2021-2022学年江西省抚州市南城中考数学考前最后一卷含解析及点睛

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图是二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a^O）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2,0）和（3,0）之

间，对称轴是x=l.对于下列说法：①abVO；②2a+b=0；③3a+c>0；@a+b>m（am+b）（m为实数）；⑤当-IVx

C.②③④D.③④⑤

2.用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（）

A.4B.6C.167rD.8

13

3.方程---1=--的解为()

x-22-x

A.x=4B.x=-3C.x=6D.此方程无解

4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是().

A.(x+l)(x-l)=x2-l

B.x2-2x+l=x(x-2)+l

C.a2-b2=(a+b)(a~b)

D.mx+my+nx+ny=/n(x+j)+"(x+y)

5.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=4,△ABC的周长为23,则AABD的

周长为（）

A.1315C.17D.19

6.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3,EF=4,

那么线段AD与AB的比等于（）

A.25：24B.16：15C.5：4D.4：3

7.把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+l）（x-3）,则a、b的值分别是（）

A.a=2,b=3B.a=-2,b=-3

C.a=-2,b=3D.a=2,b=-3

8.直线y=3x+l不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3x-2y=3®

9.用加减法解方程组“,U…时，如果消去y,最简捷的方法是（）

4x+y=15②

A.①x4-②x3B.①x4+②x3C.②x2-①D.②x2+①

10.计算士如■的值为（）

A.±3B.±9C.3D.9

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点4（1,1）,以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点8的位置，则的

长为.

2Y—1

12-若使代数式"有意义'则X的取值范围是

13.如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C',再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D

和点A重合•若AB=3,BC=4,则折痕EF的长为

14.已知aVO,那么|必-2a|可化简为.

nn—1ri

15.已知〃>1,M=——,N=——，P=——，则M、N、P的大小关系为___________.

n-1n几+1

16.若式子JT二在实数范围内有意义，则x的取值范围是.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图，△ABC和△ADE分别是以BC,DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平

分DE交BC于点F,连接BE,EF.CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若NBAC=90。，求

证：BF'+CD^FD1.

18.(8分)如图，已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=—的图象的两个交

X

点.求反比例函数和一次函数的解析式；求直线AB与x轴的交点C的坐标及AAOB的面积；直接写出一次函数的值

小于反比例函数值的x的取值范围.

19.(8分)如图，已知△ABC内接于AB是直径，OD〃AC,AD=OC.

(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；

(2)填空：①当NB=时，四边形OCAD是菱形；

②当NB=时，AD与。O相切.

G

D

B

20.（8分）如图，在四边形ABCD中，ZABC=90°,ZCAB=30°,DEJ_AC于E,且AE=CE,若DE=5,EB=12,

求四边形ABCD的周长.

2x2）十

(2)化简:

yx+y

22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=2a,点。是8c的中点，DEJLA8于点E,。尸_LAC于点足

(1)NEDB=。(用含1的式子表示)

(2)作射线。M与边AB交于点射线。M绕点。顺时针旋转180°—2&,与AC边交于点N.

①根据条件补全图形；

②写出与ON的数量关系并证明；

③用等式表示线段8M、CN与BC之间的数量关系，(用含a的锐角三角函数表示)并写出解题思路.

23.(12分)(1)观察猜想

如图①点B、A、C在同一条直线上，DB_LBC,ECJ_BC且NDAE=90。，AD=AE,贝!]BC、BD、CE之间的数量关系

为;

(2)问题解决

如图②，在RtAABC中，ZABC=90°,CB=4,AB=2,以AC为直角边向外作等腰RtADAC,连结BD,求BD的长;

(3)拓展延伸

如图③，在四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请直接写出BD的长.

24.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x轴、y轴交于点B,A,与反比例函数的图象分别交于

点C,D,CE_Lx轴于点E,tanZABO=-,0B=4,OE=1.

2

(1)求该反比例函数的解析式；

(1)求三角形CDE的面积.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与2的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与2的关系，然后根据对称轴判定b与2的关

系以及2a+b=2；当x=-l时，y=a-b+c；然后由图象确定当x取何值时，y>2.

【详解】

①•・•对称轴在y轴右侧，

Aa>b异号，

Aab<2,故正确;

②,•*对称轴X=------=1,

2a

/.2a+b=2；故正确；

③•；2a+b=2,

b=-2a,

V当x=-1时，y=a-b+c<2,

/.a-（-2a）+c=3a+c<2,故错误；

④根据图示知，当m=l时，有最大值；

当mgl时，有am2+bm+c<a+b+c,

所以a+b>m（ani+b）（m为实数）.

故正确.

