备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题与解析

备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

一、有关圆幕定理型压轴题

【方法点拨】

1.相交弦定理：如下左图，圆。的两条弦48、PC相交于圆内一点P,则

PAPB=PCPD.

2.切割线定理：如下右图，P7为圆。的切线，以B、PC。为割线，则PT?=pA-PB();

3.割线定理：如下右图，PAB.PCQ为圆。的割线，则PAPB=PCPD.

说明：上述三个定理可以统一为=一"2(其中R是半径)，统称为圆幕定理.

【典型题示例】

例1如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-1,0),点尸是圆o：f+y2=4上

的任意一点，过点8(1,0)作直线BT垂直于4P,垂足为7,则2南+3PT的最小值是

【答案】：6夜

【分析】从题中已知寻求以、P7间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入

手，二是直接使用圆基定理.

［解法一】由中线长公式可得尸O=g^2(PA2+PB2)-AB2,则PA2+PB2=10

PA2+PB2-AB23

cosP=则cosP=

2PAPBPAPB

3

在RfAPBT中,PT=PBcosP,即PT二，

PA

所以2P4+3PT=2尸A+"-N2j恒=60(当且仅当P4=述时取等)

PA2

【解法二】,：BTL4P,...点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=l,

过点P作该圆的切线PC,C为切点，则PC=G，山切割线定理得：PC-=PAPT^3

QQB

所以2PA+3PT=2PA+——>2718=672(当且仅当PA=」一时取等).

PA2

点评：解法二中，先运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再

使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑

相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.

例2在平面直角坐标系xOy中，己知。C：*+°，-1)2=5,A为。C与x负半轴的交点,

过A作。C的弦48,记线段AB的中点为冰若OA=OM,则直线A8的斜率为.

【答案】2

【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”，得到故/CMA+NAOC=180。，所

以A、0、C,用四点共圆，4c为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.

【解析】连结C、M,则

在四边形AOCM中，NCMA+NAOC=180。，故A、0、C、M四点共圆，且月C为直径.

1)2=5中，令产0,得方=±2,A(-2,0),AC=①即为△A0M外接圆的直径，

在△4OM中，由正弦定理得：遍，而O4=0M=2,

sinA

所以sinA=专，所以tanA=2.

故直线AB的斜率为2.

例3在平面直角坐标系中，过点M(l,0)的直线/与圆d+V=5交于两点,

其中A点在第一象限，且丽=2砺，则直线/的方程为.

【答案】y=x-l

【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在X

轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用“爪”

型结构，得两=§砺+；而，两边平方求得NAO5的余弦值.

【解法一】：易知直线/的斜率必存在，设直线/的方程为y=k（x—l）.

由设3M=2%MA=t.

如图，过原点。作于点“，则84=当.

设OH=d,在RsO3“中，/+（当〉=户=5.

在RtzSOM/7中，/+6>=0m2=1,解得心=今

21

则j=2,解得左=1或k=-1.

­►―>

因为点A在第一象限，BM=2MA,由图知Z=l,

所以所求的直线I的方程为y=x-l.

【解法二】由丽'=2加，设8M=2/,MA=t

又过点M的直径被例分成两段长为后-1、、后+1

由相交弦定理得2/=（右一1）（后+1）,解之得t=

过原点。作0”_1/于点H,

在RsOB，中，/+（当>=户=5,解得（下同解法一，略）.

【解法三】设4屈，yi），HQ,及），则8A/=（1—12,一丁2）,MA=（R-1,yi）.

1_X2=2(XLD，

因为8M=2MA,所以，

—y2—2y\.

当直线AB的斜率不存在时，BM=MA,不符合题意.

当直线AB的斜率存在时，设直线A8的方程为〉=依1—1),

',—2k

y=女(X—1),

联立'得(l+^y+Zh-4k2=0,则V一4。

,%-+/=5,"2=77?，

I—”=2yi,

2k

-Vll+F'_8k2—4k2

解得《4k所以y1少2=(],(2)2=]+.2，即3=1.又点A在第一象限,

所以A=l,即直线A8的方程为y=x—1.

【解法四】设A(xi,yi),8(X2,竺)，则8M=(1-X2,-y2),呢4=5—1,巾).

1—X2=2(X\—I),-X2=2XI-3,

因为BM=2MA,所以，即.

