

aba—b

A.--B.-C.-2D.2

22

15.如图所示，已知在△ABC中，=90。，AE=AC,DE1.AB

A44

交A8于点E,若48=40°,贝ij乙4DE=()\

E

第2页，共17页

DB

A.50°

B.55°

C.65°

D.70°

16.如图，将。ABC。沿对角线AC进行折叠，折叠后点。

落在点尸处,AP交8c于点E,有下列结论:①4ABgA

CFB；®AE=CE-,③BF"AC；@BE=CE,其中正确

结论的个数是()

A.1

B.2

C.3

D.4

17.若多项式/+6一28因式分解为。一4)(x+7),则。=,

18.已知方程咦=3-唉有增根，则a的值为____.

x-5x-5

19.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD=18cm,

BC=15cm,点、P在4。边上以每秒2c,"的速度从点

A向点。运动，点。在BC边上，以每秒1。"的速度

从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另

一点也停止运动，则运动时间为秒时，直线尸。在四边形A8C。内部截出一

个平行四边形.

20.计算

⑴因式分解5M—45；

(2)解方程各一・=京；

(-1—2(%—1)<5

(3)解不等式组竺1,并把它的解集表示在数轴上.

I2%+5

，1^1，L1AI____________|____________

-4-3-2-101234

21.先将--+《驾+会化简，再从0,1,2三个数中选择一个合适的数作为x的值

l-Xxz-2x+lx+2

代入求值.

22.如图，点，F,C,E在直线/上(F,C之间不能直接测量)，点A、。在/异侧，测得

AB=DE,AC=DF,BF=EC.

(1)求证：AABC^ADEF；

(2)连接ARCD,求证：四边形4FDC是平行四边形.

A

23.阅读与思考

如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.

x年x月X日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在

木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况，要过AB上的一点C,作出A8的垂线，用锯子

进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在A8上量出CD=30cm,然后分别以C为圆心,

以50cm与40c,"为半径画圆弧，两弧相交于点E,作直线CE,贝I"DCE必为90°.

图①图②图③

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M,N两点，然后把木棒斜放

在木板上，使点例与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q,保持点N不动,

将木棒绕点N旋转，使点”落在AB上，在木板上将点”对应的位置标记为点R.然后将RQ延

长，在延长线上截取线段QS=MN,得到点5,作直线SC,则NRCS=90。.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出

垂线呢？……

任务：

(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是;

(2)根据“办法二”的操作过程，证明NRCS=90。；

(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕

迹，不写作法)；

②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).

24.阅读下列材料：

关于X的方程:X+-=C+工的解是Xi=C,X=-\X--=c—工(即X+—=c+—)

Xcx2CXCXC，

的解是％1=cx2=—｝；x+：=c+|的解是=C,X2=|；X+：=C+:的解是％1=

3

C,%2=展；…

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(1)请观察上述方程与解的特征，比较关于X的方程x+?=C+：(m片0)与它们的

关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证.

(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同,

只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结

论解关于x的方程：x+,=a+三.

x-1a-1

25.某花卉市场计划购进A,B两种盆栽共120盒，这两种盆栽的进价和售价如表所示：

盆栽种类进价(元/盆)售价(元/盆)

A种X55

B种1.5%80

(1)已知用1200元全部购进A种盆栽的数量比用1200元全部购进8种盆栽的数量

多10盆，求x的值；

(2)花卉市场规定B种盆栽的进货数量不超过A种盆栽进货数量的3倍，应该怎样

制定方案使花卉市场在销售完这两种盆载后获得的利润最大，最大利润为多少？

26.在一节数学综合实践课上，张老师将两个等腰直角三角形摆放在一起，带领同学们

进行了如下探究.如图，在△力BC和ACEF中，Z.BAC=/.CEF=90",AB=AC,

EC=EF.

