2018年数学总复习专题2.8函数与方程练习（含解析）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE26-学必求其心得，业必贵于专精专题2。8函数与方程【真题回放】1．【2017课标3理11】已知函数有唯一零点，则a=（）A． B． C． D．1【答案】C【考点解读】本题考查函数零点的判定定理,函数的单调性、数形结合能力及化归思想和分类讨论的思想等,属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．2.【2017山东理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（）(A）(B）(C）（D)【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且,此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增,所以要有且仅有一个交点，需选B.【考点解读】本题考查了函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用。注意对分类思想的运用。3。【2017高考江苏理14】设f(x）是定义在R且周期为1的函数，在区间上,其中集合D=,则方程f(x）-lgx=0的解的个数是.【答案】8【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想.对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读）考点分析考点了解A掌握B灵活运用C函数的零点B二分法A函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用.这部分内容要求学生掌握零点的概念(三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法.高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间,判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用.融会贯通题型一确定函数零点所在的区间典例1。(1）（2017海口中学高一期末）方程的根所在的区间是（)A.B。C。D.【答案】B【解析】设,方程的根就是函数的零点，因为是单调递增函数,且，，所以函数的零点所在区间是，因此方程的根所在区间是，故选B.(2）（2017福州模拟）若a〈b<c，则函数f(x)＝（x－a)(x－b)＋（x－b）(x－c)＋(x－c)（x－a）两个零点分别位于区间（）A．(a,b）和（b,c）内 B．（－∞，a）和(a，b）内C．（b，c）和(c，＋∞)内 D．（－∞，a)和(c，＋∞)内【答案】A【解析】∵f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）(x－c)＋(x－c)(x－a），∴f（a）＝（a－b)（a－c），f(b）＝(b－c）(b－a)，f（c)＝（c－a）（c－b），∵a〈b<c,∴f（a)>0,f（b）〈0,f(c)〉0，∴f(x)的两个零点分别位于区间（a,b)和(b，c）内．(3）（2017银川一中模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A.B.C。D.【答案】B(4）（2017兰州模拟）已知函数没有零点，则实数的取值范围是（）A。B。C。D.【答案】A【解析】设,则原函数可化为解题技巧与方法总结确定函数零点所在区间的方法1．解方程法：当对应方程f(x）＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是否连续，再看是否有f（a)·f(b)<0。若有，则函数y＝f（x)在区间（a，b）内必有零点．3．数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式训练】（1）（2017嘉兴模拟）设函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n,n＋1),n∈N，则x0所在的区间是________．【答案】(1，2)【解析】设f（x）＝x3－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2）)）x－2，则x0是函数f（x)的零点,在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)x－2的图象,如图所示．因为f（1）＝1－eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)－1＝－1<0，f(2）＝8－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2））)0＝7>0，所以f(1)f（2)〈0，所以x0∈（1,2）．（2)(2017哈尔滨模拟)已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A.B。C。D。【答案】A（3）（2017兰州模拟）已知，是方程的两个解，则（）A.B.C.D.【答案】B知识链接：知识点1函数的零点1．函数零点的定义；对于函数y＝f(x）（x∈D）,把使f(x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x)（x∈D)的零点．2．三个等价关系;方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理）；如果函数y＝f(x）在区间[a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a）·f(b）〈0，那么，函数y＝f（x）在区间（a,b)内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c)＝0,这个c也就是方程f（x)＝0的根．题型二确定函数零点的个数典例2.（1)（2016济南模拟）已知函数f(x)＝cosx－logeq\f(1，10)x，则f（x)在其定义域上零点的个数为（)A．1B．3C．5【答案】C【解析】令f（x)＝0，得cosx＝logeq\f(1，10）x，画出函数y＝cosx和y＝logeq\f(1,10)x的图象,如图所示：显然函数在eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2)))有1个交点，在eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2),\f（3π，2））)有2个交点，∵cos3π＝－1，logeq\f(1,10)3π＝－lg3π〉－1,函数y＝logeq\f（1，10）x在（0，＋∞）上递减，∴两个函数在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5π，2)，\f（7π，2))）有2个交点，共5个交点，故选C.