—y2=2yt,、2=2)工

H+M=5,3+京=5,

又..人加5,代入可得解得X]=2,代入可得y=±1.又点A在

(2XI-3)2+4>>?=5,

第一象限，故42,1),由点A和点用的坐标可得直线A2的方程为y=x-l.

点评：

上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.

【巩固训练】

1.在平面直角坐标系xoy中，M是直线x=3上的动点，以“为圆心的圆若圆M截

x轴所得的弦长恒为4,过点。作圆M的一条切线，切点为P,则点P到直线

2x+y-10=0距离的最大值为.

222

2.在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x-m)+y=r(w>0).已知过原点。且相互垂直

的两条直线/i和自其中(与圆C相交于A,B两点，/2与圆C相切于点。.若AB=

0D,则直线/i的斜率为.

3.在平面直角坐标系x0y中，设直线y=-x+2与圆Y+丁=/(r>0)交于AB两点，。为

坐标原点，若圆上一点C满足反函+=砺，贝壮=__________.

44

4.在平面直角坐标系xOy中，已知点尸(。/)在圆Cx2+y2+2nvc-2y4-m2-4m+1=0内，

若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且APBC的面积是APAC的面积的2倍，则

实数m的取值范围为.

5.在平面直角坐标系xOy中，圆C:(x+2)2+(y-/w)2=3.若圆C存在以G为中点的弦A8,

且AB=2GO,则实数机的取值范围是.

6.已知直线丁=奴+3与圆f+y2+2x-8=0相交于两点，点产(天,均)在直线

y=2x上且Q4=,则%的取值范围为.

【答案与提示】

1.【答案】3亚

2.【答案】土孚

【解析】作CE_LA8于点E,则CE2=BC2-BE2=BC2--AB2^BC2--OD2

44

户」（疗_产）=上:江

44

5r2-m2化简得。当,

由OECD是矩形，知CE2=OD2,——-——

4

CDr75275

即cos/OCD=-----=—=------,tanZCOB=tanZOCD=-------

OCm35

.二直线l\的斜率为±弋.

【解析:】作CE_LA8于点E,则OECD是矩形

设OD=t(t>0),则由切割线定理OD2=OAX0B得t2=(r

又加2=/+/,将（派）代人得加2=一9,，即r一=一2

4m3

r2

Rt\COE,sinZCOE=-=-

m3

2R

・,・直线6的斜率为-.

3.【答案】：V10

【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.

2

^OA+212dA.OB+-dB,

164416

25150

2223

即产=—r+—rcosZAOB+—r,整理化简得cosNA08

168165

过点O作A8的垂线交4B于。，

3।

则cosZAOB=2cos2ZAOD-1=--,得cos2ZAOD=—.

QiO?n

又圆心到直线的距离。0=-7==JE,所以cos2/AOr>=-=^^=F，r=Vio.

V25r-r2

【解法二】注意到线性表示时的系数和为2,联想“三点共线”.

—■5—■3—.1--5—■3—■

由OC=2Q4+三08,即一0C=己OA+208

44288

得A、B、。三点共线(其中。是A8的中点)，且4。:3。=3:5,

设AO=3x,BD=5x

x2+V2-

思路一：垂径定理后二次解三角形，\解之得r=W.

7*3r

3x-5x=—•—

思路二：相交弦定理，\22解之得厂=厢.

/=(4x)2+在

一4

4

4.【答案】9-

5.【答案】[-x/2,V2]

【提示】易知。4LO8,考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于

直角即可.

6.【答案】(-l,0)u(0,2)

二、抛物线过焦点的弦

【方法点拨】

设AB是过抛物线)?=2外加＞0)焦点F的弦，若A(xi,y),B(xi,”)，a为弦AB的倾斜角.则

小区2

(1)为》2=],%”=—?一.

(2)|4用=]_黑QW=(7fosa(其中点力在“轴上侧'点B在x轴下侧).

(3)弦长|A8|=即+x2+p=1^.

11_2

⑷两十两=1

(5)以弦A8为直径的圆与准线相切.

【典型题示例】

例1已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点/到其准线的距离为4,圆

M:(x—2y+y2=i,过/的直线/与抛物线。和圆”从上到下依次交于A,P,Q,B

四点，则|AH+43。的最小值为.