【初步感知】

(1)如图1,点E在AC边上，连接BE,若4E=2,BE=内.求EC的长度；

【深入探究】

(2)如图2,将ACE尸绕点C逆时针旋转a((T<a<180。)，旋转过程中，直线EF

分别与直线AC、BC交于点M、N,当△CMN是等腰三角形时，求旋转角a的度数；

【拓展延伸】

(3)小明课下继续探究，将小CEF绕点C继续旋转，当点B、E、F在同一条直线上，

连接AE.如图3,小明发现，只要过点A作4D1AE,即可探究AE、EF和8尸之间

的数量关系，请你帮助小明完成上述探究.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

8.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意：

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋

转180度后和原图形重合.

2.【答案】B

【解析】解：A选项，当m=-l,n=-2时不成立，故该选项不符合题意；

B选项，不等式两边都乘-1,不等号的方向改变，故该选项符合题意；

C选项，当m=l,n=-l时不成立，故该选项不符合题意；

。选项，当7H=1,n=-l时不成立，故该选项不符合题意；

故选：B.

通过举反例排除A,C,。选项；根据不等式的基本性质判断B选项.

本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方

向改变是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：A、x2+x+l,无法分解因式，故此选项不合题意；

B、-x2-2x+l,无法分解因式，故此选项不合题意；

C、—x2y2+1=—(xy+l)(xy—1),故此选项符合题意；

。、x4+y4,无法分解因式，故此选项不合题意；

故选：C.

直接利用公式法分解因式进而判断得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用公式是解题关键.

4.【答案】A

【解析】解：••・多边形的外角和为360。，

•••乙DEF+乙EDF=360°-225°=135°,

•••乙DEF+乙EDF+Z.DFE=180°,

Z.DFE=180°-135°=45°.

第6页，共17页

故选：A.

利用多边形的外角和为360。即可求解.

本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理.任意多边形的外角和等于360。.

5.【答案】B

【解析】解：、处|彳错误，不符合题意；

Aa+22a,

B、*=—二，正确，符合题意；

2-aa—2

、当时，-=错误，不符合题意；

Cc#0aac

D、与”，错误，不符合题意.

a2a

故选：B.

根据分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变可解答.

本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：3(%-2)<5,

x—2<一,

3

11

••.X可取的正整数有3,2,1,共3个，

故选：C.

先求出不等式的解集，再取符合条件的正整数即可.

本题考查求一元一次不等式的正整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的一般步

骤.

7.【答案】C

【解析】解：如图，把AABC绕点C顺时针方向旋转90。，再向下平移5格可得AOEF,

故选：C.

由图形可直接求解.

本题考查了旋转的性质，平移，利用数形结合解决问题是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：在y=2x中，令y=2时，则2x=2,

■■x=1,

•••4(1,2),

由图可得：不等式2x<kx+的解集为无<1.

故选：B.

先求出A点坐标，再观察图象，利用一次函数与一元一次不等式的关系得出结论.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=

ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线

y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

9.【答案】D

【解析】解：•.•开车的平均速度是公交车的平均速度的1.5倍，公交车的平均速度为x千

米/时,

二开车的平均速度为1.5x千米/时.

依题意得：丑-令=篙

x1.5%60

即以一空

X1.5X4

故选：D.

由开车及公交车速度间的关系，可得出开车的平均速度为1.5x千米/时，利用时间=路程

+速度，结合开车比乘公交车少用15分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

10.【答案】D

【解析】解：A、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的

面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；

3、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所

以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；

C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴

影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；

。、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误.

故选：D.

利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求

解.

本题考查了平行四边形的性质，并利用性质结合三角形的面积公式进行判断，找出选项.

11.【答案】D

【解析】解：•••工2一1力0,

•••X丰—1且X丰1.

故选：D.

根据分式的分母不等于0即可得出答案.

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本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键.

12.【答案】B

【解析】解："AB=AC,AD平分NBAC,BC=8,

.-.ADIBC,CD=BD=-BC=4,

2

•・•点E为AC的中点，

•••DE=CE=-AC=5,

2

•••△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.

故选：B.

