2022年新高考数学复习小题特训02：等差数列（提高题）解析版

小题特训02：等差数列（提高题）

一、单选题

1.（2021•渭南市尚德中学高三月考（理））已知数列｛4｝中，4=25,a用=4—2（〃wN"）,若其前〃项

和为$“，则S”的最大值为（）

A.167B.168C.169D.170

【答案】C

【分析】

由递推公式求出数列｛对｝的通项公式，再求其前〃项和并确定其最大值.

【详解】

4+1=4,-2,q=25,

二数列｛七｝为首项为25,公差为-2的等差数列，

/.an=27-2n,

二数列｛%｝的前n项和$“=（.丁〃=26/1-n2,

〃=13时，S,,取最大值，最大值为169.,

故选：C.

2.（2021•四川绵阳•广安中学（理））已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，％=5,勺_4=31,若5“=198,

贝I］〃=（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】B

【分析】

利用等差数列求和公式及等差数列性质求得

【详解】

sn=］（4+".）=］（%+"i）；.198=^（5+31）〃=11,

故选：B.

3.（2021•黑龙江哈九中（理））等差数列｛4｝的前"项和记为S,,,若4>0,，。=$2。，则不成立是（）

A.J<0B.《6<。

C.S„<5I5D.当且仅当S“<0时让32

【答案】D

【分析】

根据等差数列的通项公式、前“项和公式，结合条件4>。即可逐一判断选项的正误.

【详解】

设等差数列也｝的公差为d,

由Bo=^20»得10q+45d=2044-190J,即2al+29d=0,又q>0,

所以d<0,AiF确.

291

“i6=q+15d=--—J+15J=—<0,B正确.

22

n(n-]]L29,n-ntn-30n

S.-nax~~d-----d-n+-------a

222

二当〃=15时，S〃有最大值当〃=15时，即Sa，%,C正确.

令S“<0,得二30土4<0,即〃2_30〃>0,解得〃..31,方错误.

故选：D.

4.（2021•宁波市北仑中学高三其他模拟）设S〃是某个等差数列的前〃项和，若52019=5202。=2020,则S.1=

()

221

A.2020-B.2020+C.2020-D.2020+

201920191010loio

【答案】A

【分析】

由题设易得q=-2019d且S2°2i=S202o+d,利用等差数列前〃项和公式,由S刈9=2020求&即可求S2o»

【详解】

由题意知:电020=°即4=一20191,且S2O21=S2020+(1,

201920182

52019=201967,+^J=2019x(-1010)^=2020,故d=-

2019'

2

・・・5初=2020-——

20212019

故选：A

5.（2021•合肥市第八中学高三其他模拟（理））设数列｛4｝,也,｝都是正项等比数列，S“，7；分别为数

歹与｛叫』的前〃项和，且标展，则（）

5

C.-D.

93

【答案】D

【分析】

根据等差数列前〃项和性质计算.

【详解】

设正项等比数列伍“｝的公比为q,正项等比数列｛4｝的公比为0,

数列｛1g%｝为等差数列，公差为Igq,Hg差｝为等差数列,公差为lgP,

n(n-l),n(n-l)

S“="lgq+“gq'5="lg&+\2"gP'

S，/+i「g"'+7g4嗨生=幽=喇+21gq=）=9=3

r„2n]g4+仁l]gp'岫域+21gp7；105,

故选D.

【点睛】

结论点睛：本题考查等差数列前，项和性质，分别是等差数列｛七｝和他,）的前,项和，则野=2.

"n^2w-l

6.（2021•全国高三专题练习）已知等差数列｛为｝满足a：+a；=2,且％21,则合静的取值范围为（）

A.(-1,1)B.[-i,i]c.(7,—i)ua,y)D.(7,—i]un,y)

【答案】B

【分析】

人q=>/2cos0则等Wc°s”l,进而根据等差中项得自=羽=2+f,再结合范围求

%=V2sin0

解即可.

【详解】

q=^2cos0

令《则<cos0<1f

a3=V2sin02

2%+生_4+2a3_V2cos0+2夜sin0

由题意

4+2%24+。32^2cos0+5/2sin0

cose+2sin。1+2tan0--3

=____________=_________=2H_________

2cos0+sin02+tan。2+tan。

由<cos^<1=>-I<tan^<l»

2

所以;4-3

<1,所以一34<-l,

2+tan，2+tan6

-3

所以—"2+<1.

2+tan6

故选：B

【点睛】

=y/2cOS0

本题考查等差中项的应用,是中档题.本题解题的关键在于设进而根据三角函数范围求解.

