2022年天津某学校高考模拟数学试卷及答案解析

2022年天津第二南开学校高考模拟数学试卷

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（5分）已知全集。={1,2,3,4,5）,集合A={3,5）,B={1,2,5},贝UBC（CuA）

=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4）

2.（5分）设x6R,则“仇-1|>2”是“7>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（5分）函数/（x）=/嗅;蓑）的部分图象大致为（）

4.（5分）中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺

冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，

学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方

图如图，数据分成六组[40,50）,[50,60）…[90,100],则成绩落在[70,80）上的人数

为（）

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A.12B.120C.24D.240

5.(5分)在正方体A8CO-481GO1中，三棱锥A-的表面积为4b，则正方体外

接球的体积为()

A.4A/57rB.V6TTC.32j57rD.8瓜n

6.(5分)已知函数f(x)=e-叫Q=f(logeg)，b=/(Zog3：),c=f(logj)，则下述关

e

系式正确的是()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

7.(5分)函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x20时，/(x)=log2(x+2)-1,则

/(-6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

8.(5分)设函数/(X)=V5cos2x+2s比xcosx,给出下列结论：

◎G)的最小正周期为m

②y=/G)的图象关于直线”今对称；

③f(x)在窿，多单调递减；

7T

④把函数y=2cos2x的图象上所有点向右平移石个单位长度，可得到函数(x)的图

象.

其中所有正确结论的编号是()

A.①④B.②④C.①®@D.①②③

9.(5分)己知函数/G)=(1+'°%。+2)，(。>0,且41)在区间(…，

L(x+1)2+4a,xV—1

+8)上为单调函数，若函数g(x)=|/(x)卜lx-21有三个不同的零点，则实数〃的取

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值范围是（）

,,11,zl3,

A.（彳，引RB.（4,4]

C--如第D-m杀。热

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10.（5分）若复数z满足2=兽（其中i是虚数单位），则|z|为.

11.（5分）在二项式（x+叁）9的展开式中，含手的项的系数为.

12.（5分）VAGR,/+依-2<0都成立，则”的取值范围是.

13.（5分）已知正实数a,b满足1g（a+b）=匈第+则丁+宝+7■的最小值

aa2a2bb

为.

14.（5分）一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，

7

至少得到一个白球的概率是3,则袋中的白球个数为，若从袋中任意摸出3个球，

记得到白球的个数为"则随机变量己的数学期望段=.

15.（5分）已知平行四边形ABC。的两条对角线相交于点M,\AB\=2,\AD\=1,NDAB

=60°,其中点尸在线段M。上且满足AP-CP=-金，\DP\=,

若点N是线段AB上的动点，则6•后的最小值为.

三、解答题（本大题5小题，共75分）

16.（14分）△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,6,c,且8-c—I,cosA=寸S^ABC=A/5.

（I）求边a及sinB的值;

（II）求cos（2C—亲）的值.

17.（15分）如图，在四棱锥P-4BCC中，底面A8CO为直角梯形，AD//BC,BC=^AD

=1且CO=V5,E为AO的中点，尸是棱外的中点，PA=2,P及L底面ABC£>,AD1.

CD.

（I）证明：B尸〃平面PCD；

（II）求二面角P-BD-F的正弦值；

（III）在线段PC（不含端点）上是否存在一点M,使得直线和平面/所成角的

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A/39

正弦值为有？若存在，求出此时PM的长若不存在，说明理由.

18.(15分)已知函数/(x)—X-alnx,g(x)=---(a>0).

(I)若4=1,求函数/(x)的极值；

(II)设函数〃(x)=/(x)-g(x),求函数〃(x)的单调区间；

(III)若存在即€[1,e],使得f(xo)<g(AO)成立，求“的取值范围.

19.(15分)己知数列｛斯｝是公差为1的等差数列，数列｛劣｝是等比数列，且。3+“4=。7,历

b2m-i'n=3m-2

b2m>n=3m-1,其中/MGN*.

a,n=3m

{m

(I)求数列｛尻｝的通项公式；

(II)记tn=C3n-2C3n-1+C3n-1C3n+C3nC3n+l(MGN*),求数列｛/n｝的前n项和.

20.(16分)已知函数/(x)—x-2-Ir^x-alnx.(aGR).

(I)令g(x)(x),讨论g(x)的单调性并求极值；

(II)令〃(x)=f(x)+2+历2为若h(x)有两个零点；

(i)求。的取值范围；

(ii)若方程x/-"(/nx+x)=0有两个实根xi，X2，且xi#x2，证明：eX1+X2>----.

