2022年新高考数学小题狂练31含解析

小题狂练(31)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.己知全集U=R，集合4={-1,0,1,2},5={x|x21},贝()

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{x|x<l}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【解析】

【分析】

按照并集和交集的概念求解即可.

【详解】由题可知a，6={x|x<l},则Ac&B)={-l,0}.

故选：B.

【点睛】本题考查并集和交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.

2.“x<2”是—%>0”成立的()

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.

[详解]bgi(f-1)一1。8]%>0可变形为1。81(9_1)>108]x,

2222

所以d一1<X且/一1>0,尤>0,解之得：1<X<土反，

2

所以由“尤<2"不能推出“1<》<匕且"，

2

但"l<x<土叵”可以推出“x<2”，

2

所以“x<2”是«logi（^2-D-logix>°”成立的必要不充分条件.

22

故选：B.

【点睛】本题考查必要条件和充分条件的判断，考查逻辑思维能力和推理能力，考查计算能力，属于常考

题.

3.若向量£=（2,3）,石=（x,2）且小②一助）=3,则实数x的值为（）

A.--B.—C.—3D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意列出方程，求解即可得出结果.

【详解】因为向量丑=（2,3）,6=（X,2）,所以@一如=（2——

又无仅—25）=3,所以2（2-2x）-3=3,解得x=—

故选A

【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.

4.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之和为奇数

的概率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，得到概率.

C1C'42

【详解】根据题意：和为奇数，则取出的两张卡片一张奇数一张偶数，则P==：=

C463

故选：C.

【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

5.己知q=43,_y>C=In—）则（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

由43<3「从而可得a<。，再根据指数函数的单调性可得“=4：>4。=1，由对数函数的单调性有

c=ln-<lne=l,从而得出答案.

2

/I\12

【详解】由4K=43<33=34,所以4；<3(

\7\7

所以。<匕，又a=1>4°=l，而c=ln"|<lne=l

所以c<a<〃

故选：C

【点睛】本题考查对数运算，指数函数的单调性，利用函数单调性比较大小，属于中档题题.

6.在三棱锥尸—ABC中，PA±AB,PCLCB,AB=l,BC=2,点P到底面ABC的距离为2,当

三棱锥体积达到最大值时，该三棱锥外接球的表面积是（）

A.12万B.9兀C.3乃D.6万

【答案】B

【解析】

【分析】

作尸。_L平面ABC于。，连接由体积最大，及已知垂直可得A3CD是矩形，又由已知

PALAB，PC±CB,得是尸—ABC。外接球的直径，求出长即可得球表面积.

【详解】作PO_L平面ABC于D，连接£>A,£>C,r>8,因为点P到底面ABC的距离为2为定值，当三棱

锥体积达到最大值时，AABC面积最大，只有时，AABC面积最大，所以

由「。，平面48。，ABu平面ABC，得PD_LAB，同理又B4_LAB，PAC\PD=P,

所以AB_L平面A4D，而ADu平面PAD，所以钻_LAD,同理BCd.CZ）,所以ABCO是矩形，

BD=A/12+22=75-又PD=2,所以P8=J（有>+2?=3,

由P4_LA6，PCVCB,知心中点到RARC四点距离相等，因此总是P—A3CD外接球的直径，

所以外接球表面积为S=4^x（3]=9万.

故选：B.

【点睛】本题考查球的表面积，由已知垂直易知是P-ABCD外接球的直径，解题关键是证明「在平

面A8C上的射影。与A良C构成矩形ABCD.

7.若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=ex-A«为自然对数的底数)，其中为正实数，则-L+J的

eab

取值范围是()

A.[2,e)B.(e,4]C.[2,+oo)D.[e,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】

In(x0+a^-ex0-h

设切点为(小，％)，由题意知=e，从而可得&/+匕=2,根据“1”的代换，可求出

—+7=^-|2+—+^-1,由基本不等式可求出取值范围.

eab2veab)

ln(x0+6r)=ex0-/?

；._/=」一，设切点为(％),%)，则，

【详解】解：：y=ln(x+a)1

x+a-----=e

%0+。

111f1lbbea\,八

:.ea+b-2,一+-=--+-\(ea+bM)=-\2+—+—.".•a,b,e>0

eab2\eab)2\eab)

原式N3=2,当且仅当2=半，即力=1时等号成立,

eabe

即

eab

故选:C.