=5/2sin0

7.（2021•浙江高三其他模拟）已知数列｛4｝为等差数列，其前〃项和为S“，若可工0,豆6=0,则满足4•S,,<0

的正整数”的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】

利用给定条件得出6+%=。，再按公差d的正负分类讨论而得.

【详解】

由4*0,S[6=0知dwO，则九=•16=8®+.）=0,a^+av=0,

若d>0,则4<0,0,>0,即当“48时，<0;当"N9时,«„>0,

又治=0，所以当“415时，S„<0；当“217时，5„>0,

所以,当94/415时，”的个数为7,

若d<0,同理可得，94〃415时，«„-5„<0,〃的个数为7,

综上，当94〃415时，共有7个正整数满足题意，B正确.

故选：B

【点睛】

思路点睛：要注意等差数列的概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，巧妙运用等差数列的

性质，可化繁为简.

8.（2021•中央民族大学附属中学高三三模）等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若v〃eN*,5“4s»则数

列｛为｝的通项公式可能是（）

A.an=3«-15B.%=17-3〃C.an=n-1D.an=\5-2n

【答案】D

【分析】

解不等式20,可得出S,,取最大值时对应的〃的取值，结合已知条件可得合适的选项.

【详解】

由题意可知，V"cN*,Sn<Slt则数列⑸｝的最大项为

对于A选项，当“26时，4“>0且数列｛%｝为递增数列，此时｛》｝无最大项，A选项不满足

条件；

对于B选项，山％=17-3〃20,可得"V弓，故数列｛S,｝中Ss最大，B选项不满足条件；

对于C选项，•.・。“="-7,数列｛4｝为递增数列且当“28时，an>0,此时｛，｝无最大项，C选项不满足条

件；

对于D选项，由4,=15-2〃20,可得〃45,故数列｛S"｝中S’最大，D选项满足条件.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：在等差数列中，求5“的最小（大）值的方法：

（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）：

（2）借助二次函数的图象及性质求解.

9.（2021•浙江）已知数列｛%｝的前〃项和为6“，若不等式4,+TS”.对任意的〃eN"恒成立，则称数列｛《,｝

为“和保值数列”.若｛/｝是公差为4的等差数列，且｛%+"｝为''和保值数列”，则q的取值范围为（）

A.[0,+co）B.[-2,+<»）C.[-1,+®）D.

【答案】C

【分析】

根据题中定义，根据等差数列的前八项和公式、等差数列的通项公式，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】

由｛4+〃｝为“和保值数列”可得a^+n+\<na,+"（〃；）”+当2对任意的neN*恒成立，即

a[+nd+n+\<nat"对任意的〃eN*恒成立，即-120对任意

的恒成立，当”=1时，可得44-1；当“42n寸，不等式“^"2+（q-12°恒成立，

所以誓20,即故d=-l.则（4+1）〃一4一120.即（4+1）（〃—1”0,故4±-1,故4的取值范

围为[-1,+8）.

故选：C

【点睛】

关键点睛：运用二次函数的性质进行求解是解题的关键.

10.（2021通辽新城第一中学高三其他模拟（理））已知等差数列｛%｝的前"项和为，，且邑>S,,Ss=S9<St0,

则下面结论错误的是（）

A.%=0B.51s>S]4

C.d<0D."与S9均为S“的最小值

【答案】c

【分析】

根据4=5“-5,1（〃22）推导出为<0,%=0,aw>0,结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适

的选项.

【详解】

对于A选项，山$8=$9可得a9=59-58=0,A选项正确；

对于C选项，由S7>S*uj■得4=Sg-S?<。，,d=%-4>。，C选项错误；

对于D选项，由，0>$9可得4。=$0—59>0,且q=0,«8<0,d>0,

所以，当〃48且“eN*时，«„<0,且%=0,则$8与S9均为S,,的最小值，D选项正确；

对于B选项，1--a,=0,d>0,肖〃210时，”">%=0,

所以，Sl5-S,4=a15>0,B选项正确.

故选：C.

【点睛】

方法点睛：在等差数列中，求S“的最小（大）值的方法：

（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点到该项的各项和为最大（小）；

（2）借助二次函数的图象及性质求最值.

11.（2021•全国高三专题练习（文））已知正项数列｛叫满足，S“是｛4｝的前”项和，且S“=a；+ga“-14,

则5"=（）

an215n八/15〃

A.——十——B.—+——

4433

c325no

C.—n+—nD.n24-3n

22

【答案】A

【分析】

由题得S,,=a；+ga“-14,Si=a3+ga,i-14（〃22）,两式作差化简得数列｛4｝是一个以q为首项，以g

为公差的等差数列，求出4即得解.