（2）（2017石家庄一中高一期末)已知函数，则函数y=f［f（x)]﹣1的零点个数是（)A．1 B．2 C．3 【答案】C【解析】当x≤0时,y=f［f（x）]﹣1=x+1+1﹣1=0，解得x=﹣1，当0＜x≤1时，y=f[f（x）］﹣1=log2x+1﹣1=0，解得x=1,当x＞1时，y=f[f（x)］﹣1=log2（log2x)﹣1=0，解得x=4，综上所述函数的零点的个数为3个，故选：C（3）(2017衡水金卷）设定义在区间[﹣k，k］上的函数是奇函数,且，若[x］表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，则［x0］=(）A．1 B．1或2 C．2 D．3【答案】C(4)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0,）)则函数f(x）＝sgn(lnx)－lnx的零点个数为________．【答案】3【解析】sgn（lnx)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1,x＞1，,0,x＝1,,－1，0＜x＜1，))故函数f(x)＝sgn(lnx）－lnx的零点有3个，分别为；e,1，eq\f(1,e)。解题技巧与方法总结判断函数零点个数的方法1．解方程法：令f(x）＝0,如果能求出解，则有几个解就有几个零点．2．零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f（b)〈0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3．数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象,看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式训练】（1）（2017甘肃天水一中高一期末）函数的零点的个数为（）A。0B。1C.2D。3【答案】C两个函数的图像有两个交点，即函数有两个零点，应选答案C。(2）(2017三明高三检测)函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x≤0，,2x－6＋lnx，x>0))的零点个数是________．【答案】2【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－eq\r(2）(正根舍去），所以在(－∞,0]上有一个零点．当x〉0时,f′（x)＝2＋eq\f（1，x）>0恒成立,所以f(x）在（0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2〈0，f（3)＝ln3>0，f（2）·f(3）〈0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f（x）的零点个数为2。（3）（2017石家庄一中模拟）已知函数的周期为,当时，如果，则函数的所有零点之和为（）A.B.C。D.【答案】A（4）（2017届四川双流中学高三月考）记表示不超过的最大整数，如，。设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（）A．B．C.D．【答案】B知识链接：知识点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0）的图象与零点的关系Δ〉0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0）的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2，0)(x1,0)无交点零点个数210必会结论（1）若函数f（x)在［a,b］上单调，且f（x）的图象是连续不断的一条曲线，则f（a）·f（b)〈0⇒函数f（x）在［a，b］上只有一个零点．(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．必知联系（1）研究方程f(x）＝g(x）的解，实质就是研究G（x）＝f(x)－g（x)的零点．（2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．（3）f（a)·f（b）<0是f（x)在区间（a，b）上有零点的充分不必要条件．题型三函数零点的应用典例3。(1)（2017兰州模拟)设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（)A.B.C。D。【答案】D【解析】不妨设，则,所以，因此,选D.（2）(2017银川模拟)若函数有4个零点,则实数的取值范围是（)A。B。C。D。【答案】B（3）（2017银川一中高考模拟)已知函数的周期为,当时，如果，则函数的所有零点之和为(）A.B.C.D。【答案】A【解析】由已知，在同一坐标系中分别画出函数的图象和的图象，如下图所示，当时,为增函数,且，当时,，两个函数的图象没有交点，根据它们的图象都是关于直线对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为,即所有零点之和为8.选A.（4）（2017衡水金卷)已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（)A.B。C.D.【答案】C解题技巧与方法总结已知函数有零点求参数取值范围常用的方法1．直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．3．数形结合法：先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．【变式训练】（1）（2017兰州模拟)定义；，,若有四个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A.B。C.D.【答案】D【解析】由题意可知当时，，当时，，作出函数和的图象如下:其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，故方程有四个不同的实数解，故选D。（2）（2017镇江市高三一模）已知函数与函数的图象共有(）个公共点:，,…，，则．