2022届福建省华安高考数学二模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（2\

1.已知偶函数/（X）在区间（Y。,。］内单调递减，a=f（log2）,b=fsin（—c=f，则a,b,

\7

。满足（）

A.a<b<cB.c<a<bC.h<c<aD.c<b<a

2.已知数列｛%｝为等差数列，S“为其前”项和，a6+a3-a5-3,贝!）与=（）

A.42B.21C.7D.3

3.i是虚数单位，复数2=17在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.已知数列｛%｝的首项4=a（ax0）,且凡+|=3“+/,其中Z,teR,〃eN*,下列叙述正确的是（）

A.若｛%｝是等差数列，则一定有左=1B.若｛4｝是等比数列，则一定有r=0

C.若｛4｝不是等差数列，则一定有kwlD.若｛q｝不是等比数列，则一定有"0

5.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物

前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）

A.72种B.144种C.288种D.360种

6.设a,b都是不等于1的正数，贝！］“/。8“2</。8/,2”是“2">2〃>2''的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件I）.既不充分也不必要条件

7.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔

355

高，恰好为祖冲之发现的密率缶至兀.设胡夫金字塔的高为〃，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单

条灯带，则需要灯带的总长度约为

A.(4K+-2^+4-)/;B.(2”+^H)/7

C.（8兀+4,2兀2+1），D.（2兀++16）/?

8.已知集合4={（%，301^=》2},8={（x,y）|V+y2=i},则Ap|B的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.已知斜率为我的直线/与抛物线C：V=4x交于A,B两点,线段AB的中点为（机＞0）,则斜率4的取

值范围是（）

A.y,l）B.y,l］C,D.［1,+OO）

10.已知a,p表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，贝!|“a〃0是“1〃B”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的

天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是（）

发芽所需天数1234567>8

种子数43352210

A.2B.3C.3.5D.4

12.已知函数./■（》）=其中［目表示不超过x的最大正整数，则下列结论正确的是（）

A./（x）的值域是［0,1］B.“X）是奇函数

C./（x）是周期函数D.“X）是增函数

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.双曲线二-《=1的焦距为__________,渐近线方程为________.

54

14.已知3,人工是平面向量，"是单位向量.若72=2,be=3＞且〉很=0,则B+目的取值范围是.

15.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布

直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间125,30）的一等品，在区间［20,25）和［30,35）的为二等品，其余均为三

等品，则样本中三等品的件数为.

16.设定义域为R的函数/(x)满足/'(x)>/(x),则不等式1)的解集为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等差数列也｝的前n项和为Sn,等比数列也｝的前〃项和为7；,且％=4=1,%=S3,%+打T5.

(1)求数列｛q｝与｛〃｝的通项公式；

(2)求数列的前"项和.

18.(12分)如图，矩形CDEF和梯形A3CO所在的平面互相垂直，ZBAD=ZADC=90，AB=AD=^-CD,

2

BEVDF.

(1)若M为胡的中点，求证：AC//平面/；

(2)若AB=2,求四棱锥七一ABC。的体积.

19.(12分)已知集合4=｛1，2「-,〃｝，〃eN*,n>2,将A,的所有子集任意排列，得到一个有序集合组

其中m=2".记集合中元素的个数为4,keN*,k<m,规定空集中元素的个数为0.

(1)当〃=2时，求---的值；

⑵利用数学归纳法证明：不论〃(〃22)为何值，总存在有序集合组(M，M，…,M“)，满足任意ieN*,区〃2-1,

都有|q_4+J=l.

20.(12分)已知非零实数。力满足a<》.

(1)求证：a3-b3<2a2h-2ah2t

(2)是否存在实数X,使得乌一尚恒成立？若存在，求出实数2的取值范围；若不存在，请说明理由

crb~yab)

21.(12分)AABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若Zsird__+2cos2++2cosAcosB=1

22

(1)求角C的大小

(2)若c=4,|刀+而|=屈，求的周长

22.(10分)已知数列｛4｝满足其+‘工=2(〃22),且4声/，%=2，4,4，%成等比数列.

