2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区八年级（上）第三次段考数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年湖南省长沙市岳麓区博才培圣学校八年级

（±）第三次段考数学试卷

I.2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武

汉.下面是四家医院标志的图案部分其中是轴对称图形的是（）

B./-I■=以\华西医院

D今协和医院

2.下列式子是分式的是（）

A.-B.-+yC.2D—

22ZX+l7T

3.石墨烯是世界上目前最薄却也最坚硬的纳米材料，还是导电性最好的材料，其理论

厚度仅为0.00000000034米，该厚度用科学记数法表示为（）

A.0.34xIO-米B.34.0xIO-11米C.3.4x1()T°米D.3.4x10-9米

4.利用乘法公式计算(3a+b)2等于()

A.3a2+b2B.9a2+b2C.9a2+3ab4-b2D.9a2+6ab+b2

5.下列计算正确的是()

A.3x2y+5yx2=8x2yB.2x-3x=6x

C.(3*)3=9x9D.(—x)3•(—3%)=-3x4

6.如图，在△力BC中，AB=AC,Z.BAC=100°,AB的垂直平分线£>E分别交AB、

BC于点D、E,则NB/1E=()

A.80°B.60°C.50°D.40°

7.下列关于分式誓的各种说法中，错误的是（）

A.当x=0时，分式没有意义B.当%>-2时，分式的值为负数

C.当％<-2时，分式的值为正数D.当％=-2时，分式的值为0

8.在联合会上，有4、8、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩

抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平,

则凳子应放的最适当的位置是在△48。的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点

C.三边中垂线的交点D.三边上高的交点

9.已知巾+几=2,nm=-2,则（1+m）（l+九）的值为（）

A.-3B.-1C.1D.5

10.某煤矿原计划x天生产120f煤，由于采用新的技术，每天增加生产33因此提前2

天完成，列出的方程为（）

120120120120

AoDD.---=-----3o

x-2xxx+2

「

U.-1-20=-1-2-0-3D.—=--3

X+2Xxx-2

11.分式方程二7=梳的解是（）

X-1X2-1

A.%=1B.%=-1C.%=3D.

12.如果整数。使得关于x的不等式组有解，且使得关于*的分式方程

§---=-3有正整数解，则满足条件的所有整数。之和为（）

x-33-x

A.—3B.—2C.0D.1

13.点（-2,3）关于x轴的对称点的坐标是.

14.正多边形的一个内角等于144。，则该多边形是正____边形.

15.已知尹=3,4y=5,贝Ij2*-2y的值为.

16.如图，在Rt△ABC中，/.ACB=90°,AC=BC,以BC为

边在8C的右侧作等边ABC。，点E为8。的中点，点P

为CE上一动点，连结AP,BP,当AP+BP的值最小时，

△CBP的度数为.

17.计算：|-3|+(-1)2013x(7T-3)°+(-2)2+V8.

18.分解因式：

(1)3/-18/+27X.

(2)4a2(x-y)+b2(y—x).

19.先化简，再求值：(1--一)•2"，其中x=2.

x-rxz-6x二+9。

20.解分式方程：

21.如图，/BAD=4CAE=90。，AB=AD,AE=AC,AF1CB,垂足为F.

（1）求证：SABC^^ADE；

（2）求N凡4E的度数.

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E

22.为迎接“均衡教育大检查”，县委县府对通往某偏远学校的一段全长为1200米的

道路进行了改造，铺设草油路面.铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每

天的工作效率比原计划提高25%,结果共用13天完成道路改造任务.

(1)求原计划每天铺设路面多少米；

(2)若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的

工资增长了20%,完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？

23.已知：如图1,在AABC中，4。是NB4C的平分线.E是线段AO上一点(点E不与

点A,点。重合)，满足NABE=244CE.

(1)如图2,若N4CE=18。，且E4=EC,则NOEC=°,/.AEB=°.

(2)求证：AB+BE^AC.

(3)如图3,若BD=BE,请直接写出乙4BE和NB4c的数量关系.

24.对于平面直角坐标系中的点P(a,b),若点P'的坐标为(a+*ka+b)(其中k为常数,

且k于0),则称点P'为点P的'”系培圣点”.例如：P(l,4)的“2系培呈点”为

P，(l+g,2x1+4),P，(3,6).

(1)点P(—l,6)的“3系培圣点"P'的坐标为.

(2)若点P(x,0),x为正整数，点P的'”系培圣点”为P'点，且PP'+OP+为=7,

氏为正整数，求出的值.