【答案】2（3）（2017衡水金卷）设是定义在上的偶函数，且时，当时,,若在区间内关于的方程（且)有且只有4个不同的根，则实数的范围是（）A.B.C。D.【答案】D【解析】由已知在上递减，是偶函数，则在上递增,又，即的图象关于直线对称，因此在上递减，在上递增(实际上是周期为4的周期函数），，方程在区间内有4个根，即函数与函数的图象有4个交点，如图，所以且，解得，故选D．（4）（2017北京海淀区一模）已知函数，关于的方程（）有四个不同的实数解，，，则的取值范围为．【答案】（0,1）（5）（2017石家庄高三联考）对于函数,若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为__________．【答案】课本典例解析与变式例1.【必修1第八十八页例1】求函数的零点的个数。【解析】用计算器或计算机作出x，f(x）的对应值表与图像如下：x123456789f（x）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189。945912.079414。1972由上表和图可知,f（2)〈0，f（3)〉0,则f（2)·f（3）〈0，这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．由于函数f（x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．【原题解读】本题为运用函数思想解决方程的求解问题，需要理解零点的概念（三种等价的解释）。由函数思想丰富了求解方程的思路。感受函数思想的作用及数形结合的方法。变式1。(2015湖北高考)函数的零点个数为_________.【答案】.变式2。(2016届宁夏银川一中期中）已知函数f（x)的图象是连续不断的,有如下的x,f（x)的对应表x123456f(x）136.1315。552－3。9210。88－52.488－232.064则函数f（x）存在零点的区间有()A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2,3］和［3，4］C．区间［2，3］、[3,4］和[4,5］ D．区间[3,4］、［4，5］和[5,6]【答案】C【解析】因为f(2)>0，f(3)<0,f（4)〉0，f（5）〈0，所以在区间［2，3]，[3，4］，[4,5]内有零点．变式3.（2016兰州模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A。B.C。D.【答案】B【解析】由，得，，.所以零点在区间.变式4.（2016山东高考）已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.【答案】【课本回眸反思】1.注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；2.在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；3．解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解,灵活运用的目的，并提高复习效率.练习检测1.（2017甘肃武威高一期末)方程的根所在区间是（）A.B。C.D。【答案】D考点：零点判定定理2。(2017梅州模拟)函数f（x)＝2x|log0.5x｜－1的零点个数为(）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x｜log0。5x|－1＝0的解,即|log0。5x|＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2))）x的解,作出函数g（x）＝|log0.5x｜和函数h(x)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)x的图象,由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．考点：零点的概念3．(2017襄阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)＝x2－3x,则函数g(x)＝f（x）－x＋3的零点的集合为(）A．{1,3} B．{－3，－1,1，3｝C．｛2－eq\r（7)，1,3｝ D．｛－2－eq\r(7），1，3｝【答案】D考点:函数的奇偶性及零点的概念4。（2017广东高三七校联考）若函数的零点在区间上,则的取值范围是（)A．B．C．D．【答案】C【解析】单调递增，，故选C。考点：函数的单调性与零点的概念5。(2017届黑龙江宝清县高三质检)若偶函数，，满足,且时，，则方程在内的根的个数为（）A．12B．10C．9【答案】D【解析】，将原命题转化为方程组在内的根的个数,进而转化为交点个数，易得是偶函数，先做出两函数在上的图象，从而得到两函数在上有个交点，再根据偶函数的性质可得两函数在上有个交点，从而可得方程在内的根的个数为个，故选D.考点:函数的性质与零点的概念6.（2017衡水金卷）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根,则的取值范围是（）A。B。C。D.【答案】D考点：零点的概念与函数的性质7.(2017衡水金卷)定义域为R的偶函数满足对任意的,有且当时,，若函数在上恰有六个零点，则实数的取值范围是（）A。B.C.D.【答案】C【解析】令，则,所以，所以,即函数的周期为,由此可画出函数和的图像如下图所示.由图可知，，故.考点：函数的奇偶性与周期性,零点概念及数形结合的数学思想方法.8。(2017开封高三一模）已知函数,(）,设方程,,的实根的个数为分别为、、，则(）A.9B.13C.17【答案】B极小值为，极大值为。方程的实根为方程或或的根,显然方程有3个根，方程与各有１个根，从而方程，实根的个数为5，即n=5；记方程除0外的另外两个实根分别为，可知，方程的实根为方程或或的根,显然方程有3个根，方程与各有１个根，从而方程根的个数为5，即t=5,故13.故选B。考点：零点的概念及复合函数和换元法。9．（2017昆山模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1，,log2x，））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤0，，x〉0,）)则函数y＝f［f(x)］＋1的所有零点所构成的集合为________．【答案】eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（－3，－\f(1,2)，\f（1,4），\r(2））)考点：零点概念10。（2016天津河东区高三一模）已知函数f(x)＝|x2