%+1an-\5

11

(1)求证：数列｛f7｝是等差数列，并求数列仅"｝的通项公式；

,1,1

(2)记数列｛—｝的前n项和为S„,b„=a„all+lSn-%求数列｛2｝的前〃项和Tn.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

首先由函数为偶函数，可得函数“X)在［0,+8)内单调递增，再由log&G>sin；-工>13,即可判定大小

I5)⑷

【详解】

因为偶函数/(%)在(9,0］减，所以/(x)在［0,+8)上增，

2

log把G>I,sin(—a.

故选：D

【点睛】

本题考查函数的奇偶性和单调性，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于中档题.

2.B

【解析】

利用等差数列的性质求出％的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出57的值.

【详解】

由等差数列的性质可得4+%-％=。4+%-=3,

.7(aL±aJ=7x2at=7><3=21

722

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.

3.D

【解析】

求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.

【详解】

复数z=1T在复平面上对应的点的坐标为(1,-1),该点位于第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.

4.C

【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.

【详解】

A：当左=0,/=。时，显然符合｛4｝是等差数列，但是此时k=1不成立，故本说法不正确；

B：当左=0,f=。时，all+l=a,显然符合｛%｝是等比数列，但是此时。=0不成立，故本说法不正确；

C：当左=1时，因此有4田-。“=履〃+，-勺=/=常数，因此｛4｝是等差数列，因此当｛。“｝不是等差数列时，一定

有攵H1,故本说法正确；

D：当/时，若左=0时，显然数列｛%｝是等比数列，故本说法不正确.

故选：c

【点睛】

本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.

5.B

【解析】

利用分步计数原理结合排列求解即可

【详解】

第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有A：=12种排法；第二步将数学和物理插入前4科

除最后位置外的4个空挡中的2个，有用=12种排法，所以不同的排表方法共有12x12=144种.

选3.

【点睛】

本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题

6.C

【解析】

根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可.

【详解】

由“log.2<log/,2”，得丁」一〈丁二，

a

6,log2alog2/?

log,«<0la>

得<"C或°S2或0>log2a>log2b,

log2b>0

0<a<l

即\,或d>b>\或0<b<a<l,

b>\

由2">2">2，得心匕>1,

故"log；<log；”是"2">2">2”的必要不充分条件，

故选C.

【点睛】

本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题.

7.D

【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为“，由题可得《4〃=兀，所以”=Trh

2h2

该金字塔的侧棱长为/+（争z=亚+粤=叱+16,

所以需要灯带的总长度约为4x小恒还+4x型=(2兀+屈寿)/?,故选D.

42

8.C

【解析】

求出的元素，再确定其真子集个数.

【详解】

y=x2

由＜,.••AHB中有两个元素，因此它的真子集有3个.

x2+y2=1

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合

A3都是曲线上的点集.

9.C

【解析】

设出不，%),B(X2,y2),设直线/的方程为：y=kx+b,与抛物线方程联立，由△＞()得如＜1,利用韦达定理结

合已知条件得〃=2二-P匚，m=2~,代入上式即可求出攵的取值范围.

kk

【详解】

设直线/的方程为：y=kx+b,A*|,yj,B(x2,%),

y=kx+b

联立方程《2，消去)'得：k2x2+(2kb-4)x+b2=0,

_y=4x

/.△=(2如-4y-4/2>0,

:.kb<\,

4一2kbb2

且％+%2,x\x2=Ti

K

4

M+必=A(X[+x^+2b=-,

k

;线段AB的中点为(加＞0),

4一2妨c4c

"+"『=2,乂+必=厂2租,

m>0,

把匕=马士代入奶<1,得2-标<1,

k

A：2>1,

：.k>\,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

10.A

【解析】

试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

解：根据题意，由于a,0表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，由于“a〃p,

则根据面面平行的性质定理可知，则必然a中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，

，“a〃B是“1〃0”的充分不必要条件.

