2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考高二（上）期中数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年河南省驻马店市环际大联考高二（上）期

中数学试卷（理科）

1.ilx>r是“x+：22"()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

2.设命题p：3x0GR,xl-10x0+12>0,则-^为()

2

A.Vx6/?,x—10%+12<0B.Bx0WR,XQ-10x0+12<0

2

C.VxG/?,x—10%+12>0D.3x0在R，XQ-10x0+12<0

3.已知不等式%2一5%+Q<0的解集是｛%|2V%Vb｝,则实数a=()

A.—14B.-3C.3D.6

4.已知等比数列｛册｝的前〃项和为Sn,若04—02=12,a5-a3=24,则此数列的公

比q为()

1

A.-2B.IC.2D.4

5.下列不等式成立的是()

A.若a>b,则ac?>be2B.若a>b,则工<:

C.若a<b<0,则a2<ab<b2D.若a>b,则a?>b3

6.已知x>0>y>0,且:+^=1,若2x+y>m2+87n恒成立，则实数m的取值范

围为()

A.(-1,9)

B.(-9,1)

C.[-9,1]

D.(—oo,—1)U(9,+oo)

7.下列命题中不正确的是()

A.若命题p为真命题，命题为假命题，则命题“pvq"为真命题

B.命题“若a+b#7,则a中2且bH5”为真命题

C.命题“若——%=0,则x=0或x=r的否命题为“若——X力0,则x*0且

XK1”

D.命题“若x>2,则x(x-2)>0”的逆命题为“若x(x-2)>0,则%>2"

8.某观察站B在城A的南偏西20。的方向，由城A出发的、，

一条公路走向是南偏东40。，在B处测得公路上距4

831km的C处有一人正沿公路向城A走去，走了20加？

之后到达。处，此时B,。间的距离为21加，则城AW

D

与观察站B之间的距离为（）/一

A.24km

B.24V3fcm

C.19km

D.20km

9.在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin力+-sinB<sinC,则4ABC

cc

是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定

10.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ccosB=(2a-b)cosC,则

sinC=()

A.-B.-C.-D.1

222

H.已知等差数列｛册｝的前〃项和是Sn,若Si5>0,Si6<。，则Sn最大值是()

A.SiB.S7C.S8D.S15

12.Sn为数列｛a九｝的前〃项和，。1=2,a2=5,a3=10,a4=17,对任意大于2的

正整数Hr有%+i—3S+3s_]—S_2+机=0怛成立，则使得―――4—■—+…+

nzin°2―203-2

」~;+—\2号成立的正整数％的最小值为()

2%-242

A.7B.6C.5D.4

13.在锐角A4BC中，a2-b2=c2-y[2bc,则角A的大小为,

y<1

14.己知x,y满足，x—2y—2W0,则z=3x—y的最大值为.

,2x+y+2>0

15.某超市去年的销售额为。万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%.从今年

起10年内这家超市的总销售额为万元.

16.已知数列｛an｝的前〃项和为Sn(neN*),且满足Sn+Sn+i=2/+n,若对Vn€

N*,an<册+i恒成立，则首项国的取值范围是.

17.已知命题p：x2-13x+36<0；命题q：(x-n-7)(x-n-1)<0,〃为实数.

(1)若命题〃是命题q的充分不必要条件，求〃的取值范围；

(2)当n=l时，若pAq为假命题，pVq为真命题，求x的取值范围.

18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽

车的平均速度v(/an")之间的函数关系为y=西黑标3>0).

(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

(精确到0.1千辆/时)

(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

19.已知等差数列｛an｝中，+a5=8,a4=2.

(团)求数列｛即｝的通项公式；

(圈)设％=|aj+\a2\+|a3|+…+|an|,求兀

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20.数列｛$｝的通项公式为分=n,其前〃项和为土；数列｛%｝为等比数列，b1=a2,

且电，瓦+%，儿成等差数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设%=%+；,求数列｛%｝的前〃项和%.

21.锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2,c(sinC-sinB)+

bsinB=asinA

(1)求角A的大小；

(2)求△ABC周长的范围.

22.已知数列｛即｝中，=1>即+i=€N*).

即+3

(1)求证：数列｛2+3为等比数列，并求出｛即｝的通项公式即；

n

(2)数列｛%｝满足=(3-l)-^-an,设7；为数列｛b｝的前n项和，求使k>〃恒

成立的最小的整数k

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用基本不等式的性质是解决本题的关键,

比较基础.

根据基本不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.

【解答】

解：当由基本不等式可得x+%22当且仅当x=l时取等号，.•・充分性成立.

X

若久+工22,则%>0,必要性不成立，

X

・••“X21”是“x+工22”的充分不必要条件，

X

故选：A.