(3)若关于x的分式方程等+啜=2无解，求机的值.

x-3xz-9

25.如图,在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且。/满足等式Q2—8Q+

16+|b-l|=0.

(1)求点B的坐标；

(2)如图1,动点C以每秒1个单位长度的速度从。点出发，沿x轴的正半轴方向

运动，同时动点A以每秒3个单位长度的速度从。点出发，沿y轴的正半轴方向运

动，设运动的时间为f秒，当t为何值时，△4BC是以A3为斜边的等腰直角三角形；

(3)如图2,在(2)的条件下，作乙4BC的平分线8。，设80的长为怙AADB的面

积为S.请用含m的式子表示S.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【解答】

解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，所以是做轴对称图形；

选项B、C、。不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是做轴对称图形；

故选：A.

2.【答案】C

【解析】解：A、未知数在分子上，故该选项不是分式，该选项不符合题意；

8、未知数在分子上，故该选项不是分式，该选项不符合题意；

C、未知数在分母上，符合分式的定义，故该选项是分式，该选项符合题意；

。、未知数在分子上，故该选项不是分式，该选项不符合题意.

故选：C.

根据分式的定义解答即可.

本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键.一般地，如果A,B表示两个

整式，并且8中含有字母，那么式子J(BKO)叫做分式，注意兀是数字.

3.【答案】C

【解析】解:0.00000000034米,该厚度用科学记数法表示为3.4x1。一】。米，

故选：C.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax10-%与较大数的科

学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面

的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axIO',其中i<|a|<io,"为由

原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.【答案】D

【解析】解：原式=(3a)2+2-3a-b=b2=9a2+6ab=b2.

故选：D.

依据完全平方公式进行计算即可.

本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：A、3x2y+5yx2=8x2y,本选项计算正确，符合题意；

B、2x-3x=6x2,故本选项计算错误，不符合题意：

C、(3炉)3=27%9,故本选项计算错误，不符合题意；

D、(-X)3•(-3x)=3x4,故本选项计算错误,不符合题意；

故选：A.

根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、积的乘方法则计算，判断即可.

本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方，单项式与单项式相乘，把他们

的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为

积的一个因式.

6.【答案】D

【解析】解：-AB-AC,/.BAC=100°,

•••NB=NC=(180°-100°)+2=40。，

vDE是AB的垂直平分线，

・•・AE=BE,

・•・乙BAE-Z-B=40°,

故选：D.

首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质ZB,利用线段垂直平分线的性质易

得4E=BE,乙BAE=LB.

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌

握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：人当x=0时，分母为0,分式没有意义；正确，但不符合题意.

B、当-2<x<0时，分式的值为负数；原说法错误，符合题意.

C、当x<-2时，分式的值为正数；正确，但不符合题意.

D、当x=-2时，分式的值为0；正确，但不符合题意.

故选：B.

此题可化转化为分别求当分式等于0、大于0、小于0、无意义时的x的取值范围，分别

计算即可求得解.

本题主要考查分式的性质的运用，注意分式中分母不为0的隐性条件.

8.【答案】C

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【解析】解：•••三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，

•••凳子应放在△4BC的三条垂直平分线的交点最适当.

故选：C.

为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段

两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上.

本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一

种能力，要注意培养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：■-m+n=2,mn=—2,

■■(1+m)(l+n)=l+n+m+mn=1+2-2=1.

故选：C.

根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(1+m)(l+n)=1+n+m+nrn,再代入计

算即可.

本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键.注意不

要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键设出天数，以工作效率作为等量关系列方

程.设原计划x天生产120f煤，则实际(x-2)天生产120f煤，等量关系为：原计划工

作效率=实际工作效率-3,依此可列出方程.

【解答】

解：设原计划x天生产120f煤，则实际(x-2)天生产120/煤，

根据题意得，-=^-3.

xx-2

故选D.

11.【答案】D

【解析】解：方程两边同乘以/一1,

得x+1=2,

解得x=1.

经检验：x=l是原方程的增根，原方程无解.

故选：D.

本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：x2-l,两边同时乘最简公

分母可把分式方程化为整式方程来解答.

本题考查了解分式方程.(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化

为整式方程求解.

(2)解分式方程一定注意要验根.

12.【答案】D

【解析】解：解不等式组『二;

•・•该不等式组有解，

A3a—4<%<2+a,

3a-442+a,

解得：aS3,

解分式方程9—--=-3得：

x-33-x

X=~且％H3，

fl+3

•••a为整数，且分式方程胃—=-3有正整数解，

x-33-x

••.a的值为：3,0,-2,

3+0+(-2)=1,

即满足条件的所有整数〃之和为1,

故选：D.