【答案】13

【分析】易知p=4,圆心M(2,0)即为焦点/，故AP+4BQ=AF+4BF—5,再利用

抛物线的定义，进一步转化为42+43。=/+4/,+5,利用/4=4、基本不等式即可.

【解析】易知p=4,圆心M(2,0)即为焦点尸

所以AP+43Q=(AF—1)+4(3/-1)=”+48/一5

根据抛物线的定义”=%+54+2,BF=XB+&=XB+2

所以AJP+4BQ=(x.+2)+4(加+2)—5=xA+4xfl+5

又3B=?=4

/---------[x=4

所以"+43。=/+4/+522dz"+5=13,当且仅当/=44，即｛A—时

等号成立，此时直线/的方程是y=2jIc-4也

所以|4月+4忸。|的最小值为13.

例2已知斜率为左的直线/过抛物线C：V=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A,

8两点,抛物线C的准线上一点M(—l,-1)满足两•砺=0,则IABI=()

A.372B.472C.5D.6

【答案】C

【分析】将两•血=0直接代入坐标形式，列出关于4,8中点坐标的方程，再利用斜

率布列一方程，得到关于A,B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA-MB=0

转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单.

【解析】易知p=2

设4(xi,yi),8(M，a)，则工阳=1,yiy2=—4,MA=(jq+1,+1),MB=(x2+1,y2+1)

,/MA•MB=0

:.(X[+1)(*2+1)+(X+1)(%+1)=0，化简得X]+&+X+%=1

设A、8中点坐标为(Xo，yo)，则％+%=；①

又由直线的斜率公式得％=须8=2二匹=乌工7=」一=2，k=^~

玉-々21__",+%%%T

44

.•.2=久，即%2=25-1)②

%/T

3

由①、②解得%=5

|AS|=玉+/+〃=2n)+〃=5,答案选C.

点评：

本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线，

则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形.以此为切入点解决此

题，方法则更简洁.

例3过抛物线丁=以的焦点F的直线/与抛物线交于A,2两点，若|AQ=2山f],则|AB|

等于()

9

A.4B，2C.5D.6

【答案】B

【解析】由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A,B在准线上的射影分别为D,C,

作BELAD于E,

\\

\\

\

/_____

设出川=加,直线/的倾斜角为仇则|AB|=3m,

由抛物线的定义知质/)|=|AQ=2n?,\BC\=\BF]=m,

所以cos8一厂3,

sin2(9=^.

2n9

又y=4x,知2/7=4,故利用弦长公式|A8|=/扁=/.

【巩固训练】

1.设厂为抛物线C：V=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交C于4,8两点，。为坐

标原点，则△OAB的面积为()

,W3二9^3〃63>9

A-4B.-QC,32D，4

2.已知抛物线C：尸=2W(/»0)的焦点尸到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,

Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是()

A.抛物线C的准线方程为了=-1

B.线段P0的长度最小为4

C.点M的坐标可能为(3,2)

D./(^=—3恒成立

3.已知抛物线C：f=4x的焦点为凡过户的直线/交。于A,B两点，分别过A,

8作准线/的垂线，垂足分别为P,0.若|AF|=30则|PQ=.

4.己知抛物线C的焦点为F,过尸的直线与抛物线C交于4,B两点，若二一+—!—=2,则

AFBF

符合条件的抛物线C的一个方程为.

5.过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,8两点，若［4耳=在,|4q<忸可，则

|A/卜---------

6.过抛物线丁=4%的焦点E的直线交该抛物线于A,8两点，若|A用=3,则可

【答案与提示】

1.【答案】D

【解析一】由已知得焦点坐标为雄，0）,因此直线AB的方程为丫=凫一9，即4x一

4小）>_3=0.

与抛物线方程联立，化简得4），2—12小），-9=0,

故|%一阳=7（%+ys）2—4印邓=6.

1139

因此—g|=?义^乂6=不

【解析二】由2P=3,及依6=器

得凶身=羔=舄心=12・

3

原点到直线A3的距离d=\OF]-sin30°=^,

故SAAOB=%4B卜&=，=12x|=1.

2.【答案】BCD

【解析】因为焦点F到准线的距离为2,所以抛物线C的焦点为F（l,0）,准线方程为x=

—1,A错误.

当线段PQ垂直于x轴时长度最小，此时|PQ|=4,B正确.

（y2=4x,

设P5,M），<2te，J2）.直线PQ的方程为》=">+1.联立得方程组一消去尤并整

[x="zy十1.