⑤如图，当-l〈xV3时，y不只是大于2.

故错误.

故选A.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定

抛物线的开口方向，当a>2时，抛物线向上开口；当aV2时，抛物线向下开口；②一次项

系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>2）,对称轴在y轴

左；当a与b异号时（即ab<2）,对称轴在y轴右.（简称：左同右异）③常数项c决定抛

物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（2,c）.

2、A

【解析】

由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为8兀，底面半径=8兀+2九

【详解】

解：由题意知：底面周长=8兀，

底面半径=8?r+27r=1.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面

周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长.

3、C

【解析】

先把分式方程化为整式方程，求出X的值，代入最简公分母进行检验.

【详解】

方程两边同时乘以X_2得到］—（X-2）=-3,解得x=6.将x=6代入X—2得6—2=4,，x=6就是原方程的解.

故选C

【点睛】

本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的基本步骤是解答此题的关键.

4、C

【解析】

因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.

【详解】

解：A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C选项符合因式分解

的定义，

故选择C.

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.

5、B

【解析】

VDE垂直平分AC,

.*.AD=CD,AC=2EC=8,

,:CAABC=AC+BC+AB=23,

.,.AB+BC=23-8=15,

:.CAABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

6、A

【解析】

先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据全等三角形的判定定理得出RtAAHE^RtACFG,再由

勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答.

【详解】

VZ1=Z2,N3=N4,

...N2+N3=90°,

:.ZHEF=90°,

同理四边形EFGH的其它内角都是90°,

，四边形EFGH是矩形，

/.EH=FG（矩形的对边相等），

XVZ1+Z4=9O°,N4+N5=90°,

.-.Z1=Z5（等量代换），

同理N5=N7=N8,

/.Z1=Z8,

RtAAHE^RtACFG,

；.AH=CF=FN,

又：HD=HN,

.♦.AD=HF,

在RtAHEF中，EH=3,EF=4,根据勾股定理得HF=+EF°=5,

又：HE・EF=HF・EM,

12

EM=—，

5

XVAE=EM=EB（折叠后A、B都落在M点上），

24

/.AB=2EM=——，

5

2425

AAD：AB=5：——=—=25：1.

524

故选A

【点睛】

本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前

后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等.

7、B

【解析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.

详解：（x+1）（x-3）

=x2-3x+x-3

=x2-2x-3

所以a=2,b=-3,

故选B.

点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

8、D

【解析】

利用两点法可画出函数图象，则可求得答案.

【详解】

在y=3x+l中，令y=0可得x=-g,令x=0可得y=L

直线与x轴交于点（-：,0）,与y轴交于点（0,1）,

其函数图象如图所示，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查一次函数的性质，正确画出函数图象是解题的关键.

9、D

【解析】

（3x-2y=3①

试题解析：用加减法解方程组“'时，如果消去y，最简捷的方法是②x2+①,

4x+y=15②

故选D.

10、B

【解析】

V（±9）2=81,

士病=±9.

故选B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、空.

4

【解析】

由点A(L1),可得OA的长，点A在第一象限的角平分线上，可得NAOB=45。，，再根据弧长公式计算即可.

【详解】

VA(L1),

.,.OA=Vi?n?=A/2＞点A在第一象限的角平分线上,

V以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置,

.".ZAOB=45°,

45^xV2_五兀

AAB的长为

故答案为：*

4

【点睛】

本题考查坐标与图形变化——旋转，弧长公式，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键.本题中求出OA=0

以及NAOB=45。也是解题的关键.

12、xW-2

【解析】

直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案.

【详解】

•.•分式空!•有意义，

x+2

•••X的取值范围是：x+2制，

解得：x#-2.

故答案是：xR2.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.

25

13、—

12

【解析】

首先由折叠的性质与矩形的性质，证得ABND是等腰三角形，则在Rt^ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求

得AN的长，又由AANB且AC'ND,易得：NFDM=/ABN,由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线

的性质求得EM的长，则问题得解

【详解】

如图，设BC'与AD交于N,EF与AD交于M,

根据折叠的性质可得：/NBD=/CBD,AM=DM=-AD,NFMD=/EMD=90°,

2

•••四边形ABCD是矩形,

AD//BC,AD=BC=4,4AD=90,

../ADB=/CBD,

../NBD=/ADB,

BN=DN,

设AN=x,则BN=DN=4—x,

•.・在Rt^ABN中，AB2+AN2=BN\

.1.32+x2=(4-x)2,

7

x=—,

8

7

即AN=_,

8

•.•C'D=CD=AB=3,/BAD=/C=90,2ANB=/C'ND,

.•.△ANB^AC'ND(AAS),

..^FDM=/ABN,

，tan/FDM=tan/ABN)

.AN_MF

,AB-MD(

,98___M____F_,

一百一〒

7

MF=—,

12

由折叠的性质可得：EF±AD,

.-.EF//AB,

,.AM=DM>

13

,-.ME=-AB=-,

22

3725

EF=ME+MF=-+—=—,

21212

25

故答案为二.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，有一定的难

度，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用.