故选A.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定.

11.C

【解析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.

【详解】

3+4

由图表可知，种子发芽天数的中位数为^-=3.5,

2

故选：C.

【点睛】

本题考查中位数的计算，属基础题.

12.C

【解析】

根据卜］表示不超过x的最大正整数，可构建函数图象，即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性，进而下结论.

【详解】

由[可表示不超过X的最大正整数，其函数图象为

选项A,函数〃x)qo,i),故错误；

选项B,函数/(x)为非奇非偶函数，故错误；

选项C,函数/(X)是以1为周期的周期函数，故正确；

选项D,函数/(%)在区间•••[0,1),[1,2),[2,3)…上是增函数，但在整个定义域范围上不具备单调性，故错误.

故选：C

【点睛】

本题考查对题干[司的理解，属于函数新定义问题，可作出图象分析性质，属于较难题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

IQA石

13.6y=i---X

5

【解析】

由题得，=5+4=9，c=3所以焦距2c=6,故第一个空填6.

由题得渐近线方程为y=±*x=±芈x.故第二个空填y=±半％.

14.[5,+oo)

【解析】

先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解.

【详解】

由7是单位向量.若如々=2,b-e=3,

设@=(1,0),

则万=(2,加),5=(3,〃),

又a*b=0>

则mn=-6,

则a+b=(5,m+n),

则Ia+11="25+(加+,

又(〃Z+〃)2..O,

所以|d+b|..5,(当〃?=底,n=_瓜或=-y/6,n=限时取等)

即11+51的取值范围是［5,+oo),

故答案为：［5,+00).

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15.100.

【解析】

分析：根据频率分布直方图得到三等品的频率，然后可求得样本中三等品的件数.

详解：由题意得，三等品的长度在区间［10,15),［15,,20)和［35,40］内，

根据频率分布直方图可得三等品的频率为(0.0125+0.0250+0.0125)x5=0.25,

.•.样本中三等品的件数为400x0.25=100.

频率

点睛：频率分布直方图的纵坐标为,因此每一个小矩形的面积表示样本个体落在该区间内的频率，把小矩形的

高视为频率时常犯的错误.

16.(l,4w)

【解析】

根据条件构造函数尸(*)=/3,求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论.

e

【详解】

“X)

设方(x)

贝!)F'(x)=,

ex

f(x),

：.F'(x)>0,即函数尸(x)在定义域上单调递增.

:•于(——"<C于'「।—~，即F(x)<F(2x-l)

ere2"-'

Ax<2x-l,即x>l

/.不等式ex-'f(x)</(2x-l)的解为(1,+8)

故答案为：(l,+8)

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)=2/1-1；=2'i(2)(zz-l)x2n+1-^y^+2

【解析】

3x2

(1)设数列｛«„｝的公差为d,由%=S?可得,4+4d=3q+=",由4=4=1即可解得d=2,故4=2〃-1,由

2+为=15，即可解得q=2，进而求得bn=2"-'.

(2)由(1)得，S"TK="『I=".2"_〃，利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

nn

【详解】

(1)设数列风｝的公差为差数列也｝的公比为g,

由%=S3可得,q+44=3。1+

整理得2%=4,即d=2,

故4=2〃-1,

由的+d=15可得4=8,则如③=8,即乡=2,

故a=2"T.

（2）由（1）得，S„=n2,7；=2"-1,

„S-T«2（2"-1）

故=—-----=

nn

所以，数列产，"■的前〃项和为(1X2、2X22+…+“x2")—(l+2+…+〃),

设匕=lx2l+2x22+…+(〃-l)x2"T+〃x2”①，

则2月=lx22+2x23+…+(〃—l)x2"+〃x2"+|②，

®-®:»^=Hx2n+1-(2+22+23+..-+2,,)=(n-l)x2,'+l+2,

综上，数列］三"｝的前n项和为(〃—1)x2n+1-?(丁)+2.