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2022年天津第二南开学校高考模拟数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（5分）已知全集。={1,2,3,4,5},集合A={3,5},8={1,2,5},则8C（CuA）

=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4}D.{1,2,4）

【解答】解：：U={1,2,3,4,5},A={3,5},B={1,2,5）,

，CuA={l,2,4},BPI（CuA）={l,2}.

故选：B.

2.（5分）设x€R,则“|x-1|>2”是“7>1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：由lx-1|>2得x<-1或x>3,

由/>1得xV-1或x>l,

而{小V-1或x>3}墓{木<-1或x>l},

所以“尸1|>2”是“/>1”的充分不必要条件.

故选：A.

3.（5分）函数/（x）=嘤第2的部分图象大致为（）

乙ICC/Ozv

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【解答】解：根据题意，对于函数/。）=当］挣

乙।C/O人

有函数/（一乃二

2+cosx2+cosx=-f（X），

即函数/（x）为奇函数，排除A、B；

当时,有/（%）=篝黑＞°，排除。；

故选：C.

4.（5分）中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神、看过电影“夺

冠”后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，

学生的身体素质明显提高，现随机抽取800个学生进行体能测试，成绩的频率分布直方

图如图，数据分成六组［40,50）,［50,60）…［90,100］,则成绩落在［70,80）上的人数

为（）

A.12B.120C.24D.240

【解答】解：由频率分布直方图得：

成绩落在［70,80）上的频率为：

1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）X10=0.3,

二成绩落在［70,80）上的人数为800X0.3=240.

故选：D.

5.（5分）在正方体ABC。-AiBiCDi中，三棱锥A-BCG的表面积为46，则正方体外

接球的体积为（）

A.4百兀B.V6TTC.32V37TD.8伤兀

【解答】解：设正方体的棱长为。，则80=

由于三棱锥A-B\CD\的表面积为4次，

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则4x孚x(V2a)2=4后

解得a=V2,

又2R=百〃=V6,

即R=苧，

所以正方体的外接球的体积为不：/?3=竽X=V61T.

故选：B.

6.(5分)已知函数f(x)=/况，a=f(loge^),b=f(log3^),。=/(，。。工4)，则下述关

系式正确的是()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.a>b>c

【解答】解：•.•函数/(x)=e*l,

函数/(x)是偶函数，且当x20时，/(x)单调递减，

'•a=f(logej)=f(-loge3)=f(logf3),

b=f(log31)=f(-log3e)=f(log3e),

1

C=f(logig)=f(loge9)=f(21oge3),

e

Vl<loge3<2,0<log3e<l,210ge3>2,

:•于(21oge3)<f(logf>3)<f(log3&),即c<a<b,

故选：A.

7.(5分)函数fG)是定义在R上的奇函数，且当x20时，/(x)=log2(x+2)-1,则

/(-6)=()

A.2B.4C.-2D.-4

【解答】解：・・♦函数/(x)是定义在R上的奇函数，且Q0时，f(x)=log2(x+2)-

1;

：.f(-6)=(6)=-(log28-1)=-2.

故选：C.

8.(5分)设函数f(%)=V5cos2x+2sm%cosx,给出下列结论：

ay(X)的最小正周期为7i；

②y=f(x)的图象关于直线x=另对称；

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@f（x）在甯，给单调递减；

7T

④把函数y=2cos2x的图象上所有点向右平移石个单位长度，可得到函数y=/（x）的图

象.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.②④C.①®@D.①②③

,„y/31

【解答】解：f（x）=v3cos2x+2sinxcosx=v3cos2x+sin2x=2（—cos2x+^sin2x）=2cos

2/

⑵Y）,

o

对于①，/（X）最小正周期为，7=当=丘，所以①对；

对于②，f（―）=2cos（2x^-J）=2cos（0）=2,所以②对；

12"。

_-TTJl，7TT

对于③，求/（工）的递减区间：0+2irZW2«r—石471+211攵0石+T[攵WxW诵+1T攵，所以③错；

7T

对于④，把函数y=2cos2r的图象上所有点向右平移石个单位长度，得到如下函数：

y=2cos2（x-金）=2cos（2x—1），所以④对；

故选：C.

