函数的性质【原卷版】-2022年高考数学尖子生强基计划校考讲义

2022年高考数学尖子生强基计划专题4：函数的性质

一、知识要点拓展

1、映射

对于任意两个集合A,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在8中都有唯一

一个元素与之对应，则称-8为一个映射，记作其中》称为像，a称为原

像。

如果f:A—B是一个映射且对任意都有/(x)H/(》)，则

fB是A到8上称之为单射.

如果/:Af8是映射且对任意ye都有一个xeA使得/(x)=y,则称

/:AfB是A到5上的满射.

如果/:A-B既是单射又是满射，则/:AfB是A到5上叫做一一映射.

如果/:A—8是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于B中每一个元素力，使人

在A中的原像a和它对应，这样所得的映射叫做了:A->5的逆映射，记作FA

2、函数方程问题

(］)代换法(或换元法)

把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换(代换时应注意使函数的定义域不会发

生变化)，得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数

例.设乃工0,。2工〃，求+=的解.(【解析】分别用x==f带入)

(2)待定系数法

当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.

例.已知/(x)=/(x)是一次函数，力(％)=/(九(⑼且儿(x)=1024x+1023,

求“X).(【解析】设〃同=幺+。(4工0)求解)

3、函数的性质

设函数y=f(x)的定义域为D

1.单调性：

(1)传统定义：在区间［a,b］±,<«<xt<x2<b,如果,则/(x)

在区间［a,切递增；如果/a)>/(%2)，则/(x)在区间［。，切递减；

(2)导数定义：在区间［a,切上，如果f(x)>0,则/*)在区间［a,切递增；

如果

/(x)<0,则/(%)在区间［a,切递减；

①、二也>0。/(X)在。上为增函数

注意：，二：

②、—。2)<00/(X)在。上为减函数

办一工2

2.复合函数的单调性：

(1)增函数+增函数=增函数减函数+减函数=减函数

增函数-减函数=增函数减函数-增函数=减函数

(2)对于取值恒为非负数的函数

增函数X增函数=增函数减函数X减函数=减函数

增函数♦减函数=增函数减函数+增函数=减函数

(3)若/(x)、g(x)都是增(减)函数，则y(g(x))为增函数；

若/(x)、g(x)一个增函数,一个减函数，则/(g(x))为减函数。简称“同

增异减”

3.奇偶性：

(1)若函数y=/(x)满足./1(一x)=-/(x)(xe。)，则/(x)叫做奇函数，其图象

关于原点对称；

(2)若函数y=/(x)满足/(—x)=/(x)(xeD),则f(x)叫做偶函数,其图象

关于y轴对称；

4.周期性：

(1)一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内

的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数/(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周

期。

(2)对于非零常数A,若函数y=/(x)满足/(x+A)=-/(x),则函数y=/(x)必

有一个周期为24。

证明：f(x+2A)=f[A+(x+A)]=-f(x+A)=4-/(x)]=/(x),所以函数y=/(x)

的一个周期为24。

(3)对于非零常数A,函数y=/0)满足/(X+A)=：L,则函数y=/(x)的一

/(x)

个周期为2A。

(4)对于非零常数A,函数y=/(%)满足/(x)=，则函数y=/(x)的一

于(x)

个周期为24。

5.对称性(分函数图像的自对称及函数图像的互对称)