【详解】

由题得5“=a；+|«„-14,S“_、=<,—14（〃>2），

两式相减得见=。,,2-1（心2）,

所以a“2-a3-ga“-ganT=0（〃N2）,

所以（％一«„-1）（«„+加）6（4+«„,l）=0（n>2）,

所以（4,+%）［（«„-a„-t）-；］=0（〃22）,

因为数列是正项数列，所以>«.

所以an-an_｝--=0（n>2）,

所以=g（〃N2）,

所以数列｛4〃｝是一个以q为首项，以I为公差的等差数列.

令,=1得q=4：—14,解之得4=4,

2

rrKIc”，〃1〃+15〃

所以S“=〃x4+（〃-1）x—x—=----------.

“224

故选：A

【点睛】

方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）归纳法；（2）公式法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）

构造法.要根据已知条件灵活选择方法求解.

12.（2021•浙江省宁海中学）已知公差d#0的等差数列｛4｝的前八项和为S“，若%必生通<0<%⑼+&）22,

则（）

A"4d>0B.[5,202||<1^2022!

C.S4M2s4043<。D.。2022s4042邑043>。

【答案】D

【分析】

111“2021/022<°，可得日021，“2022异号.右-d>0,则“2021V“2022>所以“2021<。，“2022>。，则。<°；若d<0,则

脸>出022,所以%>0,。侬<0,则%>0,再由等差数列的性质和前〃项和公式对选项进行逐一分析可

得答案.

【详解】

11]“2021”2022<。，可得02021,“2022异号.

若d>0,等差数列｛q｝单调递增，则出必<。2。22,所以％81<0,«2022>0,则4<。

若d<0,等差数列｛aj单调递减，则的⑼>生022,所以生⑼>。，生022<。，贝lJ4>0

所以40<0,故选项A不正确.

选项B.当4<0时，则%HI>。2022，所以%«2022<0>则

则此时，当"V2021时，a„>0；当“W2022时,。“<0

$2021=4+a2-\t-a2021>0，S2022=4+a2T卜叼021+02022<$2021

而且52022=0+产2X2022=%+；2⑼X2022>0

此时1sMi>|S皿故选项B不正确.

选项c.S4（M,=4+喉x4042=%+%O22x4042>0

*22

S4043=4+片3X4043=^21X4043=4043xa2022

当d>0时，a2022>0,则S41M3>0,此时S4042s4043>o,所以选项C不正确.

选项D.由〃2021%022<。<〃2O21+。2022，则“2021，“2022均不为。.

2应“廿（妇野、4042卜（妇产X4043）

=a2O22x（。2必詈。22X4042^^1x4043）

=4042x4043xa2O2^x"2021+沏>22>。

所以选项D正确.

故选：D

【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的性质和前〃项和公式的应用，解答本题的关键是先分析出若d>0,则

。2021V。2022,所以。2021<。2022>。，则《<。；彳i”<0,则%021>。2022>所以“2021>°，“2022<。，则a1>。，

以及等差数列的性质和前«项和公式的灵活应用.

二、多选题

13.（2021•青龙满族自治县第一中学高三月考）已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且%=20,$=98,

则（）

A.《+%=34B.同<|为|

C.S„<S9D.满足S“<0的〃的最小值为17

【答案】AD

【分析】

先由等差数列的性质及S7=98求得%=14,结合的=20及等差数列的性质即可判断选项A；由选项A得到

数列｛4｝的公差，进而得到等差数列｛%｝的通项公式，然后求出附，“9的值，结合｛%｝的增减性即可判断

选项B,C；由等差数列的性质及小,的易得到心，品的值，结合｛〃“｝的增减性即可判断选项D.

【详解】

因为4=2^詈9=7%=98,所以4=14.

又见=20,所以4+%=生+%=34,A选项正确；

设等差数列｛q｝的公差为d，由4-%=2d=-6,解得d=-3,

所以4,^a2+（n-2）x（-3）=26-3n.

%=26—3x8=2,〃9=26—3x9=—1.

所以同>同，B选项不正确；

由4=一3知数列｛%｝为递减数列，又4=2>0,«9=-1<0,

所以S$为S“的最大值，C选项不正确；

因为九二16（0；46）=8（4+%）=&>0,5|7==17xa9=-17<0.

所以满足S,<0的”的最小值为17,D选项正确.

故选AD.

14.（2021•全国高三其他模拟）己知数列｛为｝为递增的等差数列，其公差为d,前〃项和为S”若2%=%,

则下列说法正确的是（）

A.”>0B.5,=S8>0

C.仅邑为6“的最小值D.S“>。时〃的最小正整数为16

【答案】AD

【分析】

根据条件可知4>0，并且可知“8=0,判断AB选项，根据％=0,利用正负项的分界，判断C选项，利用4=0,

可知，5=0,判断D选项.