9.（5分）己知函数/（x）=户‘°""+2），“"I（。>0,且41）在区间（一，

（（%+I）2+4a,x<—1

+8）上为单调函数，若函数g（x）=|f（x）|-仅-2|有三个不同的零点，则实数a的取

值范围是（）

A.G，刍B.G，|]

c-刍乂输D.（/，1]u!1|}

【解答】解：因为函数/（X）=1+'竺（”+2），*'T（a>0,且Ml）

（.（%+I）2+4a,x<-1

当X<-1时，f（X）=（X+1）2+4“，

所以/（X）再（-8,-1）上单调递减，

又因为一（X）在区间（-8,+8）上为单调函数，

2

所以0<aVl且（-1+1）+4a>l+logfl（-1+2）,

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1

解得:VaVI,

令g(x)=[/,(x)|-|A-2|=0,即IfG)I=lr-2|,

令(x)I，y2—\x-2\,

则函数g(x)=，(x)卜|x-2|有三个不同的零点,

等价于>1=1/(x)I和J2=|x-21有三个不同的交点,

分别画出yi=|/(x)|和)2=|x-2|的图象如图所示,

由图可知，当时，yi=，(x)|和”=b-2|有2个不同的交点,

故只需满足：当x<-1时，力=/(x)|和”=以-2|有1个不同的交点,

即当x<-1时，(x+1)2+4a=-x+2,化简/+3x+4a-1=0,

即1-4。=7+3》(x<-1),

令h(x)=W+3x(x<-1),即y—h(x)与y—1-4a有一个交点，

画出函数y=/?(x)的图象如下图所示，

易知以x)疝n=旗一方=(一/2+3x(-1)9

4'

h(-1)=(-1)2+3X(-1)=-2,

q

所以1-4Q=—彳或1-4。》-2,

解得a=1|或京

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又因为乙<a<l,

4

所以a的取值范围为号，1]U｛特.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

10.（5分）若复数z满足2=兽（其中，是虚数单位），则团为

【解答】解一=兽=罂鬻=出±产=一]+2，，

所以|z|=7（-1）2+22=V5.

故答案为：V5.

11.（5分）在二项式。+之）9的展开式中，含♦的项的系数为144.

【解答】解：二项式（x+42）9的展开式的通项公式为7用=。・2%-0一23r，

令9一等=6,求得r=2,可得展开式中含F的项的系数为C；x22=144,

故答案为：144.

12.（5分）VxCR,aW+ar-2Vo都成立，则a的取值范围是（-8,01.

【解答】解：①当a=0时，-2V0,恒成立，

②当“W0时，VxeR,af+ax-2Vo都成立，只需满足]。7°,解得-8

（△=a2+8a<0

<a<0.

由①②知：a的取值范围为（-8,0].

故答案为：（-8,0].

13.（5分）己知正实数a,b满足仞（a+b）=应当+均£,则=-+二+^的最小值为

a02a2bb

1+V5

2—,

【解答】解:因为炽a+b）=/g券+喘=/g片节=匈2,

贝I」有〃+沙=2,

1aa111a111

所以一+-7+7=7+k一（一+/）=丁+―（_+7）（。+匕）

2a2bbb2aDb4a

.b,5a1o[b_5a_1+-/5

+而+砺22+2标，丽=^-，

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（a+b=2/r_r_U

当且仅当b5a，即。=性1，b=中时取等号，

〔而=诟22

11a1+函

所以丁+—+工的最小值为一I-.

2a2bb2

故答案为：如但.

2

14.（5分）一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出2个球，

7

至少得到一个白球的概率是J则袋中的白球个数为5,若从袋中任意摸出3个球，

3

记得到白球的个数为"则随机变量彳的数学期望

7

【解答】解：依题意，设白球个数为x,至少得到一个白球的概率是J,则全是黑球的概

率为3，

2

所以‘尹=一，即（10-x）（9-x）=20,解得x=5,

Cio9

从袋中任意摸出3个球，到白球的个数己的取值可能为：0,1,2,3；

则尸（彳=0）=+=今，

cio

P（日;警=金，

pg=翁书

P«=3）=缚^=吞

。10

所以W的分布列为：

0123

P1551

12121212

?所以的数学期望£《=0x条+1x.+2x.+3x-^2=/

3

故答案为：5,

2

15.（5分）已知平行四边形48co的两条对角线相交于点M,\AB\=2,\AD\=1,/DAB

TT7rTyj3

=60°,其中点P在线段MO上且满足4P•CP=-符|OP|若点N是线段

TT135

AB上的动点，则ND•NP的最小值为

256

【解答】解在△A3。中，|6|=2,\AD\=1,/D4B=60°,

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所以BD2=AD2+AB2-2AD-AB'cosZDAB