2.【答案】A

2

【解析】解：命题P：3x0eR,据一10x0+12>0,则->p：Vxe/?,x-10x+12<0,

故选：A.

根据命题的否定，逐一判断即可.

本题考查命题的否定，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式的解集与对应方程的关系，考查计算能力，是基础题.

利用不等式的解集，可知2是方程/—5x+a=0的根，直接求出〃即可.

【解答】

解：不等式/—5x+a<0的解集是｛久12cx<b｝,

可知2是方程/-5x+a=0的根，

即4—10+a=0,解得a=6.

故选：D.

4.【答案】C

【解析】解：设等比数列｛。黯的公比为q,

由—a2=12,a5—a3=24,得—a3=(a4—a2)q=12q=24,解得q=2.

故选：C.

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设等比数列｛斯｝的公比为q,利用-a3=(a4-a2)q即可求出4值.

本题考查等差数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：当c=0时，研2=儿2,所以A错；取a=2,b=-1,满足a>b,不满

足三<：,所以B错；

取a=-2,b=-1,满足a<b<0,不满a2<ab<b2,所以C错；

根据不等式性质，若a>b,则。3>川，所以。对.

故选：D.

取c=0可判断A；取a=2,b=—1可判断8；取a=—2,b=—1可判断C；根据不等

式性质可判断D

本题考查不等式性质，考查数学运算能力，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能

力.

先把2x+y转化为(2x+y)(-+3,展开后利用基本不等式求得其最小值,然后根据2x+

xy

y>m24-8m恒成立求得?n?+8m<9,进而求得相的范围.

【解答】

解：rx>。，y>0,且三+工=1,

xy

.•.(2x+y)G+j=5+§+?25+2=9,当且仅当x=3,y=3时取等号,

v2x+y>m2+8m恒成立，

•••m2+8m<9,解得—9<m<1,

故选：B.

7.【答案】B

【解析】解：对于A：若命题.为真命题，命题q为假命题，则命题“pvq”为真命题，

故A正确；

对于8：当a=2,6=6时(1+6¥7,但a。2且bK5不正确，故8错误；

对于C：命题“若/一%=0,则x=0或x=l”的否命题为“若/一XHO,则x#0且

xH1”，故C正确；

对于D：命题“若x>2,则%。-2)>0”的逆命题为“若x(尤-2)>0,则x>2”，

故。正确.

故选：B.

由或的定义可判断A,取a=2,8=6可判断8,由否命题的定义可判断C,由逆命题

的定义可判断D.

本题考查了命题真假的判断，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：在^BCD中，由余弦定理得COSNBDC==

2BDXCD2x20x21

400+441-961

2X20X21

•••sin/BOC=V1-COS2ZBDC=—

AsinZ-ADB—sin（7r—乙BDC）—sinZ-BDC=--

在△ZB。中，由正弦定理得:

sinz.ADBs\nz.BAC

即备=专解得48=24.

故选：A.

△BCO中，利用余弦定理计算出COS4BDC,从而得出sin/ADB,AAB。中，利用正弦定

理可求ZB.

本题考查正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属中档题.

9.【答案】C

【解析】解：因为*sinA+&sinB<sinC,

cc

所以asinA+bsinB<csinC,

222

由正弦定理可得，a+b<cf

由余弦定理可得，cosC=a~c<0,

2ab

由0cc<兀，

所以角c为钝角，

则△ABC为钝角三角形.

故选：C.

2

将已知的不等式利用正弦定理进行变形,得到a?+b<c2,然后由余弦定理得到cosC<

0,即可得到角C为钝角，从而得到答案.

本题考查了三角形形状的判断，正弦定理和余弦定理的应用，对于解三角形问题中已知

的等式或不等式，一般利用正弦定理和余弦定理边化角或角化边，属于基础题.

10.【答案】A

【解析】解：因为ccosB=(2a-b)cosC,

所以由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sin4cosC,

所以sin(B+C)=sin4=2sin4cosC,

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因为A为三角形内角，sinAwO,

所以cosC=

又Ce(0,TT),

所以C=M可得sinC=^.

故选：4

由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得sim4=2sin4cosC,由于A为三角形

内角，sin4K0,可求cosC=5结合范围Ce(0,乃)，可求C=g,即可得解sinC的值.

本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化

思想，属于基础题.

11.【答案】C

【解析】

解：,等差数列｛a"的前"项和是又，若S15>O,Si6<0，

pi5=15(a^ais)=15a8>0

卜6=里泮=8(a8+a9)<o'

**•CLQ>0,Q9V0,

・•・n=8时,Sn最大.

故选：C.

由已知条件推导出他>。，a9<由此能求出结果.