根据等腰三角形三线合一的性质可得4。J_8C,CD=BD,再根据直角三角形斜边上的

中线等于斜边的一半可得DE=CE=\AC,然后根据三角形的周长公式列式计算即可得

解.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性

质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

13.【答案】4

【解析】解：4、由BE=OF,无法判断OE=OE,故本选

项符合题意；入

B、如图，连接80与AC相交于0,

•••四边形ABCZ)是平行四边形，―》

:.0A=0C,0B=00,

-AE=CF,

•••0A-AE=0C-CFf

即0E=OF,

・•・四边形3PQE为平行四边形，故本选项不符合题意；

C、vDE//BF,

・•・Z,0BF=(ODE»

在ABOF和△00E中，

Z-OBF=匕ODE

OB=OD，

ZBOF=乙DOE

•••△8OFgZkDOEQ4SA),

・•.OE=OF,

又•・•OB=OD,

・•・四边形BFOE为平行四边形，故本选项不符合题意；

。、・・•四边形A8CQ是平行四边形，

A0A=OC,OB=OD,AD=CBfAD//CB,

■1•Z.DAE=乙BCF,

在△4理和4CBF中，

/.DAE=Z.BCF

AD=CB,

Z.ADE=乙CBF

:.bADE支CBF(ASA),

.-.AE=CF,

•••OA-AE=OC-CF,

即0E=OF,

二四边形8尸£>E为平行四边形，故本选项不符合题意；

故选：A.

连接AC与8。相交于0,根据平行四边形的对角线互相平分可得=OC,OB=0D,

再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到0E=。/即可，然后根据

各选项的条件分析判断即可得解.

本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识,

熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明0E=OF是解题的关键.

14.【答案】A

【解析】解：•；7=2,

ab

・,.ah=-j(a-b),

故选：A.

先根据工一;=2得出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可.

ab

本题考查了分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键.

15.【答案】C

【解析】W：-DELAB,

・•・AAED=zc=90°,

在RtZMCD与RMaED中，

(AC=AE

UD=ADf

/.Rt△ACD=/?t△力EO(HL),

:.Z.ADC=乙ADE,

v乙DEB=90°,乙B=40°,

:.乙BDE=50°,

:.Z.CDE=180°-乙BDE=130°,

/.ADE=-/.CDE=65",

2

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故选：c.

根据全等三角形的判定和性质定理以及平角的定义即可得到结论.

本题考查了全等三角形的判定和性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质

定理是解题的关键.

16.【答案】C

【解析】解：由折叠可得，AD=AF,DC=FC,

又•.•平行四边形A8CD中，AD=BC,AB=CD,

•••AF=BC,AB=CF,

在△力BF和中，

AB=CF

AF=CB,

BF=FB

丝△CFB(SSS),故①正确；

:.Z.EBF=乙EFB,

：.BE=FE,

■■■BC-BE=FA-FE,即EC=EA,故②正确；

•••/.EAC=Z.ECA,

又•：AAEC=乙BEF,

•••乙EBF=Z.EFB=Z.EAC=Z.ECA,

BF//AC,故③正确；

不一定是BC的中点，

•••BE=CE不一定成立，故④错误；

故选：C.

根据SSS即可判定AABF丝ACFB,根据全等三角形的性质以及等式性质，即可得到

EC=EA,根据NEBF=乙EFB=^EAC=AECA,即可得出BF〃4C.根据E不一定是BC

的中点，可得BE=CE不一定成立.

本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定的运用，解题时

注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变

化，对应边和对应角相等.

17.【答案】3

【解析】解：••1(x-4)(%+7)

=x2+7x-4x-28

=x2+3x-28,

a—3.

故答案为：3.

将(x-4)(x+7)展开，合并同类项，与原多项式对照即可得出答案.

本题考查了因式分解，掌握因式分解和整式乘法互为逆变形是解题的关键.

18.【答案】-5

【解析】解：方程两边都乘以(X-5)得，

x—3(x—5)—a,

・•分式方程有增根，

x—5=0,

解得x=5,

5=3x(5—5)—a,

解得a=-5.

故答案为：-5.