1

=1+4—2xlx2X[=3,

所以80=V3,

则有4炉+打)二人祥，

所以NAO8=90°,则/ABC=120°,

在△ABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC

1

=4+1-2x2x1x(-*)=7,

因为潘-CP=PA-PC=(PM+AM)-(PM+MC)

=(PM+MA)-(PM-AM)=PM2-MA2

T1T-17R

=PM2-C/=田阳2—2x7=-患，

解得PM=4，

所以DP=DM-PM=iBD-PM=3xV5-卓=g,

Z44，

取PD的中点为R,

故同理可得病•NP=NR2-^PD2,

又BR=BD-RD=BD_%D=a_噂=答

设点R到AB的距离为d,

则有NR2d=BR*sin30°=卑义之=呼

oZ10

所以而•NP=NR2-^PD2>21*135

-4X=256)

~»t135

所以ND•NP的最小值为

256

生小g二6135

故答案为：—;——•

4256

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三、解答题（本大题5小题，共75分）

2

16.(14分)△ABC中，角4,8,C所对边分别为a,b,c,且〃-c=1,cos/=S^ABC=V5.

(I)求边。及sinB的值；

(II)求cos(2C—弱的值.

【解答】解：(I)因为cos/=,,AE(0,IT),可得sinA=卓，

由S△力BC—\bcsinA=•苧=店'可得bc=6,

由b-c=l,得b=3,c=2,

b2+c2—a2

由余弦定理=w，可得

cosZ=2bca=V5,

由正弦定理•,可得sinB=l.

sinAsinBsinC

（II）在△ABC中，BE（0,n）,由（I）可知：B=%

由于sinC=cosA=cosC=sinA=卓，

所以s讥2C=2sinC-cosC=2•，卓=cos2C=2cos2C—1=（,

所以cos（2C一苓）=cos2C-cos^+sin2C-sin看=

17.（15分）如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为直角梯形，AQ〃BC,BC=^AD

=1且CO=VXE为AD的中点，尸是棱以的中点，%=2,PEL底面ABC。，ADA.

CD.

（I）证明：8/〃平面PCD-,

（II）求二面角P-BD-F的正弦值；

（III）在线段PC（不含端点）上是否存在一点M,使得直线8M和平面尸所成角的

正弦值为营？若存在，求出此时PM的长；若不存在，说明理由.

B

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【解答】解：(I)法一：取尸。的中点为从

连接HC.因为F为物的中点，所以

又因为此信4。，所以BCIIFH,所以四边形8cH尸为平行四边形,

所以BF〃HC,

又因为“Cu平面PCD,BFC平面PCD,所以BF〃平面PCD

(I)法二：由题意得：BCI]DE,/A£»C=90°,

所以四边形8C0E为矩形，

又PELfijABCD,

如图建立空间直角坐标系E-xy>z,

则E(0,0,0),A(1,0,0),B(0,遮，0),。(-1,0,0),P(0,0,V3),C(-l,

y/3)0),F(/，0)

设平面PCD的法向量为藐=(x,y,z),鼠=(0,聒,0),DP=(1,0,V3)

则,DCm=V3y=0

DP-m=x+—0

则y=0,不妨设x=-V5,则z=1,

可得?n=(—V5,0,1)

又记'=6,一百，字)，可得薪•蓝=0,

又因为直线BFC平面BCD,所以BF〃平面BCD

(H)设平面的法向量为元=(xi，%，Zj),DB=(1,V3,0),BP=(0,-痘,

V3),

贝愕叱X猊*不妨如可竭=诋一…，

设平面的法向量为信=(%2,丫2,Z2),茄=(|，0,易,

DA•rT-ofx?+V5y2=0

则空?一u,即h病，不妨设g=百，可得律2=(—百，L3),

DF-n2=0(2%2+彳？2=0

T\五£7A/65

因此有cos近,n"鬲廿F'

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（注：结果正负取决于法向量方向）

于是SE〈A，n2）=Jl-cos2〈\,n2）=

所以二面角P-BD-F的正弦值为警.

（注：前面设角后面不写答话不扣分）

（III）设前=2左=2（-1,6，-V3）=（-A,V3A,一百;I）,入6（0,1)BM=BP+

PM=（-Z,-V3+V3A,V3-V3A）,

由（II）可知平面BDF的法向量为R=（-K，1,3）,\cos（BM,n^）\厘£l

\BM\\n2\

|732+732-73+373-3,/32|_5/39

yi3-jA2+2(V31-V3)213

有3人2-4入+1=0,解得人=1(舍)或4=

可得痛=(一号，坐，一韵，

所以|丽=冬

18.（15分）已知函数/（x）=x-abvc,g（x）=--—（a>0）.