本题考查等差数列的前〃项和最大值的求法，解题时要认真审题，是基础题.

12.【答案】B

【解析】解:依题意知：当n=3时有S4-3s3+3s2-S1+m=0=a4-2a3+a24-m,

,**a2=5,Q3—10,Q4——17,

—

・•・m——2,Sn+i—3Sn+3Sn-i—S^-2—2=0,即(S九+1—Sn)—2(Sn_Sn_1)+(Sn-i

Sn-2)-2=0,

aaa

・••n+i_20n+an_1-2=0,即(Qn+1_n)一(%-n-i)=2,n>3,

乂@2—Q]=3,CL3-Q，2=5,(Q3-口2)_®2—Ql)=2,

二数列｛册+i-即｝是以3为首项,2为公差的等差数列，.・.an+i—Qn=27i+l,

占攵—=3,—@2=5,Q4—a3=79…,0n-Qn_i=2n—l(n>2),

(71-l)(3+2?l-1)z"、/iY、

由上面的式子累加可得：0n-2-i-----=(n-1)•(n+1),n>2,

111[),n>2.

a.n—2(71—1)(71+1)2n—1H+J

由.1.+1,+…+.1+.1,；NK可得：-[(7-Z)+(Z-7)+(Z-7)'---卜

1、、

命1）］=51（l+w一丁示1）々石25，

整理得：+一二3号，•••/£67*且左22,

kk+142

•♦・解得：k>6.所以k的最小值为6.

故选：B.

先由题设条件求出m,得到：Sn+1-3Sn+3S„_I-S“-2-2=0,整理得：（的+i-即）一

（,an-an_^=2,从而有数列｛a“+i—an｝是以3为首项，2为公差的等差数列，求出

a-a=2n+l,再利用累加法求出册-2,然后利用裂项相消法整理；+2+

n+1ng—2。3-2

H---rH—\N葛可得白+解出攵的最小值.

£1k_］-2以―242kk+142

本题主要考查式子的变形、构造等差数列、累加法求和及裂项相消法求和、解不等式等

知识点，是一道有难度的题.

13.【答案】f

4

【解析】解：由题小-b2=c2-yflbc,

得〃+c2-a2=V2bc,

由余弦定理：cos4=5贮=等=当，

2bc2bc2

又因为A为锐角三角形的内角，

所以2=9

4

故答案为：=

4

利用余弦定理表示出cosC,把已知等式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利

用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.

本题考查余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入的思想，属于容易题.

14.【答案】11

y<1

【解析】解：x,y满足x-2y-2S0,可行域如

.2%+y+2>0

图：

联立［02=0,解得省4，1），

由z=3x-y,得y=3x-z,由图可知，当直线y=

3x—z过A时，

直线在y轴上的截距最小，z有最大值为11.

故答案为：11.

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

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15.【答案】lla(l.l10-1)

【解析】解：设今后10年每年的销售额为为。=1,2,3,-,10),

因为超市去年的销售额为4万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%,

所以今年的销售额为%=1.1a,

今后第i+1年与第，年的关系为七+1=l.laP

所以今后10年每年的销售额为a4i=1,2,3,…,10)构成等比数列，公比为1.1,首项为

—1.1a,

所以今年起10年内这家超市的总销售额为：

Si。==Ilaxl.l10-11a=lla(l.l10-1),

故从今年起10年内这家超市的总销售额为-1)万元，

故答案为：11以1.11°一1).

根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1,首项为％=1.1a,进而根据

等比数列求和公式求解即可.

本题主要考查函数模型及其应用，数列求和公式的应用等知识，属于基础题.

16.【答案】(一黑)

2

【解析】解：Sn+Sn+1=2n+n,

2

**•Sn_]4-Sn=2(7t—I)+九一L(几之2),

两式作差得由i+an+i=4九-1,n>2,・•・a71T+0n=4n—5,n>3

两式再作差得Qn+i—Qn-i=4,n>3,

可得数列｛。九｝的偶数项是以4为公差的等差数列，从的起奇数项也是以4为公差的等差

数列.

若对VnEN*,an<册+i恒成立，当且仅当即<a2<a3<a4.

又出+$2=3,・•・敢=3—2%,・,・%=7一g=4+2al,a4=ll—a3=7—2at,

QiV3-2alV4+2Gl<7—2al,解得：一[<<],

故答案为：(一：,[).

22

Sn+Sn+i=2n+n,Sn_i+Sn=2(n-I)+n-1,(n>2),两式作差得an+an+1=

a

4n-1,n>2,可得。九_14-an=4n-5,n>3,两式再作差得册+i-n-i=4,n>3.