(1)函数y=/(x)满足/(a+x)=/(b-x)时，函数y=/(x)的图像关于直线

》=竺女对称。特别的，。=人=0时，该函数为偶函数。

2

证明：在函数y=/(x)上任取一点(看,乂)，则x=/(X1),点a，y)关于直线

的对称点为3+匕一%,%)。

f(a+b-xl)=f[a+(b-xl)]=f[b-(b-xi)]=f(xl)=yl,故点(a+bf)也在函

数y=/(x)的图像上。由于点(A,,y)是图像上任意一点，因此，函数的图像关于

直线x=i对称。

2

1.函数y=/(%)满足f(a+x)+/S-x)=c时，函数y=/(x)的图像关于点

‘"对称。特别地，当a=/7=c时，函数为奇函数。

、22>

证明：在函数y=，⑴上任取一点(%,乂)，则y=/(芭)，点(%,y)关于点

‘勺史,£〕的对称点为

122；

{a+b-x^c-y^。f(a+b-x})=c-f[b-(b-xl)]=c-f(xl)=c-y},即点

(a+b-x^c-y^在y=/(x)的图像上。由于点(石,凹)是函数y=f(x)上任意一点,

因此，函数y=/(x)关于点(等林)对称。

2.函数y=/(a+x)的图像与丁=/S—x)的图像关于直线x=—对称。

证明：在函数y=/(a+x)上任取一点(％，x),贝1J%=/(。+玉)，点(看,%)关于直

线x=^-^-对称的点为o由于

f[(b-(b-a-xl)]=f\b-b+a+xi)=f(a+x1)=yt,故点(b-a-x^y^)在函数

y=±o由于点(x”y)是y=/(a+x)上任意一点，因此y=/(a+x)与

^=/3-幻关于直线光=—对称。

6.函数周期性和对称性之间的联系

1.设/(%)是定义在R上的函数，其图像关于直线x=a和x=b(aw与对称，则

/(X)是周期函数，且2S-.)是它的一个周期。

证明：/(x)关于直线尤=。和1=。对称，故/(x)=f(2a-x),f(x)=f(2b-x),x^R,

从而

f(2a-x)=f(2b-x),xeR»

将上式的-x以x代换，得/(2a+x)=/(2Z?+x),xeR。

所以/[x+2(b-«)1=/[(x-2a)+2b]=f[(x-2a)+2a]=/(x),xeR

即/(x)是R上的周期函数，且2S-a)是它的一个周期。

(2)设/(x)是定义在R上的函数，其图像关于点M(a,O)中心对称，且其图像

关于直线x=bSwa)对称，则函数/(x)是周期函数，且4S-a)是它的一个周期。

证明：/(》)关于点加(&,0)对称，故/(2。-工)=一/(%),%€/?,/(x)关于直线x=Z?

对称，故

f(x)-/(2Z?-%),xeR,从而有f(2h—x)=-f(2a—x),x&R。

将上式中的—x以x代换，得/(2b+x)=-/(2a+x),xeR。

所以/[x+4(。-t?)l=f[2b+(x+2b-4a)]=-f[2a+(x+2b-4a)]

=—f[2.b+(x—2a)]=f[2a+(x—2a)]=/(x),xwR,

即/(x)是R上的周期函数，且4(b-a)是它的一个周期。

(3)设/(x)是定义在R上的函数，其图像关于点M(a,y())和NS,y°)(a^b)