理，得y2—4叫一4=0,4=16/+16>0,则丁1+”=4%所以即+冗2=机（6+及）+2=4序

+2,所以M（2m2+1,2M.当〃2=1时，可得M（3,2）,C正确.

可得y\yi=14,x\X2=（my\+1）（殴2+1）=川yiyz+Mn+竺）+1=1,所以^

=-3,D正确.故选BCD.

3.【答案】华

【解析】F（l,0）,不妨设A在第一象限，4（戈1，yi）,3（X2，”），

由HQ=3|8F|得yi=一3y2①

设如ny=Z（x—1）与抛物线方程联立得

4

62—4y—4%=0,%+丫2=%，

）T”=一4,②

结合①②解得”=一4^，/。|=|力一）引=|_3竺_丫2|=_4以=

4.【答案】满足焦准距为1即可，如V=2x.

1107

【解析】由公式」一+」一=4得4=2,解得p=l,满足焦准距为1即可，如y2=2x等.

AFBFpp

5.【答案】-

【解析一】设A4用，8F:则有工=2，解得机=*或m=*（舍）.

fmnP64

P=1

【解析二】抛物线y2=2x的焦点坐标为（；,0）,准线方程为x=—g

设4,B的坐标分别为（X],y,）,（x2,y2）,则须％:

224

解得机=3或〃=2,所以|AF|=3.

64116

3

6.【答案】-

2

【解析】直接由1+工=2立得（其中m,〃是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p就是焦

nmp

准距）.

三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比

【方法点拨】

x2y2

1.设椭圆C：r+J=l（Q>〃>0）的右焦点为F,过尸的直线/与椭圆相交于A、B

ab"

两点，直线/的倾斜角为夕，且4尸=2尸3（无>0）,则&8、X间满足|ecos6|=----.

2+1

2.长短弦公式：如下图，长弦AE=—"一，短弓玄BF=一空一（其中p是焦参数，

1-ecos。l+ecos6

即焦点到对应准线的距离，。是直线/与x轴的夹角，而非倾斜角）.

说明：

（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线

距离”的意识即可.

（2）双曲线也有类似结论.

【典型题示例】

2

例1已知椭圆方程为上+丁=1,48为椭圆过右焦点尸的弦，则|AF|+2|F8|的最小值

4

为.

【答案】把自

4

【解析】由鸟+尸=1,得。=2,。=百，则椭圆的离心率为e=且，右准线方程为

42

_46

I.X=.

3

如图，过A作—，则圈等①

设钻的倾斜角为6,

贝1」|人〃|=|。/|一|4用806=述一6-|4可8§。=且一|4尸|80。，②

33

]]

联立①②，可得|4用二同理可得|3尸|二

2+x/3cos02-73cos0

-「士+七二y综4

6+Geos。

4一3cos的

令cose=f,zG[-1,1],

・["I冏=/_________6+gt_________

-(6+技巧+12(6+同-32-(6+八)——^+12

6+®

__________1___________3+2>/2

T…岛+】24

当旦仪”[6+73/=.即r=4,iG国」式取等.

6+V3/3

3+20

,JAF|+2|FBI的最小值为

4

故答案为：三述

例2（2021•江苏南京盐城二调•7）已知双曲线C：*一方=1（“>0,人>0）的左、

右焦点分别为尸”尸2,过点危作倾斜角为6的直线/交双曲线C的右支于A,B两点，其

中点A在第一象限，且cos6»=；.若=则双曲线C的离心率为

A.4B.y/15C.77D.2

【答案】D

力2方2

［解析］AF=------------,BF=-------------,

2a-ccosO2a+ccos0

b2,1

AB=AF)+B居=AF］=2。+AF>nBF2=2a=--1—=2a=>e~—e—3=0ne=2.

a+-c

4

例3已知椭圆C：、+£=l(a>b>0)的离心率为坐，与过右焦点F且斜率为刈>0)的直

线相交于A,B两点.若讣=34，则％=.

【答案】V2

【解析】如右图，设/为椭圆的右准线，过4、B

分别向/作垂线A/、B",《、"分别是垂足，过8作AA，垂线8/),。是垂足

设BF=f,AF=3t

则89=，，AA'=—

ee

2t

•△ABD中，AD=—,AB=4t