【详解】

本题考查等差数列的概念、性质及前”项和的应用.

2%=n2=>2a]+8d=4+d=>4+7d=0=>网=0.

：｛叫为递增数列，；">0,故A选项正确；

«8=0,/.57=58<0,故B选项不正确；

•：d>0,4=0，，易二以同为S“的最小值，故C选项不正确；

•.•%=（）,，=15%=0,.•.使S.>0的〃的最小」E整数为16,故D选项正确.

故选:AD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的通项和前〃项和的最值，关键是求得4=0,根据正负项的分界，判断选

项.

15.（2021•河北高三月考）已知数列｛叫满足4=10,%=2,且4-2-2。向+4=0（〃eV）,则下列结

论正确的是（）

A.an=12-2n

_J30,/I<5

B.同+同+同+…+

[n2+5,n>5

C.|可|的最小值为0

D.当且仅当〃=5时，4+%+%+…+4,取最大值30

【答案】AC

【分析】

由递推式可知数列｛4｝是等差数列，由4=10,%=2,可求得公差d,从而可得数列｛a,J的通项公式，即

可判断选项A：当〃=6时,«„=0,当4,5时，a„>0,当〃..6时，4,0,从而可求得lqI+4|+|6I+…+|a.I,

即可判断选项B；当〃=6时，取得最小值为0,即可判断选项C；由4=。，可知当〃=5或〃=6时，

q+%+%+…+a.取最大值30,从而判断选项D.

【详解】

由4+2-2a“+|+=0，可得an+2-a,l+l=a„+l-a„，

所以数列｛6,｝是等差数列，

因为q=10,%=2,所以"=岑子=_2,

所以4=4+5-1)4=10-2(〃-1)=12-2〃，故A正确；

当〃=6时，％=0,所以当&5时，a„>0,当儿.6时,薪,()，

所以当小5时，|q|+|%|+|%1+…+1以“1=4+%+/+…+a"J""*；2〃)=]山一〃2,

当九.6时,1%|+|。21+161+…+1。”1=々1+。2+.••十%一。6一…一4

=一(4+/+%+...+〃“)+2(q+%+…+见)

——S”+2s$=—(1]n—n2)+60=n2-11〃+60,

所以同+同+同+…+⑷=故B错误；

1口一11〃+60,〃..6

41=112-2川，当-=6时,UI取得最小值为0,故C正确；

当”=5或〃=6时，4+生+4+…取最大值30,故。错误.

故选：AC

16.(2021•全国高三专题练习)等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若q>0,公差g0,则()

A.若邑〉斗，则无>。B.若邑=$8，则臬是5.中最大的项

C.若S』>S5，贝i」Ss>S6D.若54>演，贝lJS3>S,

【答案】BC

【分析】

根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出“<0,得/<。，判断七吗的正负，

即可可判断C和D选项.

【详解】

等差数列｛4｝的前〃项和5“=叫+也产=与”2+1-£]〃，又4>0,,/#0,可得d<0,所以s,是关

于〃的开口向下的二次函数，若5,>$8，则E,的对称轴“〈岁=6,所以根据对称性可知为<0；若邑=$8,

4+8

则对称轴为〃=;一=6,所以小是最大项；若丛>演，则见<0，又d<0,所以可得4=%+"<0，故$5>$6；

4=%不能判断正负，所以S,与54不能比较大小.

故选：BC.

【点睛】

关于等差数列前”项和3的最值问题，一般有两种求解方法：

（1）利用S”的公式判断得S”是关于〃的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；

（2）利用风的正负判断，当%20,4,向<0时，则S.在〃处取最大值，当见40,对“>0时，则S,,在〃处取最

小值.

三、填空题

17.（2021•贵州贵阳•高三月考（理））已知等差数列｛q｝和也｝的前〃项和分别为S,和且有%+%=3,

1

b5+b7=6,则兴的值为.

【答案】3

【分析】

由已知得2"=3,次,=6,再利用等差数列的前〃项和的性质化简求解.

【详解】

因为⑸｝，血｝为等差数列,

则有4+%=2%=3,也+67=叽=6.

5=11%，4=1仍6

所以&=也=铝=_1

〃1以。1痣b62-

故答案为：g

18.（2021•贵州贵阳一中高三月考（理））记S.，1分别为等差数列｛q｝,也｝的前"项和，若/=《公，

则；

“9

14

【答案】方

【分析】

s“，7分别为等差数列｛%｝，依｝的前〃项和，*=奈之，不妨设S"="("+l),7；="(2〃+3),可得”..2

时，a7=57-56；即可得出结论.

【详解】