考研数学公式大全2

高等数学公式篇

•平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

•积的关系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

・倒数关系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边，

・三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tan3)/(1-tanatanp)

tan(a-P)=(tana-tanp)/(1+tanatan3)

•三角和的三角函数:

sin(a+p+Y)=sinacospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinpsinY

cos(a+p+Y)=cosacosPcosY-cosasinpsinY-sinacosPsinY-sinasinp-cosY

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tana-tanptanY)/(1-tanatan|3-tanptanY-tanYtana)

・辅助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

•倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

•二倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

•半角公式：

sin(a/2)=±\((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±^((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±M'((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

•降耗公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

・万能公式：

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosP=(1/2)[cos(a+P)+cos(a-P)]

sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

•和差化积公式：

sina+sinP=2sin[(a+p)/2]cos[(a-P)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosP=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

•推导公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

•其他:

sina+sin(a+2TT/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2iT*3/n)4-......+sin[a+2n*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+.......+cos[a+2TT*(n-1)/n]=0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2n/3)+sinA2(a+2n/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

[编辑本段]

公式一：

设a为任意角，终边相同的用的同一三角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2kn+a)=cosa

tan(2kir+a)=tana

cot(2kn+a)—cota

公式二：

设a为任意角，Ti+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin(Ti+a)=—sina

cos(n+a)=—cosa

tan(n+a)=tana

cot(Ti+a)=cota

公式三:

任意角a与-a的三角函数值之间的关系:

sin(-a)=~sina

cos(—a)=cosa

tan(-a)=—tana

cot(—a)=—cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到n-a与a的:角函数值之间的关系：

sin(n—a)=sina

cos(n—a)=­cosa

tan(n—a)=­tana

cot(TT-a)=­cota

公式五：

利用公式•和公式三可以得到2ny与a的三角函数值之间的关系:

sin(2n—a)=­sina

cos(2TT—a)=cosa

tan(2n-a)=-tana

cot(2TT—a)=­cota

公式六:

n/2±a及3rr/2±a*ja的三角函数值之间的关系：

sin(n/2+a)=cosa

cos(n/2+a)=­sina

tan(TT/2-f-a)=—cota

cot(n/24-a)=~tana

sin(u/2—a)—cosa

cos(TT/2—a)=sina

tan(TT/2—a)=cota

cot(TT/2—a)=tana

sin(3ir/2+a)=—cosa

cos(3n/24-a)=sina

tan(3ir/2+a)=—cota

cot(3TT/2+Q)=—tana

sin(3n/2—a)=—cosa

cos(3n/2—a)=~sina

tan(3n/2—a)=cota

cot(3n/2—a)=tana

(以上k£Z)

部分高等内容

[编辑本段]

・高等代数中：角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!4-zA2/2!-4-zA3/3!4-zA4/4!+…+z"/n!+…

此时T角函数定义域已推广至整个复数集。

・三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=-y";y=y"".有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义:.角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义种类似的函数一双曲函数，其拥有很多与•:角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

a0'30'45'60'90'

sina01/2<212A/3/21

cosa143/25/2/21/20

tana043/3173None

cotaNone1V3/30

导数公式:

1

(rgx)z=sec2x(arcsinx)'

(ctgx\=-esc2x

z

(secxY=secxtgx(arccosx)=——/

Vl-x2

(escx)'=一escx•etgx

xx(aretgx)=-~~

(aY=alna14-xr

1

(log”x)/=(arcctgx)=------

x\na1+x?

基本积分表:

^tgxdx=-ln|cos+C,dx=jsec2xdx=tgx+C

cos2X

^ctgxdx=ln|sinx|+C

,dx=jcsc2xdx=-etgx+C

jsecxdx=ln|secx++Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

fcscx^=ln|cscx-crgx|+C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

rdx

Ja24-x2

aa\axdx=-^—+C

pdx1,1x-a\「JIna

J22=—In—+c

Jx-a2a\x+a\^shxdx=chx+C

fdx〃+x-

J42-x2=—In—+c\chxdx=shx+C

a-x

.x-22

=arcsin—+C=ln(x+Vx±a)+C

a

££

22

Jsin〃xdx=jeos"xdx=

00

|7x2-a1dx=^--\/x2-a2x+J，-a1+C

[yla2-x2dx=-^Ja2-x2+—arcsin—4-C

J22a

三角函数的有理式积分：

.2〃1—w~x,2du

sinx=------cosx=------------u=tg—,dx------：

1+41+〃21+“

一些初等函数:两个重要极限:

,,sinx,

双曲正弦：shx-lim-----=1

25X

双曲余弦：chx=C+e—lim(l+』)、=©=2.718281828459045.