对称，则/(x)是周期函数，且2S-a)是它的一个周期。

证明:/(x)关于点M(a,%)和NS,%)(a")对称,故/(2a-x)=2%-,

f(2b-x)=2ya-f(x),xcR,从而有/(2a—x)=/(2/?—x),xeR。

将上式中的一x由x替换，得/(2a+x)=f(2b+x),x&R

所以f[x+2(b-a)]=f[2b+(x-2a)]=f[2a+(x-2a)]=/(x),xG7?,

即/(x)是周期函数，且2S-a)是它的一个周期。

4.抽象函数问题的解法

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及

其满足的条件的函数，如给出函数的定义域、解析递推式、特定点的函数值、特

定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是与高等数学函数部分的一个衔

接点。由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此研究起来比较困难。

但由于此类试题既能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备

受命题者的青睐。那么，怎样求解抽象函数问题呢？我们可以利用函数性质法、

特殊化方法等多种方法从多角度、多层面去分析研究抽象函数问题。

1.函数性质法

函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性等）反映出来的。

抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活地进行等

价转化，才能将抽象函数问题化难为易。常用的方法有:①利用奇偶性整体思考；

②利用单调性等价转化；③利用周围性回归已知；④利用对称性数形结合；⑤借

助特殊点列方程。

2.特殊化方法

①在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将X换成-X或将X

换成其他字母等；

②在求函数值时，可用特殊值代入

③研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或通过具体模型函

数为解答综合题提供思路和方法。

5.有界函数：

定义1:设/（尤）为定义在。上的函数，若存在常数M、L,使得对每一个xe。

有

侧称/（幻为。上的有上（下）界函数，M（L）称为八＞）为定义在。上的上（下）

界。

根据定义，八幻在。上的有上（下）界，意味着值域是一个有上下界的数

集。又若"（L）为/（无）在。上的上（下）界，则任何大于（小于）"（L）的数也

是/*）在。上的上（下）界。

定义2：设/（犬）为定义在。上的函数，若存在正数“，使得对每一个xe。都有

\f（x）\＜M,则称/（尤）为。上的有界函数。

根据定义，/（x）在。上的有界，意味着值域是一有界集。又按定义不难验

证：/（幻在。上的有界的充要条件是/（x）在。上的既有上界又有下界。

|/（幻区"的几何意义是：若/⑺在。上的有界函数，则“X）的图象完全落在

直线y=M与丁=-M之间。

6、函数的迭代

一个函数的自复合，叫做迭代。我们用取（x）表示g（x）的攵次迭代函数。

g°（x）=x

即4,、

g"）=g（gYx））

g'（x）=x

如果＜―/、则称g（x）有迭代周期p.

g"（x）不怛等于=

迭代问题的解法通常是找它的迭代周期。一般来说，若＞=g（x）的图像关于直线y=x

对称，则一定有g（g（x））=x.它的迭代周期就是2.下面是几个常见函数的迭代周期。

g（x）="?r］-7。迭代周期是3；

g（x）==,迭代周期是4；

x+1

7、凹凸函数

设/为定义在区间/上的函数，若对/上任意两点可、叫和实数之€（0，1），总有

/（/I玉+（1-4区）44/'（3）+（1-4）/（々），则称/为/上的凸函数（有时也称下凸函

数）。反之，如果总有不等式/（回+（1—丸）々）24”%）+（1—冷/（9），则称则称/为/

上的凹函数（有时也称上凸函数）。

特别地，4时，有（"）（凸函数）或

2I2J2

/（詈卜）叫/⑸（凹函数）。

如何判断一个函数是凸函数（凹函数），除了定义以外，还有下面的定理：

设/为/上二阶可导函数，则/为/上的凸（凹）函数的充要条件是/"（x）20

V。）.

凸函数更一般的情形是下面的琴生不等式：若/为［a,0上的凸函数，则对任意

〃

x->0（z=1,2,•••,/?）,且Z4=L则

/=1

I/=1）i=\

二、热身练习

1、（复旦）若要求关于X的函数lglog052一的定义域是（-OO,+8）,则4、万的取值范围

是（）

（A）0（8）a<0（C）Z?2-4«<0（O）a=h=0

2、（复旦）某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量

z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中正确的是

（）

（A）y是x的函数（8）z是y的函数（C）w是z的函数（。）卬是x的函数

3、（复旦）设/（力是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数。己知当xe［2,3］

时，/（力=一天则当％4—2,0］时，/（x）的表达式为（）

（A）-3+|x+l|（B）2-|x+l|（C）3-|x+l|（D）2+|x+l|

4、（复旦）设有三个函数，第一个是y=/（x）,它的反函数就是第二个函数，而第三个函

数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是（）

（A）y=-/（x）（8）y=-/（-x）（c）y=_尸（X）（r>）>=-尸（-X）

三、高考真题讲解

例1.【2020年高考全国n卷文数12理数11]若2、_2>'<3-*-37，则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

例2.【2020年高考全国H卷理数9]设函数〃x)=ln|2x+l]—1川21—1|,则()

A.是偶函数，且在(g,+oo)单调递增B.是奇函数，且在(-；，；)单调递减

C.是偶函数，且在1-8,-工]单调递增D.是奇函数，且在1-8,单调递减

I2；I2)

例3.[2020年高考山东卷6】基本再生数&与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基

本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在

新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/”)=e”描述累计感染病例数/⑺随时间，(单

位：天)的变化规律，指数增长率r与凡，T近似满足&=1+〃.有学者基于已有数据估

计出飞=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的

时间约为(1112*0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

例4.【2020年高考山东海南卷8】若定义在R上的奇函数f(x)在(-oo,0)单调递减，且

/(2)=0,则满足1)*0的x的取值范围是()

