石景山区2022年高三数学一模试题含答案

石景山区2022年高三统一练习

2022.3

数学

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.设全集U={xeq若1},集合/={xeR卞2》3},则与力=

A.[1,5/3)B.□，向C.(5+8)D.h/L+oo)

2.复数z满足(1+i)•z=1—i,贝!|z=

A.-iB.iC.-1D.1

3.从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇

数的概率是

4.设/是直线，口，夕是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

A.若/〃a,则a〃/?B.若/〃a,I10,则a,夕

C.若a_L/?,ILa,贝！]/，夕D.若心，£,I//a,则/

5.已知圆C:(x-3f+y2=9,过点(1,2)的直线/与圆C交于48两点，则弦Z8长度

的最小值为

A.1B.2C.3D.4

6.函数/Xx)=r^的图象大致为

叶3、

7.在等差数列｛《,｝中，/+/+%=36,设数列｛《,｝的前〃项和为用，则品=

A.12B.99C.132D.198

8.在△ZBC中，sin2J=sin5sinC,若乙4=2，则N8的大小是

3

A.-B.-C.-D.—

6433

9.“加<4"是''2--机、+1>0在xw(l,+8)上恒成立”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.设为抛物线C：y=f上两个不同的点，且直线过抛物线C的焦点尸，分别

以48为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点尸.则下列结论：

①点尸一定在抛物线C的准线上；

②PF，4B；

③△P/8的面积有最大值无最小值.

其中，正确结论的个数是

A.0B.1C.2D.3

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数“X）=号等的定义域是.

12.在（d+Jy的展开式中，X、的系数是.（用数字填写答案）

X

13.正项数列｛〃〃｝满足4〃4"+2=匕1，〃£N*.若〃5=9，则。2的值为•

r2

14.设点耳，工分别为椭圆C：1+/=l的左，右焦点，点尸是椭圆C上任意一点，若

使得丽•丽=机成立的点恰好是4个，则实数用的一个取值可以为.

15.已知非空集合4,8满足：NU8=R,A^B=0,函数/（x）=!对于下

[3x-2,x&B.

列结论：

①不存在非空集合对（4,8）,使得/（X）为偶函数；

②存在唯一非空集合对（4,8）,使得〃x）为奇函数；

③存在无穷多非空集合对（4,8）,使得方程/（x）=0无解.

其中正确结论的序号为

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(本小题13分)

已知函数/(x)=msin(<yx+—)(?w>0,<y>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：

6

①函数/(X)的最大值为2：

②函数/(x)的图象可由y=J^sin(2x-')的图象平移得到；

4

③函数/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为兀.

(I)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；

(II)在△NBC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,A=j,a=f(A),

求△/8C面积的最大值.

17.(本小题13分)

(II)从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为

甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时

间的概率；

(Ill)再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是

8,9,10(单位：小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1,

表格中的数据平均数记为京，试判断"与其的大小.(结论不要求证明)

18.(本小题14分)

如图1,在平面四边形PDCB中，/〃8c,8/_L尸。，04==8C=1,.将

2

△PZ8沿区4翻折到△SN8的位置，使得平面S/8_L平面48CD,如图2所示.

(I)设平面S0C与平面S/8的交线为/,求证：SCI/；

(II)在线段SC上是否存在一点。(点。不与端点重合)，使得二面角。-8O-C的余

弦值为逅，请说明理由.

6

图1图2

19.(本小题15分)

设函数/(x)=x2+mln(x+l)(zneR).

(I)若〃?=-1,

(i)求曲线/(x)在点(0,7(0))处的切线方程:

(ii)当X€(l,+8)时，，求证：/(X)<X3.

(II)若函数/(X)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数，”的取值范围.

20.（本小题15分）

已知椭圆C:1+/=1（。>b>0）的短轴长等于2G，离心率e=；.

（I）求椭圆C的标准方程；

（H）过右焦点/作斜率为左的直线/,与椭圆C交于Z,8两点，线段的垂直平分

线交x轴于点尸，判断四是否为定值，请说明理由.

\AB\

21.（本小题15分）

若数列｛对｝中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称｛%｝为“等比源数列”.

（1）已知数列口｝为4,3,1,2,数列｛"｝为1,2,6,24,分别判断应｝,｛a,｝是否为“等

比源数列”，并说明理由；

（II）已知数列｛c“｝的通项公式为c“=2"T+l,判断｛c“｝是否为”等比源数列”，并说明

理由；

（山）已知数列｛4｝为单调递增的等差数列，且4工0,4eZ（〃eN*）,求证｛4｝为''等

比源数列”.

石景山区2022年高三统一练习

数学试卷答案及评分参考

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共4。分.

题号12345678910

答案AADBBDCCBC

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.{x|x>-l}；12.35；13.1；14.0(答案不唯一)；15.①

③.

三'解答题：本大题共6个小题，共85分.解答题应写出文字说明，证

明过程或演算步骤.