可得数列｛an｝的偶数项是以4为公差的等差数列，从的起奇数项也是以4为公差的等差

数列.由对VneN*,即van+i恒成立，当且仅当的<g<的<以•即可得出.

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)解不等式12-13%+36<0得4<%<9,

解不等式(％—n—7)(%—n—1)<0得n4-l<x<n+7,

因为命题尸是命题9的充分不必要条件，

所以[4,9]是5+1速+7)的真子集，即

解得2<n<3

所以"的取值范围是(2,3).

(2)由(1)知，当?1=1时，命题p对应的范围是集合P={x|4WxW9},命题q对应的范

围是集合。={x|2<x<8},因为pAq为假命题，pVq为真命题，

所以命题p与命题q中有一个真命题一个假命题，

4V%V9

当命题p真，命题q假时，{二公、。,解得8WXW9,

当命题产假，命题q真时.，{%<4班>9,解得2<X<4,

2<x<8

综上，x的取值范围是(2,4)U[8,9].

【解析】(1)根据题意得[4,9]是(n+l,n+7)的真子集，进而根据集合关系求解即可；

(2)根据题意得，命题p对应的范围是集合P={x[4Wx<9},命题g对应的范围是集合

Q={%|2<%<8],命题p与命题夕中有一个真命题一个假命题，进而分类讨论求解即可.

本题主要考查了复合命题的真假，考查了解一元二次不等式，属于基础题.

18•【答案】解：⑴依题意,、=丽善^^前920

83

当且仅当》=心，即〃=40时，上式等号成立，

V

所以Wax=M=11.1（千辆/时）.

920只

(2)由条件得>10,

V2+3V+16OO

整理得。2-89"+1600<0,

即3-25)(v-64)<0.解得25<v<64.

.♦.当u=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时，

如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km"且小于

64km/h.

【解析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.要特别留意等号取得的条件.

(1)根据基本不等式性质可知92：<舒弟进而求得y的最大值.根据等号成立的

条件求得此时的平均速度.

(2)依题意可知西黑而>10,整理求得u的范围.

19.【答案】解：(回)••・等差数列{%}中,%+曲=8,a4=2,

+4d=8

1%+3d=2解得的,=8,d=-2,

:.Q九=8+（几—1）x（—2）=10—2n.

（团）由即=10—2n>0,得n<5,

a5=0,a6=—2<0,

第10页，共13页

Tn=tail+㈤+|a3l+…+EI，

2

.♦•当nW5时，Tn=8n+x(-2)=9n-n.

22

当n>5时，Tn=-[8n+x(-2)]+2(9x5-5)=n-9n+40.

,丁_C9n_n2,n<5

nIn2—9n+40,n>5-

【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前"项和的求法，是中档题，解

题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用.

(团)由已知条件利用等差数列通项公式列出方程组求出首项和公差，由此能求出通项公

式.

(团)由%=10-2n>0,得n<5,利用分类讨论思想能求出7；=%|+|a2|+

1031+…+|叫的值.

20.【答案】(1)解：因为数列｛即｝的通项公式为an=n,所以左=a2=2,

因为数列｛砥｝为等比数列，瓦=。2,且匕2,瓦+为，九成等差数列，

所以2(瓦+质)=尻+①，

设等比数列｛b｝的公比为4，

所以"也=("+%"=q=2,

所以%=2n.

(2)解：因为数列｛an｝的通项公式为即=九，其前〃项和为％,

所以治=巧父，

所以金=2n+-^—=2n+2(---J),

71n(n+l)%n+17

所以数列｛小｝的前〃项和〃=2+2(1—^)4-224-2(|—1)+…+2"+2(，—=2+

22+•­•+2n+2(1--)+2(i-i)+-­•+2(i-—)=^^22+2(1-i+---•••4-i-

、27、23，n+171-2k223n

—)=2n+1+--2.

n+17n+1

所以7；=2"+i+言—2.

【解析】(1)由题知2(瓦+打)=b2+b4,进而得等比数列｛%｝的公比q=2,再结合瓦=

a2=2即可求得数列｛%｝的通项公式；

(2)由题知无=2罗,7=2n+2号-W)，进而利用分组求和与裂项求和方法求解即

可.

本题考查了等差数列与等比数列的综合以及裂项相消求和等数列求和问题，属于中档题.

21.【答案】解：(1)c(sinC-sinF)4-bsinB=asinA,

••・c(c—b)+b2=a2,即+b2-a2=be,

c2+b2-a2be1

•cosA=—又

・・2bc~2b—c2,0<4<7T,

"A=?

(2)因为-A?=-A-=-T—>

sin-smBsinC

所以b=—sinBrc=—sinC,

33

所以Q+b+c=