A.[-l,l]U[3,+«>)B.[-3,-l]U[0,l]C.[-l,0]U[l，+8)

D.[-l,0]U[l,3]

四、高考模拟训练

1.(2021•重庆・西南大学附中高三月考)已知定义在/?上的函数/(x)满足如下条件：①函数

f(x)的图象关于y轴对称；②对于任意xeR,/(x)=/(2-x)；③当xe[0,l]时，/(x)=1x；

@g(x)=/(4x).若过点(-1,0)的直线/与函数g(x)的图象在xe[0,2]上恰有8个交点，则

直线/斜率左的取值范围是()

A•(啕B.[。,|)C.(0,1)D.(。等

2.(2021•江西•高三月考(理))已知a=12b=£,c=e02,则()

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

3.(2021.上海市吴淞中学高三期中)如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平

行线44之间，"4,/与半圆相交于F、G两点，与三角形ABC两边相交于点E、D,设

弧FG的长为X(0<X<T),y=EB+BC+CD,若/从《平行移动到《，则函数'=/")的

图像大致是()

4.(2021・四川资阳•高三月考(理))若不等式泥a(x+2)-alnxNO恒成立，则“的取值

范围是()

ol。,2e2

A.B.C.0,—D1,D.0,-u[l,e]

eee2e

5.(2022安徽•六安一中高三月考(理))已知函数/(X)=，-2X)/T,若当％>1时,

F(x)—3+1+机<0有解，则实数加的取值范围为()

A.(―,1]B.(-oo,-l)C.(-l,+oo)D.[1,+00)

6.(2021・广西桂林•模拟预测(理))已知函数/(xxF+U'：7Vg(x)=x2-2x,设

[Inx,e<x<e

〃为实数，若存在实数加，使/(⑷-2g(〃)=0,则实数。的取值范围为()

A.[-l,+oo)B.(-OO,-1]U[3,-K»)

C.[-1,3]D.(-a),3]

五、强基校考真题讲解

例1.（2021年上海交大强基计划）实数a,b＞\,满足lg（〃+»=lg“+lg》,求lg（a

-l）+lg（/?-1）的值.

例2.（2021年中科大强基计划）已知正实数a,二次函数/（x）=a/7+l,若任

意长度为1的区间上，存在两点函数值之差的绝对值不小于1,则

a的最小值为.

例3（2021年北大强基计划）若a,。,c,为非负实数，且

a2+h2+c2-ab-bc-ca=25,则a+Z?+c的最小值为

例4（交大）函数＞*的最大值为9,最小值为1,求实数a、b.

x+1

例5.（复旦）设芯,々且西工々，下列不等式中成立的是（）

©—(tan%,+tanx2)>tan；

g(tanX|+tanx)<tan-';

②2

17..、.X.4-

③—(sm%1+sinx2)>sm;

1/..、.x,1+x?

④—(sm%1+sinx2)<sin;

(A)①@(8)①④(C)②③(。)②④

2n2n

例6.（清华）。＞0力＞0,。+8=1,〃£叱,求证：a+b＞-^.

22n~l

例7.（交大）已知函数工（x）=­r，对于〃=1,2,…，定义力£力=工（力（X）），若

八十1

＞4（x）=f5（x）,则月8（%）=---------

例8.（北大）/（%）=炉一53%+196Mx2—53x+196|,求/⑴+/（2）+…+/（50）.

例9、（交大）函数/（x）=|lgx|,有0＜。＜6且/（。）=/e）=2/1当2）.

（1）求满足的关系；

（2）证明：存在这样的。，使3＜人＜4.

六、校考强化训练

（A组）

1、（复旦）若存在M,使对任意xe。（。为函数/（x）的定义域），都有

|/（力区/,则称函数/（力有界。问函数/（x）=gsinj在上是否有界?

XX

2、(复旦)若a>l,b>l且lg(a+0)=lga+lgh,则=()

(A)lg2(8)1(C)不是与a/无关的常数(。)0

3、(复旦)定义在R上的函数〃x)(x关1)满足〃x)+2/