【点睛】

本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，难度一般.

18.⑴见解析⑵VE_ABCD=442

【解析】

(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN〃AC,故AC〃平面MDF；

(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出86，平

面CDEF,故BG±DF,又DF±BE得出DF_L平面BEG,从而得出DF±EG,得出RtADEG〜RtAEFD,

列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.

【详解】

(1)证明：设EC与DF交于点N,连接MN,

在矩形CDEF中，点N为EC中点，

为E4的中点，•••MN//AC,

又：ACZ平面ME*,MNu平面MDF,

:.AC//平面AIDE.

(2)取C。中点为G,连接8G,EG,

平面CDEF±平面ABCD,

平面CDEFc平面ABCD=CD,

ADu平面ABC。，ADVCD,

J.AD±平面CDEF,同理EO_L平面ABCD,

•••的长即为四棱锥E—ABCD的高，

在梯形ABC。中AB=LCD=L>G,ABIIDG,

2

四边形A5G。是平行四边形，BG//AD,

：.平面CDE/7,

又VDFu平面CDEF，:.BGLDF,

又BE上DF,BEcBG=B,

...DEL平面BEG,DFVEG.

注意到RtADEGsRt^EFD,

:.DE?=DGEF=8,DE=20，

VE-ABCD=§^ABCD-ED=4>/2.

【点睛】

求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊

方法——分割法、补形法、等体积法.①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几

何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形（或几何体）的面积（或体积）通过

已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，

这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥）的高，而通过直接计算得到高的数值.

19.（1）4;（2）证明见解析.

【解析】

（1）当〃=2时，集合4共有22=4个子集，即可求出结果；

（2）分类讨论，利用数学归纳法证明.

【详解】

（1）当〃=2时，集合4共有2z=4个子集，所以4+生+…+品=4；

2

（2）①当“=2时，m-2=4>由（1）可知，at+a2-\---ia4=4,

此时令4=1,“2=2,=1，。4=0，

满足对任意i43（i£N"）,都有=且。4=°；

②假设当〃=左（攵22）时，存在有序集合组（M，满足题意，且与=0,

则当〃=Z+1时，集合4的子集个数为2*乜=2-2"个，

因为2"是4的整数倍，所以令%+i=l，4。2=2,%*+3=1，%+4=°，

且4%广%+小（1«门2—4）恒成立,

即满足对任意区27一1,都有旧一他|=1,且*=0,

综上，原命题得证.

【点睛】

本题考查集合的自己个数的研究，结合数学归纳法的应用，属于难题.

20.（1）见解析（2）存在，2e[-l,3]

【解析】

（1）利用作差法即可证出.

（2）将不等式通分化简可得匕粤三24,讨论,由＞0或,活＞0,分离参数，利用基本不等式即可求解.

a2b2ab

【详解】

⑴/-/-（2〃"-2/）=（4-力）（。2+而+%-2ab（a-b）

=（“―/?）（/_帅+〃）=（a-J）I。—+[”

a<b,.\a-b<0

、2

b

又a——+-b2>0

274

a3-b3<2a2b-2ab2

⑵X"

即小等

即+2a（*）

a2b2-ab''

①当成＞0时，（*）即24"=1+二+1恒成立

''a2b2ab

（当且仅当a=Z?时取等号），故/IK3

②当时她皿⑴昼^^宗介1恒成立

（当且仅当。=_）时取等号），故几？一1

综上，2e[-l,3]

【点睛】

本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.

21.（1）C=60"（2）11

【解析】

（D利用二倍角公式将式子化简成1-cos（A—B）+l+cos（A+B）+2cosAcosB,再利用两角和与差的余弦公式即

可求解.

（2）利用余弦定理可得02=层+/一诏=16,再将|画+而卜屈平方，利用向量数量积可