238X

双曲正切：/r二运=女士

chxe'+e'

arshx-ln(x+\x~+1)

archx-±ln(x+-1)

1i1+x

artnrx—In

21-x

三角函数公式：

•诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

90°+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

1800+a-sina-cosatgactga

2700-a"cosa-sinactgatga

2700+a-cosasina-ctga-tga

3600-a-sinacosa-tga-ctga

3600+asinacosatgactga

・和差角公式：-和差化积公式：

,.々.a+pa~p

sin(a±〃)=sinacos/?±cosasinpsinrz+sinz?=2sm---二cos-----二

22

cos(<z±fi)=cosacosp+sinasmp

.㈡cB-a-B

sina-sinp=2cos----sin.......-

吆…二产吗尸22

\+tgatg/3cosa+cos直=2cos^—^cos—~—

/,Q、ctgactgj3+\

ctg(a+户)=I6”—22

ctgjB+ctgacos(X-cosB=2sin°sin—~~—

22

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-\=l-2sin2nr=cos2a-sin2asin3a=3sina-4sin3a

ctg2a-lcos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a=

2ctga，,3tga-tg3a

短。=下砺/

2tga

fg2a=

1—次2a

•半角公式:

-cosa

sin0=±,COSy=

2V-2-

唐沁11一cosa_l-cos6Z_sina1+cosa1+cosasina

C'g2N

1+cosasina1+cosal-cosasina1-cosa

b

•i7Ft昉珞京理碑：."-c一_Z2/A?•余弦定理：2=a2+b2-2abcosC

sinAsinBsinC

n71

•反三角函数性质：arcsinx=----arccosxarctgx---arcctgx

2

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

（〃»〃）二£

k=0

~%+〃”吗'+嘤（"-2）/+...+〃（〃-1"（〃一女+1）/1）产+...+“俨）

k\

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理:f(b)~/⑷=/'«)3-a)

⑶⑷）

柯西中值定理:/―/JG

F（b）-F（a）F'C）

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：ds=其中

平均曲率灰二空公父从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As

：MM弧长。

△s

M点的曲率：=lim—=—=-=LL=.

ATASds敢［+)/2)3

直线：K=0;

半径为。的圆；K」.

a

定积分的近似计算：

bb_

矩形法:J/（幻工一^（%+y+…+）

a

梯形法:J/（X）=--++）+为+…+y4-Ij

U

bj

抛物线法:J"x）=与/［（%+K）+2（力+以+…+K-2）+4（乃+8+•,

・+Hi）］

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力；F=p-A

引力：F=左里华，左为引力系数

Y

_1”

函数的平均值5-171)公

b-ai

均方根:『⑺出

空间解析几何和向量代数:

空I可2点的距离：d—|Af2|=—X])2+()’2—M)2+(彳2一口)”

向量在轴上的投影:Prj“IS=网.cos(P，渡运与〃轴的夹角。

Pr，(4十瓦)=Pr为+Prja2

ab=|6/|■|/?jcos0=ab+ab+46.，是一个数量，

ah+ab+a„b,

两向量之间的夹角:cos。=-*-iyv,v?z■

生,同二同卡卜近夕例:线速度:v-wxr.

h.

%44

向量的混合积：［不忖=伍="b、b:二,xb|.同cosa,逐J锐角时,

%J%

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式：A(x-x())+B(y-y())+C(z-z(i)=0,其中日={4反。},也。“。,加

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0

3、截距世方程―+£+三=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离：*二的辛也3X91

VF+F+c7

x=x^+mt

空间直线的方程:三%=二^=三女二『,其中亍"{/明，”}；参数方程:y=%+nt

mnp

IZ=&)+pt

二次曲面：

1、椭球面：，+与"+==1

abc~

2、抛物面;=+>=z,(p闯同号)

2P2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面:J+2-0=1

a~hc~

222

双叶双曲面:二-之+==1（马鞍面）

a~bc~

多元函数微分法及应用

全彳散分：dz--dx+—dydu=-dx+—dy+—dz

3x力dxdy及

全微分的近似计算：Az-dz=fx（兀y）Ax+（兀y）Ay

多元复合函数的求导法：

dz3Mdv

--------F

L”⑹了dt¥

_dzdzdv

Z=f[u(x,y),v(xy)]+------

7du加8x

当"二〃(x,y),1，=y)时,

,加,du.i3v,5v.

an=——dxH---dyav=——6u+——ay

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

d》=j_(_区)+j_(_2)也

隐函数F(.x,y)=0,

2

dxF“dxHxFydyFvdx

dz_F

隐函数尸(x,y,z)=0,x虫=_£L

dxF.