16.(本小题13分)

解:(I)函数/(x)=/»sin(ox+与满足条件为①③，

6

理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，

故③为函数/(%)=msin(①x+四)满足的条件之一，

6

由③可知：7=2兀，所以。=1.故②不合题意，

所以函数/(x)=Msin(ox+与满足条件为①③，

6

由①知：A=2,所以

/(x)=2sin(x+—)............7分

6

(II)由题意可得a=/(/)=/(1)=2sin]=2,

由余弦定理得4=〃+。2-2bccosP,

3

所以4=b2+c2-bc22bc-bc=bc,当且仅当b=c时取“二”

所以从＜4,

所以名■•=—bcsinZW—x4xsin'=6，

所以△ABC面积的最大值为

17.（本小题13分）

解：（I）抽出的20位学生中，来自高三年级的有8名，根据分层抽样方

法，

Q

可得高三年级的学生共有300x^=120

（人）;

（II）设事件4为“甲是现有样本中高一年级中的第，个学生”，

i=l,2,3,4,5,

事件J为“乙是现有样本中高二年级中的第/个学生”，

）=1,2,3,4,5,6,7,

由题意知：尸（4）=（，尸（C）=；，由于事件4与事件J相互独立，

所以「（4"=岩$,

设事件8为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，

由题意知，4GU4GU4GU4c2U4GU

B=A5C2,

由于4G、4£、4C、4c2、4G、4G彼此互斥，所以

p（万尸P（4GU4GU4GUgU—UAQ）

P（4G）+P（4G）+P（/£）+P（4G）+）=6x2=£

=P（A2C）+P（A5C2

一629

所以P(8)=1-P(B)=1-玉=天，

故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为

7+7・5+8+8.5+9—78910111

(III)=O,=+++++12+3=10

5肖)■*7

—6+6.5+7+8.5+11+13.5+17+18.51

------------------------------------------=11

三组总平均值7=4°+70+88=99,新加入的三个数8,9,10的平

°20

均数为9,

比石小，故拉低了平均值，所以

X)<Xo........................13分

18.(本小题14分)

解：(I)依题意，ADLAB

因为尸Q〃8C,所以8CJ.18,

由于平面S/18_L平面/8C。，且交线为

8Cu平面/BCZ),

所以8cl平面SZ5,

因为/是平面SDC与平面SAB的交线，

所以/u平面S/8,

故

BC11.

.6分

(n)由([)可知，_L平面SAB,所以4£>_LSZ,由题意可知

SA1AB,ADIAB.

以点”为坐标原点，分别以川所在直线为x,y,z轴建立空

间直角坐标系，则力(0,0,0),8(0,1,0),C(l,l,0),£＞(-,0,0),

S(0,0,1),

丽=(g,-l,0),SC=(1,1,-1),

设丽=/1豆(0＜几＜1),则0(2,；1,1-幻，司=(2,2-1,1-2),

设〃=(x,z)是平面QBD的一个法向量，

------1

n-BD=—x—y=0,人，-1

则12/令x=2,可得〃=(2,1,上

n.BQ=Zx+(4-l)y4-(1-2)z=0,

由于碗=(0,0,1)是平面CBD的一个法向量，

依题意，二面角0-8。-C的余弦值为逅，

1-3/1

1-儿______&

所以卜os<机，〃>|

苧6

解得4=5€(0,1),

所以当点。是棱SC的中点时，符合题

忌、.14分

19.(本小题15分)

解:(I)m=-1,所以/(》)=人一ln(x+l).

(i)f(x)=2x--二,k=f'(O)=-].

又/(0)=0,所以/(x)在(0,7(0))点处的切线方程为

y=-x................4分

(ii)令F(x)=j\x)-x3=x2-\n(x+l)-x3,

F(x)=2x-----3/=3J+21=,

x+1x+1x+1

xe(l,+oo)时，F'(x)<0,尸(x)在(l,+8)上单调递减，

所以尸(x)〈尸(l)=-ln2Vo,

所以当X£(1,+8)时，

f(X)<x3............10分

(II)/(x)=x2+/?Hn(x+l),/(x)的定义域为(一1,+8),

2

“、八m2x+m八口n-2c八

f(x)=2xH------------=-----------------------------=09即2x~+2x+m=0.

x+1x+1

当4-8mWO即时，/'(x)Z0,/(x)在(-1,+oo)上单调递增,

又"0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；

当4-8机>0即机<；时2x?+2x+加=0有两根%,x2(x,<x2)；

当2x(-l)2+2x(-1)+机>0即0<机<；时，X,

々€(-5,0),

此时/(X)在(%，+8)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零

点，不合题意；

当加=0时/(x)=x2,此时/(X)在(0,1)上无零点，不合题意；

当加<0时X]e(-00,-1),x2e(0,+00),

此时/(x)在(0,与)上单调递减，在(9，+8)上单调递增，/(0)=0,

所以/。2)<0,/㈤在区间(0,1)上存在唯一零点,即/⑴>0即可.解

得加〉———・

In2

综上，若/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，则

we(——,0)............15分

ln2

20.(本小题15分)

解：(I)由题意可得26=2g，所以b=百,

c1

又e=t=g由力=62+，得a=2,c=l,

a2

所以椭圆C的方程为

J广=1............5分

43

(II)因为定值.

I/

证明：由题意可知，直线/的斜率存在，设直线，的方程为y=%(x-i),

［占+乙=1

联立｛43'得(3+4公口2-8左，+4(公_3)=0，

"人(厂1),

、几，/、力/、8k24(k2-3)

灰”(X［，必)，B(X?，，2)，贝nil」再+工2=~777'x\x2=~..->'

3+4公3+4K

设48的中点为。(%,%),则%=以退仁，

23+44

%=仪％一1)=高.

当4W0时，线段的垂直平分线的方程为

-3k1,4公

y------7=—(1------7)，

.3+4公k3+4公

令y=0,得x=4r，即P(上万，0),

3+4攵3+4公

所以|的=|上^一1|=3(1+勺).

3+叱3+4公

\AB\-।-x21=Jq+j/ja—4十々

16(左2-3)_12(1+1)

3(1+公)

产可_3+4公=1

AB\"12(1+/)—4

3+4公

当k=o时，直线/的方程为y=o,

M_1

此时，|NB|=2a=4,|尸产|=。=1,

\AB\4

综上F为定值

15分

21.(本小题15分)

解