沪教九年级上中考题同步试卷相似三角形

沪教新版九年级（上）3一、选择题（共11小题如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是 如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为（ 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ 5cmB．6cmC．7cmABCDEFABCD外两点，AE⊥CF52

，∠EDF=90°，则DF长是

如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥ACS△BDE：S△CDE=1：4 如图，△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ 如图，已知△ABC12，BC=6E、I分别在边AB、ACBCn个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，KHIJ，则每个小正方形的边长为

如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接AP并延长，交BC的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（

C．5 D．5如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2√6，则MF的长是（ A．√15

如图，△ABC中，D、EBC、AD上，且AD为∠BACC，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何 二、填空题（共9小题如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则 M1、M2、M3，…MnAM1，AM2，AM3，…AMn，分别交正方形的边，M2N2A2A3的面积是S2，…四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn，则Sn=．E3点，且∠AOD=120°AB=x，CD=yy与x的函数关系式为．ADE=∠B=α，4DE交ACE，且

5②当BD=6时，△ABD与△DCE③△DCE为直角三角形时，BD8或；2其中正确的结论 （认为正确结论的序号都填上Rt△ABO的顶点OB在xABO=90°，OA与反比例函数

的图象交于点DOD=2ADD作x轴的垂线交x轴于点C四边形ABCD=10，则k的值 如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，EAB边上一点，∠BCE=15°AE=AD．连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论正确的 （填序号𝐻𝐸

如图，已知CO1是△ABC的中线，过点O1O1E1∥ACBCE1，连接AE1CO1于O2；过点O2O2E2∥ACBC于点E2AE2CO1于点O3；过点O3O3E3∥AC交BCE3，…O4，O5，…，OnE4，E5，…，EnOnEn=AC（n的代数式表示）于点FG在AF上，FG=FDEG交AC于点HH是AC

的值 三、解答题（共10小题如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FEFD和CB交于点若GB=2，BC=4，BD=1ABRt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．DACDDF⊥BCF，过F作FE∥AC，交AB于E．设求yx当四边形AEFD为菱形时，求x当△DEFxABCDMBCAMAMM顺时90°MN，在CDPCP=BMNP，BP．求证：四边形BMNP线段MN与CD交于点QAQ，若△MCQ∽△AMQBM与MC存在怎样的数量阅读下面材料：遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D段BC上BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DCAC发现，过点C作CE∥ABAD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 参考思考问题的方法，解决问题：BE=2EDBC的长．ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM于点N，且BD若△DCN2，求四边形ABNMRt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交于点O，E为AC上一点，且3当

AC，AB=10时，求线段BO8如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1D在边AC上且BD平分∠ABC求x求cos36°﹣cos72°如图所示，AD，BE是钝角△ABCBC，AC

ABCD中，AC⊥BDBD于点EF，M分别是AB，BC的中点，BN∠ABE交AM于点N，AB=AC=BD判断△BMN判断△MFN与△BDCABCD1，AB边上有一动点PPDPDP顺时针90°PE，且PEBC于F，连接DFEEQ⊥AB的延长线于点Q．求线段PQ问：点P在何处时，△PFD∽△BFP沪教新版九年级（上）中考题同步试卷：第3节相似三角参考答案与试题解一、选择题（共11小题1（2013• 【分析】根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABCBC则

5×1= 故选2（2013•荆州）如图，在△ABC中，BC＞ACD在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF：S四边形BDEF为 A．3：4B．1：2C．2：3【分析】由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线，所以也是底边上形BDEF的值．∴△ADC∵∠ACB的平分线CE交AD于∴E为AD的中点（三线合一又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD12

∴S△afe：S四边形bdef=1：3，故选D．EF为中位线，S△AFE：S△ABD=1：4．3（2013•线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（ A．5cmB．6cmC．7cm【分析】由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三【解答】解：∵四边形ABCD故选B．4（2014•盘锦）ABCD是矩形，点E和点F是矩形ABCD外两点，AE⊥CF5

，∠EDF=90°，则DF长是 2

DFAEO点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得到△ADE∽△CDFDF的长．【解答】解：设DF和AEO∵四边形ABCD∵AE⊥CF于点5∵AD=3，DC=4，DE=2 35（2014•本溪）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ 【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE﹣C6（2014•莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若CDE=1：4，则 【分析】设△BDEa，表示出△CDE4a

，然后求出△DBE和△ABC平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD∴设△BDE的面积为a，则△CDE∵△BDE和△CDE的点DBC𝐵𝐸 =𝐶𝐸𝐵𝐸 =𝐵𝐶记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关7（2014•顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为（ A作AM⊥BC于点MDG于点NGFBC于点H∽△ABC【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GFBC于点∵四边形DEFG12