9FHF

FCx,y,u,v)=O

隐函数方程组:加

G(x,y,〃#)=Od(u,v)返dG

a«dv

臼

a-/9(a-lWRG)

d(u,x)

讪

r

axSar

1H(F,G)

¥一

3(d.)

微分法在几何上的应用:

X=（p（t）

x—x

空间曲线＜y二夕（『）在点〃（.%,%,4））处的切线方程:()_y-yn_

[乜)甲&)/'&)

z=〃＞（。

在点M处的法平面方程:“（%）（%_，（））+“&）（丁一九）+力（八））Q-.）=0

,…则切向量口F工Fy

若空间曲线方程为:

GG「G,G"G

曲面尸(x,y,z)=O上j^M(x0,y0)z0)>则:

1、过此点的法向量：n={Fx(xo,y0,zo\Fy(x0,yotzo\Fz(x^y^zo')}

2、过此点的切平面方程：尸,(玉),典,。)(x-x0)+Fy(xG,%,za)(,y-%)+£(%,y0,%)口-No)=0

3、过此点的法线方程:一二一二一匚为一二一二一

工（/，%，％）工.（/,%，4））工。0，打，“）

方向导数与梯度:

函数N=/（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向/的方向导数为甚二野cos0+%sinp

didxdy

其中8为九轴到方向/的转角。

函数z=/（x,y）在:一点p（x,y）的梯度：grac|/（x,y）=1^7+%j

oxoy

它与方向导数的关系是:岁=gradf（x,y）•巨，其中。=cospi+sin9,了，为/方向上的

8/

单位向量。

.•.%是grac|/0qy）在/上的投影。

di

多元函数的极值及其求法；

漱（%，%）=〃（/，%）=。，令:九（/，%）二儿九（%，%）=a/»（"%,£）二。

“^".以〈。，（/，儿滋极大值

—>0,（后,%）为极小值

则JAC-B2<M,无极值

AC-B2=on^,不确定

重积分及其应用:

Jj/(x,y)dxdy二|Jf(rcosarsin8)rdrd0

DD'

2

adz

曲面z=/(i,y)的面积A=J]+dxdy

dx办J

\\xp^y）dcy/卜夕(y)”(7

平面薄片的重心：于二一-=J2rr--------，y---D

MJ伊（见田4。•M

DD

平而薄片的转动惯量：对于X轴/工二JJy/（苍y）dcr,对于丁轴/、=JJ./0(x,y)dcr

DD

平面薄片（位于w.y平面）对z轴上质点加（0,0,。）,（〃>0）的引力：尸二{4,&£},其中:

Fp(x,y)xda

尸=/jjP(f,-fa心山!吗

D(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a-)2D(x2+y2+a2)2

柱面坐标和球面坐标:

x=rcos^

y=rsin。，y^z)dxdydz~a

z=zQ°

其中：F(rI,6,z)=/(rcos^rsin^z)

x-rsin夕Cos6

y=rsin/sin8,dv=rd(p'rSAWtp-dOdr=r~SA\\(pdrd(pdO

z-rcQscp

litn

JJJ/(x,y,z1)dxdydz-(几值sin阳比/加夕=Jd6”9J/7(几Q,a)Jsin加厂

QQ000

重心：元=：/阳修产)如加%":肝其中例=x=JJJpdp

MMJ；」M*Q

222

转动惯量：ix=+z)pdv,/v=JJJ(/+z)pdv,/1=JJJa+V)M

QQQ

曲线积分:

第•类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

犬=如）

匆*4）在L上连续，L的参数方程为.，(aqW/?),则:

[><=犷⑺

P____________x-t

\f{x,y)ds=J/[^(r),^(z)]7^,2(O+/2(O^(«</?)特殊情况:

y=e")

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为「二例"，则:

[y=沙(。

P

》(.%y)dx+Q(x,y)dy=J｛尸[/(0"(『)]"⑺+QS”),歹《)]/«)｝由

La

两类曲线积分之间的关系:jPdx+Q/y=j(Pcosa^Qcos/3)ds,其中a和6分别为

LL

ZJ二积分起止点处切向量的方向角。

JJ(乎-中)dxdy=JPdx+Qdy格林公式:JJ(平-，~)dxdy=JPdx

格林公式:lx+Qdy

D“力LDa”由't

当尸=_)，,Q=X,即：华一半二2时,得到£＞的面积：A=JJdxdy=—Jxdy-ydx

dxdyD2£

・平面上曲线积分与路径无关的条件:

1、G是一个单连通区域；

且挈=当。注意奇点，如(0,0),应

2、P(x.y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反!