【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为

切线的斜率以及切点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三

相等.

xV、.UUUUU

8.已知双曲线c：j—\=l的右焦点为尸，过点尸的直线交双曲线的右支于A、8两点，且A尸=3尸8,

ab

点8关于坐标原点的对称点为夕，且前2=所.而，则双曲线的离心率为（）

/7口巫不

A.yj3D.Uc.-----nD.

222

【答案】C

【解析】

【分析】

设双曲线C的左焦点为F，连接尸B'、F'B、AF'，推导出四边形5E6'广为矩形，设忸同=忸尸|=加，

则|AE|=3〃Z,在△439中，利用勾股定理得出加=〃，然后在中利用勾股定理可得出a、c的

等量关系，由此可求得双曲线。的离心率.

【详解】设双曲线C的左焦点为尸'，连接尸5'、FB、AF'，则四边形3阳'尸为平行四边形，

设忸耳=忸T7]=加,则目=3/〃，

由双曲线的定义可得忸的=忸尸[=w+2a,|AF'|=3m+2a,

•.•疗=乔诙，.•.而-前.胡=乔（而-硝=护斯=0,..B'FIAB，

所以，四边形B/E尸为矩形，

由勾股定理得|A8「+忸/[2=|AF「，即（4〃?『+（m+2a）2=（3m+2a）2,解得机=a,

:.\B'F'\=a,\B'F\=3a,由勾股定理得忸'+忸'肝=|尸讦，即10/=4,2,

双曲线C的离心率为e

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用双曲线的定义解决双曲线的焦点三角形问题，考查计算

能力，属于中等题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错

的得0分.

9.己知2"=5,二加，现有下面四个命题中正确的是（）

B.若机=10,则'+1=1

A.若a=b,则根=1

ab

D.若机=10,则4+,='

C.若4=/?,则帆=1()

ab2

【答案】AB

【解析】

【分析】

当a=b时，由（2）“=1可得”=0,进而得m=1,当机=10时，利用指对互化及换底公式可得2+!=1.

5ab

【详解】当a=6时，由2"=5〃=机，可得（|）"=1，则。=0,止匕时加=1,所以A正确；

当机=10时，由2"=5"=川，可得。=log?10,占Togs10，

则L+』=lg2+lg5=l,所以B正确.

ab

故选：AB.

【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.

22

io.若方程‘一+工=1所表示的曲线为c,则下面四个命题中错误的是（）

3-tt-1

A.若。为椭圆，则l<f<3B.若C为双曲线，则f>3或，<1

c.曲线。可能是圆D.若c为椭圆，且长轴在》轴上，则i<r<2

【答案】AD

【解析】

【分析】

就f的不同取值范围分类讨论可得曲线C表示的可能的类型.

22

【详解】若r>3,则方程可变形为上———=1,它表示焦点在V轴上的双曲线；

t—1t—3

x2v2

若£<1,则方程可变形为2---匚=1,它表示焦点在x轴上的双曲线；

3-t\-t

若2<r<3,贝i」0<3-r<r—l,故方程」二+工=1表示焦点在y轴上的椭圆;

3-tt-1

若则0<好1<37,故方程工一+上一=1表示焦点在x轴上的椭圆;

3Tt-1

22

若t=2,方程工+'二=1即为/+y2=i,它表示圆,

3-tf-1'

综上，选AD.

【点睛】一般地，方程如2+/=1为双曲线方程等价于相〃<0,若加>0,〃<0,则焦点在x轴上，若

m<0,n>0,则焦点在>轴上；方程加小+肛；2=i为椭圆方程等价于机>0,〃>o且加彳〃，若〃?>〃，

焦点在y轴上，若加<〃，则焦点在x轴上；若加=〃>o,则方程为圆的方程.

11.如图所示，在正方体45c〃中，MV分别是棱血，制的中点，△，姐户的顶点P在棱CG与棱G"

上运动，贝I]()

A.平面，监产_L.A"

B.平面明2L平面加M

C.△，监仍在底面上的射影图形的面积为定值

D.△，监/在侧面如4C上的射影图形是三角形

【答案】BC

【解析】

【分析】

A.由P,N重合时判断；B.结合由正方体的性质，利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理判断C.