14、-3a

【解析】

根据二次根式的性质和绝对值的定义解答.

【详解】

Va<0,

-2a|=|-a-2a|=|-3a|=-3a.

【点睛】

本题主要考查了根据二次根式的意义化简.二次根式而规律总结：当哙0时，J/=a；当彩0时，J/=-a.解

题关键是要判断绝对值符号和根号下代数式的正负再去掉符号.

15、M>P>N

【解析】

Vn>l,

・・・M最大；

八八九〃一11八

P-N=---------------=—；------->0,

〃+1n+

:・P>N,

：.M>P>N.

点睛:本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小.作差法比较大小的方法是:如果如心0,那么a>b;

如果那么a=b;如果a・bv0,那么。幼;另外本题还用到了不等式的传递性，即如果那么a>b>c.

16、x>2.

【解析】

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，

要使不二，在实数范围内有意义，必须x—220=x之2.

故答案为x22

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)CD=BE,理由见解析；(1)证明见解析.

【解析】

(1)由两个三角形为等腰三角形可得AB=AC,AE=AD,由NBAC=NEAD可得NEAB=NCAD,根据“SAS”可

证得AEABgZ\CAD,即可得出结论；

(1)根据(1)中结论和等腰直角三角形的性质得出NEBF=90。，在RtAEBF中由勾股定理得出BF】+BEi=EFi,

然后证得EF=FD,BE=CD,等量代换即可得出结论.

【详解】

解：(1)CD=BE,理由如下：

,.•△ABC和4ADE为等腰三角形，

.♦.AB=AC,AD=AE,

VZEAD=ZBAC,

:.NEAD-NBAD=ZBAC-NBAD,

即NEAB=NCAD,

AE=AD

在^EAB与小CAD中，NEAB=ACAD,

AB^AC

.,.△EAB^ACAD,

.,.BE=CD；

(1)VZBAC=90°,

.".△ABC和AADE都是等腰直角三角形，

...NABF=NC=45。，

,/△EAB^ACAD,

，NEBA=NC,

，NEBA=45。，

；.NEBF=9()°,

在RtABFE中，BF'+BE^EF1,

•.,AF平分DE,AE=AD,

AAF垂直平分DE,

；.EF=FD,

由(1)可知，BE=CD,

；.BFi+CDi=FDi.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件

是解决此题的关键.

18、(1)y=-x-2；(2)C(-2,0),AAOB=6,,(3)-4VxV0或x>2.

【解析】

(1)先把8点坐标代入代入丫=一，求出，〃得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后

X

利用待定系数法求一次函数解析式；

(2)根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和AAOB的面积=54第人以8℃进行计算;

(3)观察函数图象得到当-4VxV0或x>2时，一次函数图象都在反比例函数图象下方.

【详解】

解：・・・B(2,-4)在反比例函数y=—的图象上，

X

/.m=2x(-4)=-8,

Q

・•・反比例函数解析式为：y=--,

x

8

把A(-4,n)代入y=-----，

X

得-4n=-8,解得n=2,

则A点坐标为(-4,2).

把A(-4,2),B(2,-4)分别代入丫=1«+1>,

-4k+b=2k=-l

解得<

2k+b=-4b=-2

二一次函数的解析式为y=-x-2；

(2)Vy=-x-2,

.,.当-x-2=0时，x=-2,

...点C的坐标为：(-2,0),

AAOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积

11

=—x2x2+—x2x4

22

=6；

(3)由图象可知，当-4VxV0或x>2时，一次函数的值小于反比例函数的值.

【点睛】

本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待定系数法是解题的关键，注意数

形结合思想的正确运用.

19、(1)证明见解析；(2)①30°,②45。

【解析】

试题分析：(1)根据已知条件求得NO4C=N0C4,ZAOD=ZADO,然后根据三角形内角和定理得出

从而证得OC〃AO,即可证得结论：

(2)①若四边形OCAO是菱形，则OC=AC,从而证得OC=Q4=AC,得出ZZAOC=60,即可求得

ZB=-ZAOC=30°；

2

②AO与。。相切，根据切线的性质得出NQA£>=90,根据AO〃OC，内错角相等得出NAOC=90,从而求得

ZB=-ZAOC=45°.