方程两边都乘以最简公分母(x-5),把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的最简

公分母等于0求出方程有增根，然后代入求解即可得到«的值.

本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：

①根据最简公分母确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

19.【答案】5或6

【解析】解：设点P运动了r秒，

•1•CQ=tcm,AP=2tcm,BQ—(15—t)cm,PD=(18—2t)czn,

①当BQ=4P时，且4D〃BC,则四边形APQ8是平行四边形，

即15-t=2t,

**t*5；

②当CQ=P。时，O.AD//BC,则四边形CQPO是平行四边形，

g|Jt=18-2t,

・•・t=6,

综上所述：当直线PQ在四边形488内部截出一个平行四边形时，点尸运动了5秒或

6秒，

故答案为：5或6.

由题意可得AD〃BC,分BQ=AP或CQ=P。两种情况讨论，再列出方程，求出方程的

解即可.

本题考查了平行四边形的性质.求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨

论思想的应用.

20.【答案】解：(1)5%2-45

=5(炉_刃

第12页，共17页

5(%+3)(%—3)；

(2)去分母得：12-3(%+3)=%-3,

去括号得：12—3x—9=x—3,

移项得：—3%—x=-3—3,

合并得：-4%=-6,

解得：x=l，

检验：把工=|代入得：(%+3)(%-3)H0,

:%=|是原分式方程的解；

-1-2(x-1)<5①

⑶{—<x+工②,

22

由①得：x>-2,

由②得：x<3,

原不等式组的解集是-2<x<3,

解集表示在数轴上，如图所示：

-----1----1-------------1----1-------1-----1—6-----1-------A

-4-3-2-101234x

【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解；

(3)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集,

表示在数轴上即可.

此题考查了解分式方程，因式分解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是

解本题的关键.

21.【答案】解：原式-•铐

1-xx(x+2)x+2

1-XX

=--------1--------

%(%+2)%(%+2)

%(X+2)'

•••xH。且%。1,

，x=2,

当x=2时，原式=:="

2x(2+2)8

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定X的值，代

入计算即可.

本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的

关键.

22.【答案】证明：(1)•••BF=CE,

•••BF+FC=FC+CE,即BC=EF,

在4力⑶。和ADEF中，

AB=DE

AC=DF,

BC=EF

:△ABC3DEF(SSS)；

(2)"ABCdDEF,

Z.ACF=乙DFE,AC=DF,

AC//DF,

•••四边形AFDC是平行四边形.

【解析】(1)先证明BC=EF,再根据SSS即可证明.

(2)根据全等三角形的性质得到〃CF=NDFE,AC=DF,进而得到4C〃DF,根据平

行四边形的判定即可证得结论.

本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等

三角形的条件，记住平行线的判定方法.

23.【答案】解：(l)：CD=30,DE=50,CE=40,

CD2+CE2=302+402=502=DE2,

：.4DCE=90°,

故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理;

故答案为：勾股定理的逆定理；

(2)由作图方法可知，QR=QC,QS=QC,

:.乙QCR=乙QRC,(QCS=乙QSC,

・・•乙SRC+乙QCS+Z-QCR+Z-QSC=180°,

2(乙QCR+乙QCS)=180°,

工乙QCR+乙QCS=90°,图③

即乙RCS=90°；

(3)①如图③所示，直线尸C即为所求；

②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；

(2)根据直角三角形的性质即可得到结论；

(3)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论.

本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，正确的理解题意是解题的关键.

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24.【答案】解：(1)猜想%+?=c+：(?nW0)的解是匕=c,x2=p

验证：当％=c时，方程左边二c+丝，方程右边=^+巴，

CC

方程成立；

当》=当时，方程左边=当+以方程右边=©+”，

CCC

・,.方程成立；

.•・X+?=C+：(mH0)的解是％1=C,X2=y；

(2)由x+—=a4-----得x-1H------=u-1H-------,

'x-la-1x-1a-1

%-1T=a—V1,x—Y1=—2,

a-1

a+1

•••%i=a,x2=

【解析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+'=c+巴的解为