由△.她—在底面40上的射影的三角形的底边是，监，点尸的射影到,跖的距离不变判断；D.由P，G重合

时判断.

【详解】A.当RN重合时，平面，如物不可能，故错误；

B.由正方体的性质得M41ARM±DNADcD'N=。，所以肪」平面NDA,

又A/B|U平面姐户，所以平面修/_!_平面物4,故正确；

C.△物P在底面48(力上的射影的三角形的底边是奶，点P在底面/物上的射影在〃C上，所以点夕当历

的距离不变，即射影图形的面积为定值，故正确；

D.当P，G重合时，在侧面〃上的射影重合，所以射影不能构成三角形，故错误；

故选：BC

【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面的位置关系以及投影的概念，还考查了逻辑推理的能力，

属于中档题.

12.已知函数“X)的定义域为此且对任意xG/?,都有=及〃x+4)=/(x)+/⑵成立，

当为,与«0,2］且％7赴时，都有［/(耳)―/(%2)］(%一9)>0成立，下列四个结论中正确的是()

A."2)=0B.函数“X)在区间［-6,T］上为增函数

C.直线x=Y是函数/(x)的一条对称轴D.方程/(x)=0在区间［-6,6］上有4个不同的实根

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由〃x)="-x)，得到函数/(x)为偶函数，又由当司，wW0,2］且x产々时，都有

［/(%)—〃巧)］(5一为2)>0成立，得到“X)在2,2］为增函数，再根据/(x+4)=/(x)+〃2),得

出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，函数/(X)的定义域为R,

以为对于任意xeR,都有"x)=/(-x),可得函数/(x)为偶函数，

又因为当％,当w［0,2］且x产々时，都有［〃与)-〃/)］(572)>0成立，

可得函数/(x)在区间［0,2］为增函数，

又由/(x+4)"(x)+〃2),令》=一2,可得"2)="—2)+/(2),

解得2)=/(2)=0,所以〃x+4)=/(x),所以函数/(x)是周期为4的周期函数,

则函数的图形，如图所示，

由图象可得7(2)=0,所以A正确；

函数/(x)在区间［-6,-4］上为减函数，所以B不正确；

直线x=T是函数/(x)的一条对称轴，所以C正确；

方程/(x)=0在区间［-6,6］上-6,-2,2,6,共有4个不同的实数根，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域,

再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和

解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“上海自来水来自海上”、“中山自鸣

钟鸣自山中”，那么在所有的4位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有种.

【答案】81

【解析】

【分析】

根据题意可知求4位数的回文数且四个数字不能都相同，由分步计数原理即可求解.

【详解】设4位数的回文数为初即可知4位数的回文数为9x10=90,

又因为四个数字不能都相同，需减掉x=y,即形如xwc共9,

所以90—9=81

故答案为81

【点睛】本题考查分步计数原理，同时需理解“回文数”，属于基础题.

222

14.双曲线C:y2-工=1的渐近线方程为____,设双曲线G：毛-与=l(a>0,b>0)经过点(4,1),且与

4a~b~

双曲线c具有相同渐近线,则双曲线G的标准方程为.

【答案】(1).y=(2).若-<=1

【解析】

【分析】

(1)由焦点在丁轴上的双曲线的渐近线方程可得；(2)设丁一亍=几，代入点(4,1)求得2即可.

【详解】(1)双曲线C：V一二二1的焦点在y轴上，且。=1力=2,渐近线方程为y=±-x,

4b

故渐近线方程为y=±gx

故答案为y=±gx

242

⑵由双曲线G与双曲线c具有相同渐近线,可设£：r=4,代入(4,1)有r一亍=4=2=—3,故

G：/-三=-3,化简得圣-工=1

174123

故答案为百.一手=1

123

22

【点睛】本题主要考查双曲线马-3=1渐近线的方程为y=±£%，

22

V_X_1共渐近线方程可设为与

2b2a

15.若Gcosa+sina，贝ijcos(?-2a)=.

【答案】

9

【解析】

【分析】

先逆用两角和的正弦得到如(£+?)=#,令a=e—(,则cos[?—2"的值即为—COS26的值，利

用二倍角的余弦值可求此值.

【详解】由6cosa+sina=2^可以得到2[母《光&+；S111。

所以sin[a+工]=设8=a+二，则a=6-工

I3J333

则尹八,竹71