2

试题解析：(方法不唯一)

(iy：OA=OC,AD=OC,

：.OA=AD,

：.ZOAC=ZOCA,ZAOD=ZADO,

,JOD//AC,

：.NOAC=NAOD,

：.ZOAC=ZOCA=ZAOD=ZADO,

：.ZAOC=ZOAD,

：.OC//AD,

•••四边形OCAD是平行四边形；

(2)①：四边形OCAD是菱形，

：.OC=AC,

y.'：OC=OA,

：.OC=OA=AC,

:.ZAOC=60。，

二N6」ZAOC=30。；

2

故答案为3（y.

②•••40与。。相切，

.••NQAD=90,

'：AD//OC,

:.ZAOC=90,

二N8=L/AOC=45。.

2

故答案为45°.

20、38+12百

【解析】

根据NABC=90。，AE=CE,EB=12,求出AC,根据RtAABC中，NCAB=30。，BC=12,求出-AB=AC-COS30=12区

根据DELAC,AE=CE,得AD=DC,在RtAADE中，由勾股定理求出AD,从而得出DC的长，最后根据四边形

ABCD的周长=AB+BC+CD+DA即可得出答案.

【详解】

VZABC=90o,AE=CE,EB=12,

.*.EB=AE=CE=12,

.,.AC=AE+CE=24,

\,在RtAABC中，ZCAB=30°,

.,.BC=12,A3=AC-cos30'=126，

VDE±AC,AE=CE,

.".AD=DC,

在RtAADE中，由勾股定理得AD=ylAE2+DE2=7122+52=13.

.,.DC=13,

:.四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=38+126.

【点睛】

此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关

定理和解直角三角形求出四边形每条边的长.

21、（1）2;⑵x-y.

【解析】

分析：(1)本题涉及了二次根式的化简、绝对值、负指数塞及特殊三角函数值，在计算时，需要针对每个知识点分别

进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.(2)原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除

法法则变形,约分即可得到结果.

详解：(1)原式=3-4-2x/+4=2；

⑵原式=x_2y.(x+y)”*y.

点睛：(D本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数

指数第、二次根式的化简、绝对值及特殊三角函数值等考点的运算；(2)考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是

解本题的关键.

22>(1)a；(2)(2)①见解析；②DM=DN,理由见解析；③数量关系：BM+CN=BCsina

【解析】

(1)先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到N5=NC=90。-%然后利用互余可得到NEZ)5=a；

(2)①如图，利用NEDF=180。-2a画图；

②先利用等腰三角形的性质得到平分N3AC,再根据角平分线性质得到。E==F,根据四边形内角和得到

NE。尸=180。-2a,所以然后证明AMOEg产得到

③先由AMOE四△可£)产可得再证明A5OEgZkC。尸得BE=C尸，利用等量代换得到BM+CN=2BE,然后根

据正弦定义得到BE=BDsina,从而有BM+CN=BC*sina.

【详解】

(1)\"AB=AC,AZB=ZC=-(180°-NA)=90°-a.

2

'.'DE1.AB,；.ZDEB=9Q0,：.ZEDB=9Q0-ZB=90°-(90°-a)=a.

故答案为：a；

(2)①如图:

②DM=DN.理由如下：'：AB=AC,BD=DC,平分NA4c.

于点E,OF_LAC于点尸，：.DE=DF,NMED=NNFD=90°.

,:ZA=2a,，NE。尸=180°-2a.

VNMDN=180°-2a,:.NMDE=NNDF.

ZMED=NNFD

在AMDE和AND尸中，ViDE^DF,:AMDE24NDF,：.DM=DN；

NMDE=ZNDF

③数量关系：BM+CN=BC*sina.

证明思路为：先由△MOEgZ\N£＞产可得EM=PN,再证明△5DE出ZkC。尸得BE=C尸，BM+CN=BE+EM+CF-

FN=2BE,接着在RtABDE可得BE=BDsina,从而有BM+CN=BC-sina.

【点睛】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了等腰三角形的性质.

23、(1)BC=BD+CE,(2)2710;(3)372.

【解析】

(1)证明△ADBgZkEAC,根据全等三角形的性质得到BD=AC,EC=AB,即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;

⑵过D作DE±AB,交BA的延长线于E,证明△ABC^ADEA,得至!|DE=AB=2,AE=BC=4,RtABDE中，BE=6,

根据勾股定理即可得到BD的长；

(3)过D作DE_LBC于E,作DFJ_AB于F,证明ACED^^AFD,根据全等三角形的性质得到CE=AF,ED=DF,

设AF=x,DF=y,根据CB