解不等式组］；j?_4,根据“该不等式组有解”，得到关于〃的一元一次不等式,

解之，解分式方程三-2=-3,根据“。为整数，且分式方程乌---=-3有正整

x-33-xx-33-x

数解”，找出符合条件的”的值，相加后即可得到答案.

本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，正确掌握解分式方程的方法和解一元一

次不等式组方法是解题的关键.

13.【答案】(一2,-3)

【解析】解：点(一2,3)关于x轴的对称点的坐标是(-2,-3).

故答案为：(-2,-3).

根据''关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答.

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规

律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，

纵坐标相同，横坐标互为相反数.

14.【答案】十

【解析】解：设正多边形是〃边形，由题意得

(n-2)x180°=144°札

解得71=10,

故答案为：十.

根据正多边形的每个内角相等，可得正多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式,

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可得答案.

本题考查了多边形的内角与外角，利用了正多边形的内角相等，多边形的内角和公式.

15.【答案】|

【解析】解：原式=2、+22〃=2,+4,=|.

故答案是：|.

根据同底数的幕的除法法则把所求的式子化成2,+4y然后代入求解即可.

本题考查了同底数的事的除法法则以及哥的乘方法则，正确对所求式子进行变形是关键.

16.【答案】15。

【解析】解：连接AO交CE于。，连接BQ,

•・•△BCD是等边三角形，点E是的中点，

CE是8。的垂直平分线，

•••BP=DP,

二当点P与。重合时，AP+BP的值最小，

■：AC=BC,BC=CD,

・•・AC—CD,

Z.ACD=乙ACB+乙BCD=90°+60°=150°,

AZ.CDA=15°,

由等边三角形的轴对称性可知：乙CBQ=乙CDQ=15°,

4cBp=15",

故答案为：15。.

连接4。交CE于Q,连接80,由等边三角形的轴对称性知CE是8。的垂直平分线，

得BP=DP,则当点P与。重合时，4P+BP的值最小，即可解决问题.

本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明

确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键.

17.【答案】解:|-3|+(-1)2013x(7T-3)°+(-2)2+V8

=3+(-l)xl+4+2

=3-1+4+2

=8.

【解析】-1的奇次方为-1,任何数的0次方均为1,由此进行计算即可.

本题考查了实数的运算，解题关键在于熟知-1的奇次方为-1,任何数的0次方均为1.

18.【答案】解：(1)原式=3%(%2-6%+9)

=3x(%—3产

(2)原式=4a2(x-y)-b2(x—y)

=(%—y)(4a2—b2)

=(%—y)(2a+b)(2a—b).

【解析】(1)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；

(2)原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

m・欢七、扇?旧#_产-12、x(x-l)

x-1x-Y(x-3)2

X-3%(%—1)

x-1._3)2

X

二百

当x=2时,

原式==-2.

2—3

【解析】先将括号内的式子进行通分计算,然后再算括号外面的，最后代入求值.

本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最

后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键.

20.【答案】解：(1)去分母得：2%=1+久+3,

解得：x=4,

检验：把x=4代入得：尤+3r0,

二分式方程的解为％=4；

(2)去分母得：x(x+2)-14=x2-4,

解得：x=5,

检验：把x=5代入得：(x+2)(x-2)K0,

二分式方程的解为％=5.

【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验

即可得到分式方程的解；

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到

分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

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21.【答案】证明：(1)^^BAD=^CAE=90°,

・•・^BAC+乙CAD=90°,Z-CAD+^LDAE=90°,

:.Z.BAC=Z.DAE,

在△B/C和△DAE中，

AB=AD

(BAC=/-DAEJ

AC=AE

•••△8ACWZME(S/S)；

(2)vZ-CAE=90°,AC=AEf

・•・乙E=45°,

由⑴知

・・・Z.BCA=NE=45°,

♦・・AF±BC,

・•・ACFA=90°,

・•・Z.CAF=45°,

・•・Z.FAE=/.FAC+Z-CAE=450+90°=135°.

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的

判定定理是本题的关键.

(1)根据题意和题目中的条件可以找出△ABCW4DE的条件；

(2)根据⑴中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到4凡4E的度数.