（I）若。=1,求函数/（x）的极值；

（II）设函数力（X）=/（X）-g（X）,求函数力（X）的单调区间；

（III）若存在X0日1,e],使得/（xo）<g（刈）成立，求。的取值范围.

【解答】解：（I）/（1）="-〃/心的定义域为（0,+8）.

当时，f

4=1J（X）=—X.

由，（x）=0,解得x=l.

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当0<x<l时，f(x)<0,f(x)单调递减；

当x>l时，/(x)>0,/(x)单调递增，

所以当x=l时，函数/(x)取得极小值，极小值为f(1)=1-ln\—l；

(II)/?(x)=f(.X)-g(x)=x-alnx+^-^,其定义域为(0,+°°).

、又h'(x)=-ax-(1+a)一(x+l)［x-(l+a)］

X2X2

由a>0可得l+a>0,在0cx<1+“上，h'(x)<0,在x>l+a上，h'(x)>0,

所以〃(x)的递减区间为(0,1+a)；递增区间为(1+a,+8).

(///)若在［1,e］上存在一点xo，使得/(xo)<g(xo)成立，

即在［1,e］上存在一点却，使得力(回)<0.即力(%)在［1,e］上的最小值小于零.

①当l+a2e,即a2e-1时，由(〃)可,知/?(x)在［1,e］上单调递减.

故〃(%)在口,e］上的最小值为〃(e),

由力(e)—e+——e——6/<0,可得e—+1；.

e2+lp2J.-］

因为一~>e-l.所以。>寻.

②当IVl+aVe,即OVaVe-1时,

由(〃)可知/?(x)在(1,1+a)上单调递减，在(1+a,e)上单调递增.

h(x)在［1,e］上最小值为/?(1+«)=2+a-aln(1+«).

因为0</〃(1+a)<1,所以0<a/〃(1+a)<a.

贝ij2+a-R〃(1+a)>2,即/?(1+a)>2不满足题意，舍去.

e2+l

综上所述：a&(----,+8).

e-1

19.(15分)已知数列｛斯｝是公差为1的等差数列，数列｛为｝是等比数列，且。3+“4=47,历

n=3m-2

•b4=bs，”4=4历-加，数列｛cn｝满足：cn=1b2m>n=3m—1,其中，〃€N*.

、限n=3m

(I)求数列｛〃"｝,｛/>"｝的通项公式；

(II)记tn—C3n-2C3n-l+C3n-l<3n+C3nC3n+l(n6N*)(求数列｛%｝的前〃项和.

【解答】解：(I)数列｛裕｝是公差d为1的等差数列，且。3+〃4=47，

可得2“i+5d=ai+6d,即ai=d=l,则a〃=l+〃-l=〃；

设等比数列｛尻｝的公比为4，由历坨4=b5，4历-的=4,

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可得加2g4=。夕4,4biq-biq2=4,

解得加=1，q=2,

则劣=2〃J

f2m2

b2m-ifn=3m-22~,n=3m-2

2m-1/nGN*,

b2m，n=3m-1==.2,n=3m—1,

｛am,n=3m\m,n=3m

tn=C3n-2c3〃-1+C3«-10〃+⑶C3〃+1=2?"-2*22rt',4-22/?-1•n+22rt>/i=24,I-3+3n*22w-1,

设数列｛/〃｝的前〃项和为〃，

则54n3352fl13

T,,=(2+2+-+2-)+3(l*l+2*2+3«2+-+/j.2-)=±-l阴o+3(l«2+2*2+3

•25+---4-«*22W*1),

352n13572n+1

设Rn=1•2+2*2+3*2+-+H*2_,4Rn=1•2+2*2+3*2+-+n>2,

两式相减可得-3R"=2+23+25+―・+22”“-〃・22"+I=2(；_£)-n-22^1,

i-q

??2n+l

化简可得Rn=f+、一(3n-1),

则数列｛/a｝的前n项和为T,,=2,桨-2+3R,尸8+骂］(3〃-1)+嘿2

20.(16分)己知函数/(x)=x-2-liTx-alnx.(aeR).

(I)令g(x)=0*(x),讨论g(x)的单调性并求极值；

(II)令//(x)=f(x)+2+lirx,若h(x)有两个零点；

(i)求。的取值范围；

(ii)若方程(lnx+x)=0有两个实根加，冷，且箝"也，证明：e^+^>—.

xlx2

【解答】解：(I)因为r(