・二元函数的全微分求积：

在尊=半时，尸公+。公才是二元函数的全微分，其中:

dxdy

〃(占y)=Jp(x,y)dx+Q(.x,y)dy,通常设%=%=0。

("0)

曲面积分:

对面积的曲面积分:口f(x,_y,z)ds二fff[x,y,z(x,y)]^1+(x,y)+z^.(x,y)dxdy

E%V

对坐标的曲面积分:J，7。,y,z)dydz+Q(x,y,i)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

£

y,z)dxdy=±y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

z%.

[Jp(x,)\z)dydz-±JJP[My,w),}\z]dydz^取曲面的前侧时取正号;

NOy:

口。(其y,z)dzdx=±/J。]*,y(z,x),z]dzdxf取曲面的右侧口寸取正号。

两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+Rcosy)ds

高斯公式:

成+M+普)dv=甘Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(尸cosa+QcosJ3+Rcosy)ds

o力次zz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div。=挛+挈+半,即：单位体积内所产生的流体质量，若div。＜0,则为消失…

oxdydz

通量：JJ晨五杰==jj(Pcos6Z+0cos0+Rcosy)ds,

z

因此，高斯公式又可写成:JjjdivZdn=抒40

Qz

斯托克斯公式-—曲线积分与曲面积分的关系：

ff37?3(2xJj/»

z-------)dzdx+(--)Jxt/v=(^Pdx+Qdy+Rdz

dx-------dx力r

dydzdzdxdxdycosacos4:os/

上式左端又可写成:]jdda=113a

dxdzdz

pQRpR

dRdQdP_az?a。_dP

空间曲线积分与路径无关的条件:

dyHz'dzHxdx

ijk

aad

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量场N沿有向闭曲线「的环流量：，Pdx+Qdy+Rdz=0,tds

rr

常数项级数：

等比数列:l+q+^+…+/I=上立

i-q

等差数列：l+2+3d---1-72=("+1)"

2

调和级数：1+'---1■,是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法(柯西判别法)：

0<1时，级数收敛

设：2=lim亚7，则<p>川寸,级数发散

〃一>8

0=1时，不确定

2、比值审敛法:

0<1时，级数收敛

设：2=1而311,贝30〉1时，级数发散

“T8TJ

"〔2=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+%+…+〃“；limS"存在,则收敛；否则发散。

+MU

交错级数%-“23~4+…(或-/+»2-W3+•••,«„>0)的审敛法----莱布尼兹定理：

u>

如果交错级数满足濡n“10,那么级数收敛且其和$《对,其余项乙的绝对值匕|《“,山。

绝对收敛与条件收敛：

(1)«1+%+…+〃“+…，其中〃”为任意实数；

⑵同+叼+同+…+,/+,,•

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，旦称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:z：发散，而Z野收敛;

级数:收敛;

n

P级数:z.PW1时发散

P>1时收敛

寨级数:

23„/w<1时，收敛于」一

l+x+厂+x'+…+x+…(X

\|x|21时，发散

对于级数(3)劭+叩+。2/+…+a"x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/凶</?时收敛

数轴上都收敛，则必存在凡使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=H时不定

/"0时，R=—

/P

求收敛半径的方法：设lim-=p,其中。向是(3)的系数，则夕=0时，R=+8

〃T8a\

“\p—+8时,R=。

函数展开成暮级数：

函数展开成泰勒级数：〃X)=/(Xo)(X-Xo)+“^(X-Xo)2+...+e^(X-Xo)"+一

2!n\

余项：Rn=£2@。一%)"+|J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim&=0

5+1)!〃T8

%=0时即为麦克劳林公式：/(3)=/(0)+广(0)》+工侬/+-+/3豆/'+一

2!n\

一些函数展开成募级数：

(1+广"+蛔22+-.+的外包二工+-.(-1<X<1)

2!〃！

v-352”-1

sinx—x-----------1-----------…+(-1)〃1------------------F•,•(­°°<x<+°°)

3!5!(2〃-1)!

欧拉公式:

cosx=

=cosx+zsinx或v

sinx=

三角级数:

/(O=4+EA"sin("a+仁)="+

£(%cosnx+hnsinnx)

rt=l2M=1

其中,a0=aA0,an=Ansm(pn,bn=Ancos(pn,ax=x„

正交性:1,5由/<：05和出2苍852%・一达〃%,85〃%・一任意两个不同项的乘积在[-匹%]

上的积分=0。

傅立叶级数:

即

/(x)=+Z(%cosnx+bnsin〃x>周期=21

2H=1

])

an=—(x)cosnxdx5=o,1,2…)

其中