22.【答案】(1)解：设原计划每天铺设路面x米，根据题意可得：

4001200-400

------1-----------------=13

x(14-25%)x

解得：x=80

检验：x=80是原方程的解且符合题意，

答：原计划每天铺设路面80米；

原来工作400+80=5(天)；

(2)后来工作(1200-400)+[80x(l+20%)]=8(天).

共支付工人工资：

1500x5+1500x(1+20%)x8=21900(元)

答：共支付工人工资21900元.

【解析】(1)设原计划每天铺设x米管道，提高工作效率之后每天铺设(l+25%)x米管

道，根据共用13天完成这一任务，列方程解答即可.

(2)根据(1)中数据代入解答即可.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找

出合适的等量关系，列方程.

23.【答案】36126

【解析】(1)解：・・・E4=EC,

・•・ACAE=Z.ACE=18°,

・♦・乙DEC=Z.CAE+Z.ACE=36°,

vAABE=2Z.ACE,AACE=18°,

・•・Z,ABE=36°,

・・・4D是NB4c的平分线，

・♦・乙BAE=Z.CAE=18°,

・・・Z.AEB=180°-Z-BAE-乙ABE

=180°-18°-36°

=126°,

故答案是：/-DEC=36°,Z.AEB=126°；

(2)证明：如图1,

图1

在AC上截取49=AB,连接核,

•••4。是484c的平分线,

乙BAE=Z-CAEj

vAE=AE,

••.△4EF以4EB(S4S),

EF=EB,Z-AFE=Z.ABE,

vZ-ABE=2Z-ACE,

:.Z.AFE=2/-ACE,

vZ-AFE=Z.ACE+乙CEF,

・•・2/.ACE=/-ACE+乙CEF,

:./.ACE=乙CEF,

・•・EF=FC,

・•・FC=BE,

••・AC=/F+FC=/B+8E；

(3)解：如图2,

图2

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^Z-CAE=^BAE=a,乙ACE=0,

AZ-ABE=2夕，

・•・乙DEB=Z-BAE+/.ABE=a+2£,

vBE=BD,

・，・Z-ADB—乙DEB=a+20,

v乙408=Z.CAE+Z.ACD,

・•・2夕=a+{Z-ACE+乙DCE),

:.2£=a+(夕+Z.ACD),

・•・Z,ACD=0,

:.Z-ACB=2/-ACE=Z-ABE,

・•・CE是ZACB的平分线，

・・・4D是乙&4B的平分线，

・・・E点△4BC的内心，

・•・Z.ABC=Z.ABE—2/7,

・•・/.ABC=2Z-ABEf

在△4BC中，

Z.BAC+/.ABC+Z.ACB=180°,

・・・ABAC+2Z.ABE+Z.ABE=180°,

・・・3AABE+Z.BAC=180°.

(1)由瓦4=EC^Z-CAE=/.ACE=18°,进而求得结果；

(2)在AC上截取AF=AB,连接/E,可证得△BAEgA4FE,从而4AFE=4ABE,根

据N4BE=244CE可得△CEF是等腰三角形，进一步可得证；

(3)先推出4DEC=44CE,从而得出E是△ABC的内心，进而BE平分乙4BC,可根据三

角形内角和推出和484c的数量关系.

本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形内心等知识，解决问题的

关键是“截长补短”以及内心的性质.

24.【答案】(1,3)

【解析】解：(1)当Q=-1,b=6,々=3时，-1+?=1,3x(—1)+6=3,

・••点P(-l,6)的“3系培圣点"P'的坐标为(1,3),

故答案为：(1,3)；

(2)・.・点2(招0),%为正整数，点尸的'〃系培圣点”为P'点，

・•・P\x,kx),

:.PPr=Jo+(kx)2=\kx\,OP=x,

A\kx\+%+2k=7,

B|Jfcx+%+2k=7或-kx+%+2k=7,

解得：小缶或品

•••k为正整数，

•••k=2或6；

(3)给分式方程两边同时乘以(％-3)(%+3),得，

mx2+(12+3ni)x+36=0,

・•・上述分式方程无解，

•••x2-9=0,即x=3或x=-3,

①当x=3时，代入+(12+3m)x+36=0,则?n=-4；

②当x=-3时，代入？n/+(12+3m)x+36=0,则9m—36—9m+36=0(不合题

意,舍去)，

综上，m=-4.

(1)根据点P'为点P的系培圣点”的定义计算；

(2)根据点P'为点尸的"2系培圣点”的定义得出P'点坐标，再根据两点间的距离公式得

出PP'和OP,代入P