∴AM=√𝐴𝐵2−∴∴

6 8（2014•

xn长规律即可得到问题答案．过点A作AM⊥BCM，交GHN．∵四边形EFGH∵△ABC12，BC12

2

设𝑥 ∴ 同理当n=2

4解得 7以此类推由此，当为n个正方形时

9（2014•的延长线于点F，作△CPF的外接圆⊙O，连接BP并延长交⊙O于点E，连接EF，则EF的长为（）

C．5 D．5【分析】先求出CP、BFBP【解答】解：∵四边形ABCD∵P为CD∴

𝐶𝑃 =𝐴𝐵𝐵𝐹−2 = 由勾股定理得：BP=√22+∵四边形ABCD∴PF∴

1∴ 𝐸𝐹4∴EF=510（2014•铜仁地区）如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2√6，则MF的长是（ A．√15

=

=

，即

=

．得到ax的关系式，化简可得x的值，得到D【解答】解：∵AE平分∠BAFBCE，且∴𝐴𝑀=√𝐴𝐸2−𝐸𝑀2=√24−9=设MD=a，MF=x，在△ADM和△DFM中，{∠𝐴𝑀𝐷=∠∠𝐴𝐷𝑀=

∴𝑎2=在△DMF和△DCE中，{∠𝐷𝑀𝐹= ∠𝑀𝐷𝐹=∴

=

，即

，𝑎2=∴{ √15𝑥=𝑎

√(3+

，−𝑎=𝑥

11（2014•）如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（ 【分析根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=2：1，再根据三角形相似求得根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得9

94

924

94

2 故选D．

二、填空题（共9小题12（2013• 【分析】根据DE∥BC，可判断△ADE∽△ABC∴

=

，即3

13（2014•和点M、M1、M2、M3，…Mn是正方形的顶点，连结AM1，AM2，AM3，…AMn，分别交正方形A1M，A2M1，A3M2，…AnMn﹣1N1，N2，N3，…，NnM1N1A1A2四边形M2N2A2A3的面积是S2，…四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn，则

进而得出Sn的值．则

𝑀𝑁1 = 1故MN1=2

1故四边形M1N1A1A2的面积为

=1﹣=4 故四边形M2N2A2A3的面积是

1=1﹣=6则四边形MnNnAnAn+1的面积是

．

14（2014•4⊙OA、D、E3点，且∠AOD=120°AB=x，CD=yy与x的函数关系式为

0）【解答】解：连接∴∵△BCE∴

𝑥即=24

（x＞04

（x＞015（2014•4∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且②当BD=6时，△ABD与△DCE

5③△DCE为直角三角形时，BD8或；2其中正确的结论是①②③④（认为正确结论的序号都填上BD=6DC=10②作AG⊥BC于4∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=5在△ABD与△DCEDC

5

∠𝐵𝐴𝐷={∠𝐵=𝐴𝐵=即AD⊥BC，∴∠ADE=∠B=α且cosα=

5∵∠B=α且

45

𝐴𝐵=𝐵𝐷 2④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴

=16−𝑦16（2014•轴上，∠ABO=90°，OA与反比例函数

的图象交于点DOD=2ADD作x交x轴于点C．若S四边形ABCD=10，则k的值为 𝐷𝐶𝑂𝐶

=

=（

，求出

1

𝑂𝐴

三角形面积得2

OC×CD=8OC×CD=16𝑂𝐷 =𝑂𝐴∴

=

𝑂𝐷 =𝑂𝐴（ （

）2=9∵S四边形1∴2故答案为此题的关键是求出△ODC的面积．17（2014•7CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积 4∽△BCF△BEF﹣S△ADFBA，CD交于点∵BE在△BEF和△BEC∠𝐸𝐵𝐹={𝐵𝐸= ∠𝐵𝐸𝐹=∴△BEF≌△BEC（ASA∴

1

1×S△BCF= 1∴S四边形ABED=S△BEF﹣S△ADF=2﹣=47故答案为：．418（2014•德阳）ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，EAB边上一点，∠BCE=15°AE=ADDE交对角线AC于HBH（填𝐻𝐸

【分析】在等腰直角△ADEAH⊥EDAC⊥ED，判定①正确；进而可判定③；因为△CHE为直角三角形，且∠HEC=60°EC=2EHC°EC≠4EB

2再求出∠CED=60°，得到△CDE为等边三角形，判定③正确；过HHM⊥AB于M即AC⊥ED∵△CHE在△ACD和△ACE中，𝐴𝐸={∠𝐵𝐴𝐶=𝐴𝐶=∴△ACD≌△ACE（SAS∴△CDE过HHM⊥AB于∴

∴

∵△BEH和△CBE∴

=

=

19（2014•AE1CO1于点O2；过点O2O2E2∥ACBC于点E2，连接AE2CO1于点O3；过点O3作1

AC（

是△ABC的中线，OE∥AC，可证得𝐵𝑂1=𝑂1𝐸1

𝑂1𝐸1=𝑂2𝐸1=1 1

=

∴

=∵CO1是△ABC∴

= ∴

=𝑂2𝐸1= 由可得：𝐸1𝑂2=𝑂2𝐸2= …1

20（2014•长线上，EF⊥AD于点FG在AF上，FG=FDEG交AC于点HH是AC则

的值 351步：利用角平分线的性质，得到

42步：延长AC54

然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG4步：由MN∥AD

【解答】解：已知AD为角平分线，则点DAB、AC的距离相等，设为𝐵𝐷

𝐴𝐵 = =

4

2

𝐴𝐶如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=ABAC=4CMDM．在△ABD与△AMD中，∴△ABD≌△AMD（SAS5

𝐴𝐵={∠𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐷=4

过点M作MN∥ADEG于点N，交DE于点∴

𝐶𝑀 =𝐴𝐶14

54

∴MD=KD，即△DMK由题意，易知△EDG∴四边形DMNG∵点H为AC𝐴𝐻 =𝑀𝐻∴

𝑀𝑁𝐴𝐺

=𝐹𝐷4故答案为：．3设AB=5a所以AG/AD=AH/AB=2/5，而 所以AG：GD=2：3，F是GD的中点，所以三、解答题（共10小题21（2014•南宁）如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FEFDCB交于点若GB=2，BC=4，BD=1AB（2）AB∥FC，可证明△GBD∽△GCFCFAD的长，进而可求出AB的长．在△ADE和△CFE∠𝐴={∠𝐷𝐸𝐴=𝐷𝐸=∴△ADE≌△CFE（AAS22（2014•作DF⊥BC于FF作FE∥AC，交AB于E．设求yx当四边形AEFD为菱形时，求x当△DEFx（1）由已知求出∠C=30°y与x1由四边形AEFD为菱形，列出方程y=60﹣x与2

x组成方程组求x1

x组成方程组求x2（1）∵1∴y=2∵四边形AEFD1{∴方程组𝑦=2 {𝑦=60−解得∴当x=40时，四边形AEFD1与2

x

2𝑦=60− 𝑦=2解得Rt△ADERt△EFB12

EF=30﹣2

12综上所述，当△DEF是直角三角形时，x3023（2014•AM绕M90°MN，在CD边上取点P使CP=BM求证：四边形BMNP线段MN与CD交于点QAQ，若△MCQ∽△AMQBM与MC存在怎样的数量BCPAM=BP，∠BAM=∠CBPAM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

=

=

=

（1）ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，𝐴𝐵={∠𝐴𝐵𝐶=𝐶𝑃=∴△ABM≌△BCP（SAS∵AM并将线段AMM90°得到线段∴AM⊥MN，且∴四边形BMNP∴

∴

∴

（1）（2）的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．24（2014•BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DCAC发现，过点C作CE∥ABAD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图请回答：∠ACE的度数为75° ，AC的长为3 参考思考问题的方法，解决问题：BE=2EDBC的长．

=

=

可得AE=ACDFAB与DF的关系，∠ACE=75°，AC3．过点D作DF⊥AC于点∴

=

=

在△ACD在△AFD∴BC=√𝐴𝐵2+25（2014•连接CMBD于点NON=1．BD若△DCN2，求四边形ABNMMNDCNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2OB=OD=x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD（2）由相似三角形相似比为1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面积，则由线段之比，得到△MND与△CNB的面积，从而得到 D，最后由S四边形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．（1）∵∴

∵M为AD12

2

BC

𝑀𝐷=𝐶𝐵∴

=，即2∴x+（x﹣1

2 ∴S四边形26（2014•ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且3当

AC，AB=10时，求线段BO8OOD⊥AB于DCO=DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，从BC=BD=10﹣4kk=1Rt△BDO中，利用勾股证明：如图，过点OOD⊥AB于在△AOD和△PAE𝐴𝐸={∠𝐴𝑂𝐷=𝐴𝑃=∴△AOD≌△AE（SAS解：设38

如图，过点OOD⊥AB于点Rt△AOD中，AD=√𝐴𝑂2−𝑂𝐷2=√(5𝑘)2−∴

=

=解得Rt△BDOBO=√𝐵𝐷2+𝑂𝐷2=√62+（2）（3）k=1是解题的关键．27（2014•分∠ABC，设CD=x．求x求cos36°﹣cos72°（1）ABCBD为角平分线三角形ABC与三角形BCD相似；求出x的值即可；BBEAC，交AC于点E，在直角